PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO
RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E
CIÊNCIAS CONTÁBEIS
2011/1
SUMÁRIO
1. FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL .................................................................................................... 1
1.1. CONCEITO .............................................................................................................................................. 1
1.2. ZEROS DE UMA FUNÇÃO .................................................................................................................... 4
1.3. FUNÇÃO POLINOMIAL ........................................................................................................................ 4
1.3.1. Função constante............................................................................................................................... 5
1.3.2. Função polinomial de 1o grau ou função linear ................................................................................ 5
1.3.3. Função polinomial de 2o grau ou função quadrática ........................................................................ 9
1.4. FUNÇÃO RACIONAL ........................................................................................................................... 10
1.5. FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA ..................................................................................................................... 11
1.6. NÚMERO E ............................................................................................................................................. 11
1.7. FUNÇÃO EXPONENCIAL NA BASE E ................................................................................................ 12
1.8. LOGARITMO NATURAL ..................................................................................................................... 12
1.9. FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL.................................................................................................... 14
1.10. SITES RELACIONADOS ..................................................................................................................... 14
1.11. FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA LEI ............................................................................. 15
1.12. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 17
1.11. WINPLOT ............................................................................................................................................ 24
2. APLICAÇÕES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL............................................................................... 25
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
CUSTO TOTAL ..................................................................................................................................... 25
OFERTA ................................................................................................................................................. 26
DEMANDA ............................................................................................................................................ 27
RECEITA................................................................................................................................................ 28
LUCRO ................................................................................................................................................... 30
SITES RELACIONADOS ...................................................................................................................... 32
RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 33
3. DERIVADAS .............................................................................................................................................. 36
3.1. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA ............................................................. 36
3.2. REGRAS DE DERIVAÇÃO .................................................................................................................. 37
3.3. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO............... 40
3.4. APLICAÇÕES DE DERIVADAS .......................................................................................................... 41
3.4.1. CUSTO MARGINAL ......................................................................................................................... 41
3.4.2. RECEITA MARGINAL .................................................................................................................... 41
3.4.3. LUCRO MARGINAL ...................................................................................................................... 41
3.5. SITES RELACIONADOS ...................................................................................................................... 42
3.6. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 43
4. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL .............................................. 45
4.1. PONTO ESTACIONÁRIO ...................................................................................................................... 46
4.2. DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO ....................... 46
4.3. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO .......................................... 47
4.3.1. TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA(TDP) ....................................................................................... 47
4.3.2. TESTE DA DERIVADA SEGUNDA(TDS) ....................................................................................... 48
4.4. SITES RELACIONADOS ....................................................................................................................... 49
4.5. RESPOSTAS ........................................................................................................................................... 50
5. INTEGRAL INDEFINIDA .......................................................................................................................... 51
5.1. PRIMITIVA............................................................................................................................................. 51
5.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA ................................................... 51
5.3. REGRAS DE INTEGRAÇÃO ................................................................................................................. 52
5.4. SITES RELACIONADOS ....................................................................................................................... 54
5.5. RESPOSTAS ........................................................................................................................................... 55
6. INTEGRAL DEFINIDA .............................................................................................................................. 56
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
PROPRIEDADES BÁSICAS ................................................................................................................. 56
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA ...................................................... 57
ÁREA DA REGIÃO ENTRE DUAS CURVAS ..................................................................................... 57
SITES RELACIONADOS ...................................................................................................................... 60
RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 61
APÊNDICE ...................................................................................................................................................... 62
1.CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ....................................................................................................... 62
2. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ................................................................................................................ 63
3. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ............................................................................................................. 63
4. INTERVALOS ........................................................................................................................................... 64
5. OPERAÇÕES COM INTERVALOS ......................................................................................................... 65
6. PRODUTOS NOTÁVEIS .......................................................................................................................... 66
7. FATORAÇÕES COMUM E DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS ..................................................... 67
8. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 1O GRAU ......................................................................................... 67
9. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 2O GRAU ......................................................................................... 68
10. PRODUTO NULO ................................................................................................................................... 69
11. RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1O GRAU ................................................................................... 69
12. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1O GRAU ............................................................. 70
13. POTÊNCIAS ............................................................................................................................................ 71
14. FUNÇÃO EXPONENCIAL ..................................................................................................................... 73
15. FUNÇÃO LOGARITMO ........................................................................................................................ 73
16. RESPOSTAS ............................................................................................................................................ 75
BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................................. 77
1. FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL
1.1. CONCEITO
Sejam A e B dois subconjuntos não vazios do conjunto de números reais
. Chamamos de função real f
de A em B a qualquer regra ou lei que associa a cada x A um único número y B.
Observações:
a) Neste caso, f é função de variável x.
b) A variável x é chamada de independente e a variável y é chamada de dependente.
c) O número real y é o valor da função f no ponto x, ou imagem de x pela f, e é representado também por f(x).
d) y = f(x)
(x,y) f
e) O conjunto A dos valores da variável independente x é chamado domínio da função f.
f) O conjunto I
B, formado pelas imagens dos elementos do domínio A é denominado conjunto imagem de f.
g) Doravante representaremos o domínio A da função f por Dom f e a imagem I da função f por Im f.
Exemplo:
A
B
2
0
O diagrama ao lado expressa uma relação entre os conjuntos A e B.
3
4
1
2
Como cada elemento x de A está associado a um único elemento y
5
3
de B, dizemos que esta relação define uma função de A em B.
Se esta função for identificada por f, teremos:
f(2) = 0
(2,0) f
Dom f = A
f(3) = 1
(3,1) f
f(4) = 3
(4,3) f
f(5) = 3
(5,3) f
Im f = {0,1,3}
E1) Os diagramas abaixo representam relações entre dois conjuntos A e B. Justifique porque cada um deles
representa ou não função de A em B.
a)
A
B
b)
A
B
1
c)
A
B
E2) Sejam os conjuntos A = {0,2,4,6} e B = {1,3,5,7,9}. Dentre os conjuntos abaixo, justifique porque cada
um deles representa ou não função de A em B.
a) {(0,5),(2,5),(4,5),(6,5)}
b) {(0,1),(2,3),(4,3),(6,5)}
c) {(0,3),(2,3),(4,3)}
d) {(0,1),(2,3),(4,5),(4,7),(6,9)}
E3) Os conjuntos f = {(0,4),(1,4),(2,5),(3,5)} , g = {(0,1),(2,3),(4,3),(6,5)} e h = {(-1,3),(0,5),(1,8)}representam
funções. Determine:
a) f(1)
b) g(6)
c) h(0)
f) f(3). h(1)
g) h(1): g(4)
h) 10f(1) + 2g(0) – 5h(1)
k) Dom h
l) Im f
e) g(6) – h(-1)
d) f(2) + g(2)
m) Im g
i) Dom f
j) Dom g
n) Im h
E4) Dentre os gráficos abaixo, justifique porque cada um deles representa ou não y como função de x.
a) y
0
b)
x
e) y
0
y
c) y
0
x
f) y
x
0
0
d) y
x
g) y
x
0
0
x
h) y
x
0
x
Nota:
As funções de uma variável podem ser representadas por meio de tabelas, gráficos e fórmulas. As tabelas
são importantes porque com freqüência é a forma como as funções aparecem, através do gráfico podemos
perceber propriedades globais rapidamente, por exemplo: domínio, imagem, velocidades de crescimento e
decrescimento, etc... e as fórmulas são exatas e sujeitas à análise.
2
x2 1
. Determine f(-1), f(0), f(1/2) e f(-2).
x 2
E5) Seja a função dada por f(x) =
E6) Determine o domínio e a imagem de cada função representada abaixo:
a)
y
b)
0
y
x
0
c)
x
y
d)
0
y
x
e)
0
x
y
0
x
E7) Encontre os domínios das funções abaixo:
b) f(x) = 2x – 1
a) f(x) = 5
e) f(x) =
1
x
3
i) f(x) = 3+
x
f) f(x) =
j) f(x) =
2x 1
5x 7
3 x
c) f(x) = x2 + 2x
x 3
x2
n) f(x) =
4
x
k) f(x) =
x
m)f(x) =
6 3x
g) f(x) =
3
2x
3 4x x 2
o) f(x) =
2x 4
h) f(x) =
l) f(x) =
x
1
3
d) f(x) = x3 + x2 + 2x – 1
p) f(x) =
1
( x 2) 2
5
2x 1
x 4
4
q) f(x) =
x
2
4
E8) Em um carro que comporta até cinco passageiros, a despesa com a gasolina será dividida entre o número
de pessoas que efetuará uma viagem. Se a despesa com gasolina é R$ 45,00, organize uma tabela que
relacione o número de passageiros do carro e o valor a ser pago por cada um. Encontre uma lei que
relacione essas variáveis.
E9) A tarifa de uma corrida de táxi em determinada cidade é composta de duas partes: uma parte fixa
chamada bandeirada e uma parte variável que corresponde ao número de quilômetros que o táxi
percorre. Sabe-se que a bandeirada custa R$ 2,80 e o preço por quilômetro rodado é de R$ 0,80.
Expresse o preço y a pagar em função do número x de quilômetros rodados.
3
E10) Um botijão de gás contém 13 kg de gás. Em média, é consumido, por dia, 1 kg. Expresse a massa m de
gás no botijão, em função de t (dias de consumo).
E11) Um professor pediu para sua turma uma tarefa a ser realizada em grupo. Os grupos variam de dois a
no máximo 5 componentes. A despesa de cada grupo que será de R$ 60,00 será dividida entre seus
elementos. Encontre uma expressão que especifique o valor a ser pago por um aluno de um possível
grupo.
1.2. ZEROS DE UMA FUNÇÃO
Seja f uma função definida por uma equação y = f(x). Zeros ou raízes de f são os valores de x para os
quais f(x) = 0. Geometricamente, são as abscissas dos pontos de interseção da curva, gráfico de f , com o eixo
dos x.
E12) Encontre os zeros das funções:
b) f(x) = x2 – 2x – 3
a) f(x) = 2x – 4
c) f(x) = x4 – x2
1.3. FUNÇÃO POLINOMIAL
Exemplos:
a) f(x) = 2x3 – 5x2 + 4x – 1 (polinomial de grau 3)
b) f(x) = 2 – 5x2 (função quadrática, polinomial de grau 2)
c) f(x) = 3x + 1 (função linear, polinomial de grau 1)
d) f(x) = – 5 (função constante, polinomial de grau 0)
e) f(x) = 0 (função constante, não se atribui grau)
f) f(x) =
2x 4
3
2 .x 2
5x
1
(polinomial de grau 4)
2
Notas:
a) Uma função polinomial y = f(x) tem a forma f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2...+ an , com a0, a1, a2,....,an
n {0,1,2,...}.
b) O domínio de uma função polinomial y = f(x) é
, pois existe o valor da função para cada x
4
.
e
1.3.1. Função constante
Função constante é uma função definida por f(x) = c, onde c é um número real. O gráfico da função
constante é uma reta horizontal que corta o eixo das ordenadas em c.
Exemplo: f(x) = 3
y
Dom f =
3
Im f = { 3 }
x
0
1.3.2. Função polinomial de 1o grau ou função linear
Função linear é uma função definida por f(x) = ax + b, com a e b
ea
0. O gráfico cartesiano
de uma função linear é uma reta. Na equação da reta y = ax + b, a é o coeficiente angular ou declividade
e b é o coeficiente linear.
f2
y
f1
Como 0 o
x
Como 90 o
90 o , a1 = tg
1
1
> 0 e portanto f1 é crescente.
b2
2
o
1
180 o , a2 = tg
2
2
< 0 e portanto f2 é decrescente.
b1
Dom f =
e Im f =
Nota:
Como dois pontos determinam uma única reta, podemos desenhar a reta de equação y = ax + b, encontrando
dois pares (x,y) que satisfazem a equação, isto é, dois pontos da reta. Como geralmente estamos interessados
em mostrar as intersecções da reta com os eixos coordenados, consideramos num par (x,y) , x = 0 e no outro
par (x,y) , y = 0.
Exemplo:
Esboçar o gráfico da função linear dada por y = 2x – 1.
5
Solução 1:
Podemos determinar dois pontos quaisquer da reta, e assim esboçar o gráfico da função dada. Escolhendo
um valor para x, por exemplo 1, o valor correspondente para y é 1, e o ponto obtido é P(1,1). Escolhendo
um segundo valor para x, por exemplo 2, o valor correspondente para y é 3, e o ponto obtido é Q(2,3).
y
Q
3
2
P
1
0
1
2
3
x
-1
Solução 2:
Determinando as intersecções da reta com os eixos coordenados.
Escolhendo para x o valor 0, o valor correspondente para y é –1, e o ponto obtido é R(0, –1) (intersecção da
reta com o eixo das ordenadas).
Escolhendo para y o valor 0, o valor correspondente para x é 1/2, e o ponto obtido é S(1/2,0) (intersecção da
reta com o eixo das abscissas).
y
3
2
1
S
0 ½
1
2
3
x
-1 R
Observe que a reta acima é a mesma obtida na solução 1, logo a representação gráfica independe dos pontos
da reta que escolhemos.
6
E13) Numa função polinomial do 1o grau o coeficiente angular “a” não pode ser zero, por quê ?
E14) Um caso particular da função polinomial do 1 o grau é a função Identidade, definida por f(x) = x.
Esboce o seu gráfico.
E15) Construa os gráficos das seguintes funções:
a) f(x) =–x + 1
c) f(x) = –2, x (-1,3]
b) f(x) = 3x + 2 , x [-2,1)
Importante:
Numa função polinomial do 1o grau, a razão de variação de y em relação a x é constante e igual ao
Δy
a.
coeficiente angular a, isto é,
Δx
y
y
y2
y1
y
y
y1
y2
x
0
x
x1
x2
Δy
a
Δx
x
0
x1
x2
Δy
0
Δx
a
x
0
Exemplo:
x
y
x
y
Δy
Δx
-1
0
1
3
6
11
15
3
1
-1
-5
-11
-21
-29
1
1
2
3
5
4
-2
-2
-4
-6
-10
-8
-2
-2
-2
-2
-2
-2
Δy
é constante e igual a -2. Logo, a tabela define uma função
Δx
linear com declividade -2. Portanto, a equação que define esta função é do tipo y = -2x + b (1), onde x e y
A tabela acima mostra que a razão de variação
representam as coordenadas de qualquer ponto da reta. Podemos encontrar o coeficiente linear b, usando na
equação (1), qualquer par (x,y) apresentado na tabela.
7
Exemplo:
Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(–2 3) e tem declividade – 5.
Solução:
Sabemos que y = ax + b é a equação de uma reta, onde a é a declividade, b é o coeficiente linear e, x e y
são as coordenadas de qualquer ponto da reta. Se a declividade da reta é – 5, a equação assume a forma
y =– 5x + b. O coeficiente linear b pode ser determinado através da substituição, na equação, de x por – 2
e y por 3. Logo, a equação da reta é y =– 5x – 7.
E16) Escreva a equação da reta que contém o ponto P e tem declividade a, sendo:
a)P( 2,3) e a = 5
d)P(
b) P( -1,-3) e a = -2
2 , 2 ) e a = -3
e) P( 2 ,0) e a =
c) P( 1/2,-6) e a = 2
2
f) P(-2,-3) e a = 1/2
E17) A tabela abaixo define q como uma função linear de p? Em caso afirmativo, determine a lei.
p
q
1
95
2
90
3
85
4
80
E18) Uma equação linear foi usada para gerar os valores da tabela abaixo. Encontre esta equação.
x
y
5,2
27,8
5,3
29,2
5,4
30,6
5,5
32
5,6
33,4
E19) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$ 40,00 por dia e 15 centavos o quilômetro
rodado. Os carros de um concorrente estão a R$ 50,00 por dia e 10 centavos o quilômetro rodado.
a)Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar um carro por dia em função da
distância percorrida.
b) Nos mesmos eixos, esboce o gráfico de ambas as funções.
8
1.3.3. Função polinomial de 2o grau ou função quadrática
Função quadrática é uma função definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a,b,c
ea
0. O gráfico de
uma função quadrática é uma parábola de vértice V, com a concavidade voltada para cima se a > 0 e com a
concavidade voltada para baixo se a < 0.
Exemplo: f(x) = –x2 + 6x – 5
y
x
A figura acima apresenta a parábola, gráfico da quadrática f, sendo:
a) y = –x2 + 6x – 5, a equação da parábola;
b) a = –1 < 0(concavidade voltada para baixo) ;
c) o ponto V(3,4), o vértice da parábola;
d) 1 e 5, as raízes ou os zeros da função;
e) c =–5(ordenada do ponto do plano, onde a parábola intercepta o eixo das ordenadas).
E20) Considere os gráficos das funções quadráticas abaixo e determine as coordenadas dos vértices, as raízes,
caso existam, e as equações.
a)
b)
c)
y
y
y
x
x
x
9
Um procedimento para esboçar o gráfico de uma função quadrática y = ax2 +bx + c
1º. Identificar o termo independente c, que indica onde a parábola intercepta o eixo das ordenadas.
2º. Resolver a equação ax2+ bx + c = 0 para determinar, caso existam, os pontos x1 e x2 onde a parábola
corta o eixo das abscissas.
3º. Determinar a localização do vértice V(xV , yV), calculando a abscissa xv através da média aritimética dos
pontos x1 e x2 ou usando a fórmula xV =
yV = f(xV) ou usando a fórmula yV =
4a
b
e calculando a ordenada yV como a imagen do xv , isto é,
2a
, com
= b2 – 4ac.
E21) Use o procedimento acima para construir os gráficos de:
a) f, quadrática, tal que x1 = x2 = 1, c = -1 e V(1,0)
b) f, quadrática, tal que x1 = 0, x2 = 4, c = 0 e V(2,-4)
c) f, quadrática, tal que x1, x2
, c = -4 e V(1,-3)
d) f(x) = x2 – 4
e) f(x) = -x2 + 2x
f) f(x) = x2 – 2x + 1
g) f(x) = –x2 – 2 , x [-2,1)
1.4. FUNÇÃO RACIONAL
É uma função da forma f(x)
p(x)
q(x)
onde p(x) e q(x) são funções polinomiais e q(x)
0.
Exemplos:
a) f(x) =
x2
b) f(x) =
x2 1
y
x2 1
x 1
y
x
x
10
1.5. FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA
É uma função da forma f (x)
n
x , onde n é um número inteiro maior que um.
Exemplos:
a) f(x) =
x
b) f(x) =
3
x
y
y
x
x
1.6. NÚMERO e
1 x
) , quando x aumenta infinitamente, aproxima-se de um número irracional,
x
tão importante quanto o π . Esse número, denominado número de Euler, é representado pela letra e. O número
O valor da expressão (1
e é a base mais usada nas funções exponenciais, úteis na representação de fenômenos nas ciências naturais e
sociais.
e = 2,71828 ...
E22) Use uma calculadora para encontrar, com quatro casa decimais, o valor de e x para:
a) x = 1
b) x = -1
c) x = 2
d) x = -2
Propriedades de ex
Sejam a e b dois números reais.
0
1) e = 1
1
2) e = e
a
b
a+b
a
b
a-b
3) e .e = e
4) e :e = e
a b
5) (e ) = e
ab
11
e) x = 3
f) x = -3
1.7. FUNÇÃO EXPONENCIAL NA BASE e
A função exponencial na base e é dada por f(x) = ex , onde e é o número de Euler.
E23) Use a tabela abaixo, para esboçar o gráfico da função exponencial na base e.
x
y=e
0
x
0
e =1
1
e
1
2,72
-1
e
-1
2
0,37
e
2
-2
e
7,39
-2
0,14
y
x
1.8. LOGARITMO NATURAL
Seja x um número real positivo. Chamamos de logaritmo natural ou neperiano de x, o valor
de y que é solução da equação ey = x.
y = ln x
ey = x
E24) Use uma calculadora para encontrar, com quatro casa decimais, o valor de ln x para:
a) x = 2
b) x = 1/2
c) x = 3
d) x = 1/3
12
e) x = 4
f) x = 1/4
Propriedades dos Logaritmos
1) ln 1 = 0
2) ln e = 1
3) ln (a.b) = ln a + ln b, com a > 0 e b > 0
a
4) ln( )
b
ln a ln b , com a > 0 e b > 0
5) ln ab = b.ln a, com a > 0 e b um número real.
E25) Use as propriedades dos logaritmos para calcular os valores das expressões abaixo:
a) 3.lne + ln (1/e)
b)lne 2 + e –lne
c)3.ln(e.lne) + ln( lne)
Aplicação
A fórmula de juros compostos é VF=VP.(1+ i)n, onde:
VF : valor futuro;
VP : valor presente;
i: taxa de juros ao período;
n: número de períodos, na mesma unidade de tempo que i.
Use a fórmula de juros compostos e as propriedades dos logaritmos para resolver os exercícios 26 e 27.
E26) Durante quanto tempo o capital de R$ 2.000,00 deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 10%
a.a. para que produza um montante de R$ 3221,00?
E27) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 13 meses. Sabendo que o
montante no final do período foi de R$ 25.880,00, calcular a taxa relativa ao período.
13
1.9. FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL
A função Logaritmo natural é a função dada por f(x) = ln x, com x > 0.
E28) Use a tabela abaixo, para esboçar o gráfico da função exponencial na base e.
x
y =ln x
1/4
ln (1/4)
1/2
-1,39
ln (1/2)
1
-0,69
2
ln1=0
ln 2
3
0,69
ln 3
y
x
1.10. SITES RELACIONADOS
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/expolog/exponenc.htm
http://www.algosobre.com.br/matematica/funcoes-exponencial.html
http://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp5.php
http://www.profcardy.com/calculadoras/aplicativos.php?calc=33
14
4
1,09
ln 4
1,39
1.11. FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA LEI
E29) Para cada função abaixo,esboce o gráfico e determine:
a)o domínio;
b)a imagem;
c)os intervalos de crescimento e os intervalos de decrescimento;
d) o valor máximo e o valor mínimo, caso existam;
e)as intersecções com os eixos coordenados, caso existam;
f) o vértice da parábola, quando for o caso.
1) f ( x )
3) f ( x )
5) f ( x )
x, se x
0
x, se x
0
x 2, se x
1
x 2 , se x
1
x2
x
7) f(x)
9) f (x )
2) f ( x )
4x, se 5
2
4x, se 0
2x 5, se
x , se
2 , se
4) f ( x )
x
x
0
6) f ( x )
5
0
x , se x
0
8) f(x)
10) f ( x )
x 1
2, se 1 x
x2
3
2x, se x
2x,
0
se x
0
2x 4, se x 1
x2
4x 5 , se x 1
x 2, se
5 x
2
2 x 1
x 1
x, se x
x 1, se 2
x
1
x 2 , se
1 x 1
1 , se
x 1
e x , se x 1
ln x, se x 1
E30) Um imposto é cobrado em função da renda mensal do contribuinte da seguinte maneira: até 10 sm (salários
mínimos), inclusive, o contribuinte está isento; entre 10 sm e 20 sm paga 10%; 20 sm ou mais, paga 25%.
Dê a lei dessa função e esboce o seu gráfico.
15
E31) A partir do ano-calendário de 2011, a contribuição mensal ao INSS (Instituto Nacional do Seguro
Social) é calculada mediante a utilização da seguinte tabela:
Salário bruto
Contribuição
até R$ 1.106,90
8% do salário bruto
Acima de R$ 1.106,90 até R$ 1.844,83
9% do salário bruto
Acima de R$ 1.844,83 até R$ 3.689,66
11% do salário bruto
acima de R$ 3.689,66
R$ 405,86(11% de R$ 3.689,66)
Portaria nº 568, de 31 de dezembro de 2010
Dê a lei da Contribuição em função do Salário bruto e esboce o seu gráfico.
E32) A partir do ano-calendário de 2010, o imposto de renda a ser descontado na fonte sobre os
rendimentos do trabalho assalariado, inclusive o 13º salário, pagos por pessoas físicas ou
jurídicas, bem assim sobre os demais rendimentos recebidos por pessoas físicas, que não estejam
sujeitos à tributação exclusiva na fonte ou definitiva, pagos por pessoas jurídicas, será calculado
mediante a utilização da seguinte tabela progressiva mensal:
Base de cálculo
Alíquota
Parcela a deduzir do imposto
até R$ 1.499,15
-
-
Acima de R$ 1.499,15 até R$ 2.246,75
7,50 %
R$ 112,43
Acima de R$ 2.246,75 até R$ 2.995,70
15,00%
R$ 280,94
Acima de R$ 2.995,70 até R$ 3.743,19
22,50%
R$ 505,62
Acima de R$ 3.743,19
27,50%
R$ 692,78
A quantia de R$ 150,69 (cento e cinqüenta reais e sessenta e nove centavos) por dependente;
Com base nas informações da tabela acima, dê a lei do Imposto em função do rendimento e esboce o
seu gráfico, sem considerar dependentes.
16
1.12. RESPOSTAS
E1) a) É função, pois cada elemento de A está associado a um único elemento de B
b)Não é função, pois o terceiro elemento de A está associado a dois elementos de B.
c)Não é função, pois o segundo elemento de A não está associado a nenhum elemento de B.
E2) a) É função, pois cada elemento de A está associado a um único elemento de B.
b) É função, pois cada elemento de A está associado a um único elemento de B.
c)Não é função, pois o elemento 6 de A não está associado a nenhum elemento de B.
d)Não é função, pois o elemento 4 de A está associado a dois elementos de B.
E3) a) 4
b) 5
i) {0,1,2,3}
c) 5
j) {0,2,4,6}
d) 8
e) 2
k) {-1,0,1}
f) 40
l) {4,5}
g) 8/3
m) {1,3,5}
h) 2
n) {3,5,8}
E4) a)Não é função, pois existe valor de x associado a dois valores distintos de y.
b) É função, pois cada valor de x está associado a um único valor de y.
c)Não é função, pois o valor de x associado a infinitos valores distintos de y.
d)Não é função, pois existe valor de x associado a dois valores distintos de y.
e) É função, pois cada valor de x está associado a um único valor de y.
f)Não é função, pois existe um valor de x associado a dois valores distintos de y.
g)Não é função, pois existem dois valores de x associado a infinitos valores distintos de y.
h) É função, pois cada valor de x está associado a um único valor de y.
E5) a) -2
E6) a)
b) -1/2
e [0,
E7) a)
h) [2,
m)
)
b)
b)
)
{ 2,2}
c) -1/2
e [0,
c)
i) [0,
n)
d) NE
c)
)
d)
)
{1,3}
e
e)
j) (0,
o)
d)
{0} e
{3}
f)
)
k) [0,
{4}
p)
17
{0}
{
7
}
5
) -{9}
g) (
l)
q)
{0} e (0,
e)
,2]
{ 2}
)
45
, x {1,2,3,4,5}
x
E8) y
E9) y = 0,8x + 2,8
E10) a) m = 13 – t , t [0,13]
E11) p(n )
60
, n {2,3,4,5}
n
E12) a) 2
b) 3,-1
c) 0,1,-1
E13) Não, se a = 0, a equação assume a forma y = b, sendo b
E14)
, isto é, a função se torna constante.
y
1
0
1
x
E15) a)y
b)
y
5
c) y
1
2
-2
0
1
x
0
1
x
-1
-4
E16) a) y = 5x – 7
b) y = –2x – 5
0
3
-2
c) y = 2x – 7
d) y = –3x + 4 2
e) y = 2 x – 2
E17) Sim, q = -5p + 100
E18) y = 14x – 45
E19) a) y = 0,15x + 40 , y = 0,10x + 50
E20) a) V(2,-4), x1 = 0, x2 = 4, y = x2 – 4x
b) V(-1,-1), não tem raízes, y = -x2 – 2x – 2
c) V(0,0), x1 = x2 = 0, y = x2
E21) a)
x
b)
c)
18
f) y =
x
–2
2
y
y
y
x
x
x
d)
e)
y
f)
y
y
x
x
x
g)
y
E22) a) 2,7183
x
b) 0,3679
c) 7,3891
d) 0,1353
e) 20,0855
f) 0,0498
E23)
y
x
E24) a) 0,6931
b) -0,6931
c) 1,0986
d) -1,0986
19
e) 1,3863
f) -1,3863
b) 2 + e-1
E25) a) 2
E26)
5 anos
E27)
2 % a.m.
c) 3
E28)
y
x
E29)
1)
y
x
a)
b) (
c) Cresc.: (
,0]
d) Máx.: 0 , Mín.: NE
e)x = 0
,0) e Decresc.: (0,
)
f) NE
2)
y
x
a)(-2,3]
b) (-1,2]
e)x = -1
f) NE
c) Cresc.: (-2,1]
20
d) Máx.: 2 , Mín.: NE
3)
y
x
a)
{ 1}
b)
c) Cresc.: (
d) Máx.: NE , Mín.: NE
, 1) [0,
e)x = -2 e x = 0
) Dec.: (-1,0]
f) (0,0)
4)
y
x
a)
b) [ 1,
c) Cresc.: [ 1,
)
d) Máx.: NE , Mín.: -1
e)x = -2 e x = 0
) e Decresc.: (
, 1]
f)(-1,-1)
5)
y
x
a)(-5,5]
b) [-5,5)
e)x = -4 , x = 0 e x = 4
21
c) Cresc.: [-2,2]
f) (-2,-4) e (2,4)
d) Máx.: NE , Mín.: 5
6)
y
x
a)
b) [1,
)
c) Cresc.: [2,
d) Máx.: NE , Mín.: 1
e) NE
) e Decresc.: (
,2]
f) (2,1)
7)
y
x
a) [ 5,
) -{-2,1}
b) [-5,1)
d) Máx.: 2 e Min.: -5
{2}
c) Cresc.: [-5,-2)
e) x = -5/2 e x = 0
(-2,1)
f) NE
8)
y
x
a)
b) (
,1]
c) Cresc.: (
d) Máx.: 1e Mín.: NE
, 1] [0,1] e Dec.: [-1,0]
e) x = -2 e x = 0
22
f) (0,0)
9)
y
x
a)
b) [0,
c) Cresc.: [0,
) e Decresc.: (
d) Máx.: NE , Mín.: 0
e) x = 0
f) NE
a)
c) Cresc.: (
)
10)
y
x
b) [0,
)
d) Máx.: NE , Mín.: 0
E30) I(r )
0 , se r 10 s.m.
r
, se 10 s.m. r
10
r
, se r 20 s.m.
4
1) [1,
e) x = 1
f) NE
20 s.m.
I
r
23
)
,0]
E31) C(s)
E32) I(r )
8s / 100, se
9s / 100, se
11s / 100, se
R $ 405,86, se
0,
7,50.r / 100
15,00.r / 100
22,50.r / 100
27,50.r / 100
0 s R $ 1.106,90
R $ 1.106,90 s R $ 1.844,83
R $ 1.844,83 s R $ 3.689,66
s R $ 3.689,66
R $ 107,55,
R $ 268,80,
R $ 483,75,
R $ 692,78,
se
0 r R $ 1.499,15
se R $ 1.499,15 r R $ 2.246,75
se R $ 2.246,75 r R $ 2.995,70
se R $ 2.995,70 r R $ 3.743,19
se r R $ 3.743,19
1.11. WINPLOT
O winplot é um programa para plotagem de gráficos de funções de uma e duas variáveis, extremamente
simples de ser utilizado pois dispensa o conhecimento de qualquer linguagem de programação e é distribuído
gratuitamente, podendo ser baixado da internet ou da página do professor com um manual útil a esta disciplina.
24
2. APLICAÇÕES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
2.1. CUSTO TOTAL
Uma empresa que produz um determinado bem, tem dois tipos de custos, o custo fixo Cf que não depende
da quantidade produzida e o custo variável Cv que depende da quantidade produzida.
A tabela abaixo apresenta alguns ítens geradores do custo fixo e do custo variável da empresa.
Custos fixos
Aluguel
Folha de Pagamento
Energia Elétrica(tarifa mínima)
Água(tarifa mínima)
Telefone(tarifa mínima)
Custos variáveis(gastos com a produção)
Matéria - prima
Horas-Extras
Energia Elétrica(tarifa adicinal)
Água(tarifa adicional)
Telefone(tarifa adicional)
O custo fixo e o custo variável podem ser considerados como funções da quantidade produzida.
A figura abaixo apresenta os gráficos das funções custo fixo e custo variável.
y
Cv
Cf
0
x
A função custo total da empresa é a soma das funções custo fixo e custo variável: C(x) = Cv(x) + Cf
A figura abaixo apresenta o gráfico da função custo total, considerando a figura anterior.
y
C
Cf
0
x
Responda as questoes que seguem, considerando uma função custo total qualquer.
E1)O que representa o custo total quando x = 0 ?
E2)O que representa o custo total quando x = 5 ?
E3)O que representa C(6) – C(5) ?
E4)O que representa C(9) – C(7) ?
25
Resumo: A função Custo ou Custo Total tem a forma C(x) = Cv(x) + Cf , onde Cv é o custo variável, Cf é o
custo fixo e x é a quantidade produzida
y
C
y2
y1
Cf
0
x1
x2
x
E5)Dada a função Custo Total C(x) = x2 + 2, onde x representa a quantidade produzida, determine:
a) a função custo fixo
b) a função custo variável
c) o custo de produção de 10 unidades;
d) o custo de produção da 10a unidade.
2.2. OFERTA
Seja q o número de unidades de uma certa mercadoria a ser ofertada por um produtor. Esta quantidade q
depende de vários fatores tais como a capacidade de individamento do produtor, do custo total de produção, do
preço p de mercado da mercadoria e outros. Vamos supor que a quantidade q dependa apenas do preço unitário
p de venda da mercadoria.
A quantidade ofertada pode ser considerada como função do preço de venda: q = f(p)
A figura abaixo apresenta uma curva de oferta, gráfico de uma função oferta.
q
curva de oferta
0
p
E6) Seja uma função oferta y = f(x), onde x representa o preço unitário e y, a quantidade ofertada. Se a função
oferta é linear e o seu gráfico passa pelos pontos (4,2) e (6,4), determine a equação da função oferta e faça
um esboço do gráfico.
26
Resumo: A função Oferta y = f(x) expressa a relação entre o preço x e a quantidade oferecida y de uma
mercadoria, descrevendo desta forma o comportamento dos produtores de um certo produto em
relação ao preço por unidade.
y
curva de oferta
y3
y2
0
x1
x2
x3
x
2.3. DEMANDA
A quantidade demandada de um certo produto, isto é, a quantidade que o grupo de consumidores desse produto
está disposto a adquirir, depende: do preço do produto, do preço de outros produtos que podem ser substitutos
ou complementares, do gosto do consumidor, da propaganda e de outros fatores.
A quantidade demandada pode ser considerada como função do preço de venda: q = f(p)
A figura abaixo apresenta uma curva de demanda, gráfico de uma função demanda.
q
curva de demanda
0
p
Resumo: A função Demanda y = f(x) expressa a relação entre o preço x e a quantidade demandada y de uma
mercadoria, descrevendo desta forma, o comportamento dos consumidores em relação ao preço por
unidade de um certo produto.
y
y1
y2
y3
0
curva de demanda
x1 x2
x3
27
x
Observação: Se PE(x0,y0) é o ponto de intersecção dos gráficos das funções oferta e demanda, então:
a) PE é denominado ponto de equilíbrio de mercado ;
b) x0 é denominado preço de equilíbrio de mercado;
c) y0 é denominado quantidade de equilíbrio de mercado.
y
y0
curva de oferta
PE
curva de demanda
0
x0
x
E7)Dadas as funções y = 3x – 1e y = –2x + 9, respectivamente oferta e demanda para um certo produto, onde x
representa o preço unitário, determine o ponto de equilíbrio de mercado e as curvas de oferta e demanda no
no mesmo sistema de eixos.
2.4. RECEITA
Um certo produto é colocado à venda no mercado. A Receita desse produto, representa o total recebido pela
venda do produto.
R = pv.qv , onde pv é o preço de venda e qv é a quantidade vendida
A receita pode ser considerada como função da quantidade vendida.
- Preço de venda fixo.
Se o preço de venda p é constante e x representa a quantidade vendida, o gráfico da função receita R é uma
semi-reta com origem na origem do sistema de eixos, como mostra a figura abaixo.
y
R
R = p.x
0
x
28
- Preço de venda variável.
Se o preço de venda p não é fixo, a quantidade vendida(demandada) x depende do preço do produto, isto é,
existe uma relaçao inversa entre o preço e a quantidade demandada ou vendida. Nesse caso, o gráfico da
receita é uma curva como mostra a figura abaixo.
y
Rmáx
y1
y3
0
R
x1
x2
x3
R = p.x
x
Resumo: A função Receita ou Receita Total tem a forma R(x) = p.x, onde p é o preço unitário de venda e x
é a quantidade vendida.
E8) Complete a tabela a seguir, sabendo que a equação da demanda para um certo produto é x = -2p + 20, onde
x é a quantidade demandada e p é o preço unitário de venda.
Preço de venda(p)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Quantidade demandada ou vendida(x)
Receita Total(R)
E9) Considere o exercício 8 e escreva a equação da receita R em função da quantidade vendida x.
E10)Use a tabela anterior para construir o gráfico da função Receita y = f(x).
E11)Dada a função Receita Total R(x) = 10x – x2 , onde x representa a quantidade vendida, determine:
a) a receita decorrente da venda de 4 unidades;
b) a variação da receita decorrente da venda da 4ª unidade;
c) a quantidade que deve ser vendida para que a receita seja máxima e a receita máxima.
29
Observação:
Os pontos de intersecção dos gráficos das funções Receita e Custo, PN1(x1,y1) e PN2(x2,y2), são denominados
pontos de nivelamento.
y
C
PN2
y1
y1 PN1
Cf
O x1
PN1(x1,y1)
PN2(x2,y2)
R
x2
x
E12) Dadas as funções C = 3x + 16 e R = 13x – x2 , respectivamente Custo e Receita para um certo produto,
determine os pontos de nivelamento e o intervalo onde a receita é maior que o custo.
2.5. LUCRO
Chamamos de lucro a diferença entre a receita total e o custo total, isto é: L = R – C
O lucro L pode ser considerado uma função da quantidade produzida e vendida x, isto é: L(x) = R(x) – C(x)
Resumo: A função Lucro ou Lucro Total tem a forma L(x) = R(x) – C(x), onde x é a quantidade produzida e
vendida.
y
C
Cf
O x1
-Cf
R
x2
x
L
E13)Dadas as funções C = x2 + 8 e R = 10x – x2, respectivamente Custo e Receita para um certo produto,
onde x representa a quantidade produzida e vendida, determine:
a) a função Lucro;
b) os pontos de nivelamento;
c) a receita máxima;
d) o lucro máximo;
e) os gráficos de C, R e L no mesmo sistema de eixos;
f) o intervalo onde não ocorre prejuízo.
30
E14) Dadas as funções y = 2x – 2 e y = –x + 13, respectivamente oferta e demanda para um certo produto,
onde x representa o preço unitário, determine:
a) o ponto de equilíbrio de mercado;
b) os seus gráficos no mesmo sistema de eixos.
E15) As equações de demanda e oferta do mercado para um certo produto são, respectivamente, y = 25 – x2
e 2x – y + 10 = 0, onde x é o preço e y é a quantidade demandada ou ofertada. Determine o ponto de
equilíbrio de mercado e os seus gráficos no mesmo sistema de eixos.
E16) Com um preço de R$ 5,00 por unidade, uma fábrica oferecerá mensalmente 5.000 lanternas de pilha; a
R$ 3,50 por unidade, ela oferecerá 2.000 unidades. Determine a equação da oferta para este produto,
sabendo que a mesma é linear.
E17) Uma companhia de ônibus observou que, quando o preço de uma excursão é de R$ 5,00, 30 pessoas
compram bilhetes; quando o preço é de R$ 8,00, são vendidos apenas 10 bilhetes. Considerando a
demanda linear, encontre a equação da demanda.
E18) Dadas as equações x + y –7 = 0 e 4x – y + 2 = 0, onde x representa o preço unitário, determine:
a) qual das equações expressa curva de oferta;
b) qual das equações expressa curva de demanda;
c) o ponto de equilíbrio de mercado;
d) os seus gráficos no mesmo sistema de eixos.
E19) Se a função Custo Total para produzir “x ” unidades de um certo produto é dado pela função
C(x) = x3 – 30x2 + 400x + 500, determine:
a) o custo fixo;
b) custo variável;
c) o custo de fabricação de 10 unidades;
d) o custo de fabricação de 11 unidades;
e) a variação do custo de fabricação da 11ª unidade.
31
E20) Se a equação p = –2x + 100 expressa a relação entre o preço p e a quantidade demanda x de um certo
produto, determine:
a) a função Receita;
b) a receita decorrente da venda de 5 unidades;
c) a receita decorrente da venda de 6 unidades;
d) a variação da receita decorrente da venda da 6ª unidade;
E21) Dadas as funções Receita e Custo R(x) = –x2 + 5x e C(x) = ( x – 1)3 + 4, onde x representa a quantidade
produzida e vendida, encontre a função Lucro Total.
E22) Dadas as funções C = 2x + 3 e R = -x2 + 6x, respectivamente Custo e Receita para um certo produto,
onde x representa a quantidade produzida e vendida, determine:
a) os pontos de nivelamento;
b) os gráficos de C e R no mesmo sistema de eixos;
c) o intervalo onde não ocorre prejuízo.
2.6. SITES RELACIONADOS
HTTP://WWW.PUCRS.BR/FAMAT/SILVEIRA/MATEMATICA/FUN_REC.PDF
HTTP://WWW.JSERVAJ.MAT.BR/_FACULDADE_APOIO/_LISTAS/_20062/ESTUDO%20DIRIGID
O%20FUN%C7%D5ES%20ECON%D4MICAS%2020062.PDF
http://ceduardo.nick.googlepages.com/Padaria_de_Helio.pdf
http://www.pucrs.br/famat/gertrude/matematica/Funcao_Receita_Custo.pdf
http://mtuliop.googlepages.com/demandaoferta2.doc
32
2.7. RESPOSTAS
E1) O custo fixo Cf
E2) O custo de produção das cinco primeiras unidades.
E3) O custo de produção da sexta unidade.
E4) A soma dos custos de produção da oitava e nona unidades.
b) Cv(x) = x2
E5) a) Cf = 2
d) C(10) – C(9) = 19 u.m.
c) C(10) = 102 u.m.
E6) y = x – 2
y
curva de oferta
4
2
0
2
4
6
x
E7) PE(2,5)
y
9
curva de oferta
5
curva de demanda
0 1/3
E9) R(x) =
x2
2
2
9/2
x
10x
33
E10)
y
50
R
0
10
20
x
b) R(4) – R(3) = 3 u. m.
E11) a) R(4) = 24 u. m.
c) x = 5 e Rmáx = R(5) = 25
E12) PN1(2,22) , PN2(8,40) e (2,8)
E13) a) L(x) = -2x2 + 10x – 8
E14) a) (5,8)
b) (1,9) , (4,24)
c) 25
d)
9
2
f)[1,4]
b)
y
curva de oferta
13
8
curva de demanda
0 1
5
13
y
E15) (3,16)
y
25
curva de oferta
16
curva de demanda
0
3
5
E16) y = 2x – 5 , sendo a demanda y dada em milhares.
E17) y
20 x
3
190
3
34
x
E18) a) demanda y = 7 – x
b) oferta y = 4x + 2
c) (1,6)
d)
y
curva de oferta
7
6
curva de demanda
2
0
1
E19) a) 500
7
y
b) Cv = x3 – 30 x2 + 400x , Cf = 500
E20) a) R(x) = –2x2 + 100x
b) 450
c) 528
c) 2500
d) 2601
d) 78
E21) L(x) = –x2 + 5x – (x – 1)3 – 4
E22) a)(1,5) e (3,9)
b)
c) [1,3]
C
y
x
35
e) 101
3. DERIVADAS
3.1. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA
A derivada se originou do seguinte problema geométrico: como determinar a reta tangente em um
ponto de uma curva qualquer. Este problema foi resolvido por Isaac Newton e G. Leibniz, em trabalhos
independentes um do outro. Mais tarde descobriu-se que a derivada que fornece o coeficiente angular
da reta tangente também permite determinar a taxa de crescimento ou decrescimento de uma curva, isto
é, a velocidade com que a curva está variando em um certo ponto.
O conceito de derivada apresenta muitas aplicações, sendo muito usado em engenharia, economia,
medicina e computação. Nesta disciplina, estamos interessados no uso da derivada para responder as
seguintes questões: Em um certo intervalo, a função custo está crescendo a taxas crescentes ou a taxas
decrescentes? Para que quantidade vendida se obtém a receita máxima ou o lucro máximo? Qual a
receita máxima ou lucro máximo? Quais os intervalos de crescimento e decrescimento da receita ou do
lucro?
A seguir apresentaremos as notações que serão usadas em nosso estudo e as regras de derivação que
nos permitem encontrar, com facilidade, as derivadas das funções estudadas, sem o uso da definição, que
é trabalhosa e foge do nosso escopo.
Notações:
A derivada de uma função y = f(x) é uma função representada por:
f ’(x) , Dx f(x) ,
d
f (x)
dx
ou y’ , Dx y ,
36
dy
,se y = f(x).
dx
3.2. REGRAS DE DERIVAÇÃO
1. DERIVADA DA FUNÇÃO CONSTANTE
Dx c = 0
Exemplos:
a) Dx 5 = 0
b) Se f(x) =
3
então f’(x) = 0
2
c) Se y = e então y’ = 0
2. DERIVADA DA FUNÇÃO IDENTIDADE
Dx x = 1
3. DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL
(ex)’= ex
4. DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL
(ln x )’=
1
x
5. DERIVADA DA SOMA OU DIFERENÇA DE FUNÇÕES
(f(x)
g(x))’= f ’(x)
g ’(x)
Exemplos:
a) Dx ( 5 + ex ) = 0 + ex = ex
b) Se f(x) = x – ln x então f’(x) = 1 –
1
x
6. DERIVADA DO PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA FUNÇÃO
(c.f(x))’ = c.f ’(x)
Exemplos:
a) Dx 5x = 5.1 = 5
b) Se f(x) =
37
3 ln x
3 1
então f’(x) = .
2
2 x
3
2x
E1) Encontre y’, sabendo que:
a) y = x – 3
b) y = ex + 5
c) y = 4 – ln x
d) y = 2x + e
e) y = 7 – 6x
f) y = 3ex + 8ln x –1
g) y =
12 x 9
3
h) y =
12 x 9
5
i) y =
ln x
2
x
3
5
j) y = ln 4 – 3e + 2 – 1
7. DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA
(xp)’= pxp-1
Exemplos:
a) Dx x3 = 3x2
3
3 x
x 3 , f(x) = x3/2 então f’(x) = .x 1 / 2 =
2
2
b) Se f(x) =
1
c) Se y =
x
, y = x-4 então y’ = – 4x-5 =
4
4
x5
E2) Encontre y’, sabendo que:
a) y = x4 – 3x2 + 2x – 3
d) y =
2x 2
3x
x
g) y = 2 x
j) y =
33 x
b) y =
x2
2
e) y =
x2 1
x 1
3x e
h) y = 3x3.(2 + 4x)
1
x
38
c) y = x 3
f) y =
3
2x
2
2e x
x e2
1
x
i) y = (x2 – 1)(2 + x)
8. DERIVADA DO PRODUTO DE DUAS FUNÇÕES
(f(x).g(x))’= f(x).g’(x) + g(x).f ’(x)
Exemplo:
Dx (x3.ln x ) = x3.
1
+ .ln x . 3x2 = x2 + 3x2.ln x = x2.(1 + 3ln x)
x
9. DERIVADA DO QUOCIENTE DE DUAS FUNÇÕES
f (x)
g( x )
'
g( x).f ' ( x ) f ( x).g' (x )
[g( x )] 2
Exemplo:
Se f(x) =
(1 4x ).2 (2x 3)( 4)
2x 3
então f’(x) =
1 4x
(1 4x ) 2
2 8x 8x 12
(1 4x )
2
10
(1 4x ) 2
E3) Encontre y’, sabendo que:
a) y = x.ln x
b) y = 3x2ex
e) y = ex lnx
f) y =
ex
2x
2
3 2x
j) y =
x2 1
x 1
i) y =
c) y =
2 3x
1 x
g) y = 5x3ln x
x2 2
1 2x
3( x 2 1)
h) y =
x
d) y =
E4) Resolve as equações f’(x) = 0, para:
a)f(x) = x2 – 4
b) f(x) = x2 – 3x + 2
c) f(x) = 5x – 4
d) f(x)=x4– 8x2 – 5
e) f(x)= x4– 4x3
f) f(x)= x3– 12x+4
g) f(x)=x3– 3x2+5
h) f(x)= 3x5– 5x3
i) f(x) =
x3
3
2x 2
3x 10
j) f(x) =
x3
3
3 2
x
2
39
2x 1
3.3. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM
PONTO
A derivada f ’(x1), se existir, fornece a declividade da reta tangente ao gráfico de uma função f no
ponto P(x1 , f(x1)).
y
f
f(x1)
0
t
P
x1
x
f ’(x1) = at
Exemplo:
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função logaritmo natural no ponto de abscissa 1.
Solução:
f(x) = ln x
Se o ponto de tangência P tem abscissa x1 = 1, a ordenada y1 é f(x1) = f(1) = 0.
A declividade da reta tangente ao gráfico da f no ponto P é a = f’(x1) = f’(1) = 1.
Portanto, a equação da reta tangente é y – 0 = 1(x – 1) ou y = x – 1.
E5) Seja a função definida por f(x) = x2.
a)Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 1.
b)Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 1.
c)Esboce os gráficos de f e da reta tangente, no mesmo sistema de eixos.
E6) Seja a função definida por f(x) = 4x – x2 no ponto P(1, 3).
a)Encontre a derivada da função f.
b)Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto P.
c) Escreva a equação da reta tangente, no ponto P.
40
3.4. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
3.4.1. CUSTO MARGINAL
Cmg(x) = C’(x)
Sendo C a função Custo Total para produzir “x ” unidades de um certo produto, chama-se Custo Marginal
a derivada da função Custo Total em relação a x.
O custo marginal é aproximadamente a variação do custo decorrente da produção de uma unidade
adicional. Por exemplo, Cmg(10) = C’(10) é aproximadamente o custo da décima primeira unidade.
E7) Se a função Custo Total é dada por C(x) = x3 – 30x2 + 400x + 500, determine a função custo marginal.
3.4.2. RECEITA MARGINAL
Rmg(x) = R’(x)
Sendo R a função Receita Total decorrente da venda de “x ” unidades de um certo produto, chama-se
Receita Marginal a derivada da função Receita Total em relação a x.
E8) Se a função Receita Total é dada por R(x) = – 2x2 + 100x, determine a função receita marginal.
Observação: Do mesmo modo que a custo marginal, a receita marginal representa, aproximadamente, a
variação da receita total devido a venda de uma unidade a mais, a partir de “x ” unidades.
No exemplo anterior: Rmg(5) = 80
R(6) – R(5) = 78. Então, a receita marginal calculada
no ponto 5 é a variação aproximada da receita decorrente da venda da 6ª unidade.
3.4.3. LUCRO MARGINAL
Lmg(x) = L’(x)
Sendo L a função Lucro Total decorrente da produção e venda de “x ” unidades de um certo produto,
chama-se Lucro Marginal a derivada da função Lucro Total em relação a x.
41
E9) Se a função Receita é dada por R(x) = –2x2 + 100x e a função Custo é dada por C(x) = x2 +10x + 375,
onde x representa a quantidade produzida e vendida, determine:
a) a função Lucro Total;
b) a função Lucro Marginal;
c) o lucro marginal ao nível de 10 unidades;
d) a interpretação do resultado c.
E10) Se a função Receita é dada por R(x) = 100x e a função Custo Total C(x) = x 2 +20x + 700, onde x
representa a quantidade produzida e vendida, determine:
a) a função Custo Marginal;
b) a função Receita Marginal;
c) a função Lucro Total;
d) a função Lucro Marginal;
e) o custo de produção de 11 unidades;
f) o custo de produção da 11ª unidade;
g) use a função Custo Marginal para estimar o custo de produção da 11ª unidade;
h) a receita decorrente da venda de 11 unidades;
i) a variação da receita decorrente da venda da 11ª unidade;
j) use a função Receita Marginal para estimar a variação da receita decorrente da venda da 11ª unidade;
k) o lucro decorrente da produção e venda de 11 unidades;
l) a variação do lucro decorrente da produção e venda da 11ª unidade;
m) use a função Lucro Marginal para estimar a variação do lucro decorrente da produção e venda da 11ª
unidade;
E11) Dadas as funções Receita e Custo R(x) = – x2 + 9x e C(x) = 2x + 6, determine o Lucro Marginal no
x = 2 e interprete o resultado obtido.
3.5. SITES RELACIONADOS
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/derivada/derivada1.htm
http://www.qfojo.net/criar+/mat/deriv/derivadas.htm
http://www.vestibular1.com.br/revisao/tabela_derivadas.pdf
http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/
http://www.neema.ufc.br/Ern_cap2_parte2.htm
http://www.ufpi.br/uapi/conteudo/disciplinas/matematica/uni04_funcoes_05.html
42
3.6. RESPOSTAS
E1) a) y’= 1
f) y’= 3ex +
8
x
E2) a) y’= 4x3 – 6x + 2
f) y’= -
3
1
3
2
x
x
E3) a) y’= 1 + ln x
b) y’= ex
c) y’=
g) y’= 4
h) y’=
b) y’= x – 3
g) y’=
1
1
3
x
1
x
d) y’= 2
12
5
i) y’=
e) y’ = 1
h) y’ = 18x2 + 48x3
i) y’=3x2 + 4x – 1
j) y’ =
x2
i) y’=
4
j) y’= 1
(3 2x ) 2
E4) a) x = 0
2x
b) x =
1
c) y’=
i) x = 1 , x = 3
j) x = 1 , x = 2
E5) a) 2
b) y = 2x – 1
h) y’=
2x 2
3x 2
3
2
c) NE
d) x = 0 , x = -2 , x = 2
g) x = 0 , x = 2
h) x = 0 , x = -1 , x = 1
c)
y
x
43
2x 4
(1 2 x ) 2
x
3
2
f) x = -2 , x = 2
d) y’=
2
g) y’= 5x2(1+3ln x)
2
e) x = 0 , x = 3
1
2 x3
e x ( x 1)
f) y’=
j) y’= 0
d) y’= 2
b) y’=3x ex (2 + x)
1
+ln x)
x
1
2x
c) y’= 3x2 –2ex –
(1 x )
e) y’= ex (
1
3
e) y’= –6
E6) a) f’(x) = 4 – 2x
b) 2
c) y = 2x + 1
E7) Cmg = 3x2 – 60x + 400
E8) Rmg = – 4x + 100
E9) a) L = –3x2 + 90x – 375
E10) a) Cmg = 2x + 20
f) 41
g) 40
b) Lmg = – 6x + 90
b) Rmg = 100
h) 1100
c) 30
c) L = –x2 + 80x – 700
d) Lmg = – 2x + 80
e) 1041
i) 100
k) 59
m) 60
j) 100
E11) 3
44
l) 59
4. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO
POLINOMIAL
Considere o gráfico abaixo, de uma função polinomial f.
y
f
20
10
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
x
-10
-20
a) A função f é crescente em (
, 0]  [15,25]  [40,
).
b) A função f é decrescente em [0,15]  [25,40].
Observações:
a) Os intervalos onde f é crescente ou decrescente são partes do domínio da f.
b) Os pontos onde f muda o crescimento apresentam retas tangentes ao gráfico de f horizontais.
c) Retas horizontais tem declividade “zero”, portanto f’(0) = f’(15) = f’(25) = f’(40) = 0.
d) A função f não possui máximo, pois não existe o ponto mais alto do gráfico.
e) A função f não possui mínimo, pois não existe o ponto baixo do gráfico.
f) A função f possui máximos, por exemplo, nos intervalos (-5,5) e (20,30). Este tipo de máximo é
denominado máximo local ou relativo.
g) A função f possui mínimos, por exemplo, nos intervalos (10,20) e (35,45). Este tipo de mínimo é
denominado mínimo local ou relativo.
h) Os máximos relativos de f são 20 e 10, que acontecem, respectivamente, nos pontos 0 e 25.
i) Os mínimos relativos de f são -10 e -20, que acontecem, respectivamente, nos pontos 15 e 40.
j) Os máximos e mínimos relativos de f são denominados extremos relativos de f.
45
4.1. PONTO ESTACIONÁRIO
Um ponto c do domínio de uma função f é chamado de ponto estacionário de f se f ’(c) = 0.
Geometricamente:
y
y
y
t
0
c
y
t
x
0
c
t
x
0
c
t
x
0
c
E1) Encontre os pontos estacionários de f, sendo:
a)f(x) = x3 – 3x + 2
b) f(x) = x4– 2x2 + 3
c) f(x) = x3 – 6x + 4
4.2. DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
Seja f uma função continua em [a,b] e derivável em (a,b).
a) Se f ’(x)>0 para todo x
(a,b) então f é crescente em [a,b]
b) Se f ’(x)< 0 para todo x
(a,b) então f é decrescente em [a,b]
)
Exemplo:
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por f(x) = x 3 – 6x2 + 1.
Solução:
1o) Determinação dos pontos estacionários:
f’(x) = 3x2 – 12x
3x2 – 12x = 0
3x.(x – 4) = 0
2o) Determinação do sinal da derivada nos intervalos (
Para qualquer x (
3x = 0 ou x – 4 = 0
,0) , (0,4) e (4,+
,0) , f’(x) > 0, logo f é crescente em (
,0).
Para qualquer x (0,4) , f’(x) < 0, logo f é decrescente em (0,4).
Para qualquer x (4, +
) , f’(x) > 0, logo f é crescente em (4, +
46
).
):
PE={0,4}
x
Importante:
Para determinar o sinal da derivada num intervalo, basta escolher um ponto qualquer do intervalo e
calcular a derivada nesse ponto.
E2)Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções dadas por:
a) f(x)=x3 –5
b) f(x)=x4– 8x2 – 5
d) f(x)= x4– 4x3
c) f(x)= 2x – 1
4.3. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO
4.3.1. TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA(TDP)
Seja f uma função continua e derivável em (a,b), exceto possivelmente em c
a)
(a,b)
Se f ’ passa de positiva para negativa em c então f(c) é máximo relativo de f
b) Se f ’ passa de negativa para positiva em c então f(c) é mínimo relativo de f
c)
Se f ’ não muda de sinal em c então f(c) não é extremo relativo de f
Geometricamente:
y
y
y
t
0
c1
y
t
x
0
c2
t
x
0
c3
t
x
0
c1 é ponto de máximo relativo e f(c1) é máximo relativo de f
c2 é ponto de mínimo relativo e f(c2) é mínimo relativo de f
c3 e c4 não são pontos extremantes
Exemplo:
Determine os máximos e os mínimos relativos da função dada por f(x) = x 4 – 8x2 .
47
c4
x
Solução:
1o) Determinação dos pontos estacionários:
f’(x) = 4x3 – 16x
4x3 – 16x = 0
4x.(x2 – 4) = 0
2o) Determinação do sinal da derivada nos intervalos (
4x = 0 ou x2 – 4 = 0
,-2) , (-2,0) , (0,2) e (2,+
,-2) , f’(x) < 0, logo f é decrescente em (
Para qualquer x (
PE={-2,0,2}
):
,-2).
Para qualquer x (-2,0) , f’(x) > 0, logo f é crescente em (-2,0).
Para qualquer x (0,2) , f’(x) < 0, logo f é decrescente em (0,2).
Para qualquer x (2, +
) , f’(x) > 0, logo f é crescente em (2, +
).
TDP
f(-2) = -16 é mínimo relativo de f, f(0) =0 é máximo relativo de f e f(2) = -16 é mínimo relativo de f.
E3) Encontre os máximos e mínimos relativos das funções dadas por:
a) f(x)= x4 – 8x2 + 1
b) f(x)= x3 + 3x2 – 5
c) f(x) = 3x4 + 4x3 – 12x2 + 16
d) f(x) = x3 – 12x
4.3.2. TESTE DA DERIVADA SEGUNDA(TDS)
Seja f uma função derivável em (a,b) e c
(a,b), tal que f ’(c)= 0
a) Se f ’’(c) > 0 então f(c) é mínimo relativo de f.
b) Se f ’’(c) < 0 então f(c) é máximo relativo de f.
c) Se f ’’(c) = 0, nada podemos concluir.
Exemplo:
Determine os máximos e os mínimos relativos da função dada por f(x) = x 4 – 8x2 .
Solução:
1o) Determinação dos pontos estacionários:
f’(x) = 4x3 – 16x
4x3 – 16x = 0
4x.(x2 – 4) = 0
48
4x = 0 ou x2 – 4 = 0
PE={-2,0,2}
2o) Determinação da derivada segunda:
f’’(x) = 12x2 – 16
TDS
f’’(-2) = 32 > 0 então f(-2) = -16 é mínimo relativo de f
f’’(0) = -16 < 0 então f(0) =0 é máximo relativo de f
f’’(2) = 32 > 0 então f(2) = -16 é mínimo relativo de f
E4) Encontre os máximos e mínimos relativos das funções dadas por:
a) f(x)= x3– 12x+4
b) f(x)=x3– 3x2+5
c) f(x)= x4 – 8x2 + 6
d) f(x)= 3x5– 5x3
E5) Faça um estudo completo do comportamento das funções abaixo.
a)f(x)= 3x4–8x3+6x2
b) f(x)=2x3 – 3x2 – 12x + 10
d) f(x) = x2 – 4x + 6
e) f(x) =
x3
3
3 2
x
2
2x 1
c) f(x) =
x3
3
2x 2
3x 10
f) f(x) = x3 – 6x2+ 12x - 4
E6) Se L(x)= –x2 + 6x – 5 é a função lucro na venda de x unidades de um certo produto, determine o lucro
máximo.
E7) Seja R(x) = – 10x2 + 1000x a função receita total na venda de x unidades de um certo produto.
Determine a receita marginal e a receita máxima.
4.4. SITES RELACIONADOS
http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/
http://www.vestibular1.com.br/revisao/revisao_matematica_III.pdf
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm13/document/derivada/deriva_15/deriva_15.htm
http://www.ime.uerj.br/~calculo/Livro/maxmin.pdf
49
4.5. RESPOSTAS
E1) a) –1 ; 1
b) –1 ; 0 ; 1
E2) a) Cresc.
b) Cresc.:[-2,0]
d) Cresc.: [3,
) , Decresc.: (
E3) a) Máx. Rel.: f(0) = 1
c)
[2,
2; 2
) , Decresc.: (
, 2]
[0,2]
c) Cresc.
,3]
Mín. Rel. : f(–2) = f(2) = –15
b) Máx. Rel.: f(–2) = –1 Mín. Rel. : f(0) = –5
c) Máx. Rel.:f(0) = 16 Mín. Rel.:f(–2) = –16 e f(1) = 11 d) Máx. Rel.: f(–2) = 16 Mín.Rel.: f(2) =–16
E4) a) Máx. Rel.: f(–2) = 20
c) Máx. Rel.: f(0) = 6
E5) a) Cresc.: [0,
Mín. Rel. : f(2) = –12
Mín. Rel. : f(–2) = f(2) = -10
) , Decresc.: (
b) Cresc.: (
, 1] [2,
c) Cresc.: (
,1] [3,
d) Decresc.: (
,1] [2,
f) Cresc.: (
,
d) Máx. Rel.: f(–1) = 2
Mín. Rel. : f(1) = –2
) , Decresc.:[-1,2] , Máx. Rel.: f(–1) = 17 , Mín.Rel. : f(2) = –10
) , Decresc.:[1,3] , Máx. Rel.: f(1) =
34
, Mín. Rel. : f(3) = 10 ,
3
) , Máx. Re.:NE , Mín. Rel. : f(2) = 2
) , Decresc.:[1,2] , Máx. Rel.: f(1) =
) , Máx. Rel.: NE , Mín. Rel. : NE
E6) Lmáx = 4
E7) a) Rmg = – 20x + 1000
Mín. Rel. : f(2) = 1
,0] , Máx. Rel.: NE , Mín. Rel. : f(0) = 0
,2] , Cresc.: [2,
e) Cresc.: (
b) Máx. Rel.: f(0) = 5
b)Rmáx = 25000
50
11
5
, Mín. Rel. : f(2) =
6
3
5. INTEGRAL INDEFINIDA
Em matemática, cada vez que definimos uma operação, pensamos na sua operação inversa, que desfaz o efeito
da primeira. Assim, a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a operação inversa da multiplicação
e a extração da raiz quadrada é a inversa da operação que eleva ao quadrado. Estamos agora interessados na
operação inversa da derivação.
DERIVAÇÃO
F
F’= f
PRIMITIVAÇÃO
5.1. PRIMITIVA
Uma função F é chamada de primitiva de uma função f em um intervalo I se F’(x) = f(x),
x
I.
Exemplos:
As funções dadas por F1(x) = x2, F2 (x) = x2 + 1, F3(x) = x2 – 1 são primitivas da função dada por f(x) = 2x.
A função f possui infinitas primitivas que podem ser representadas por F(x) + k chamada de primitiva
geral ou integral indefinida da f que é notada por
f(x)dx ou seja f(x)dx = F(x) + k.
5.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA
A integral indefinida de uma função f é representada geometricamente por uma família de curvas que em
pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas.
Exemplo: 2 xdx
x2
k
51
E1) Determine:
a) 2xdx
c) 3x 2 dx
b) 5dx
d)
(5x 4
4x 3 )dx
5.3. REGRAS DE INTEGRAÇÃO
1.
dx
x
2.
e x dx
3.
dx
x
4.
[f(x)
k
ex
k
ln | x | k
g(x)]dx
f(x)dx
g(x)dx
Exemplos:
a)
(e x 1)dx
5.
cf(x)dx
e x dx
dx
ex
x k
b)
(3x 2 1)dx
b)
3
dx
2
3x 2 dx
x3
dx
x k
c f(x)dx , sendo c uma constante
Exemplos:
a)
5.e x dx
5 e x dx
5e x
k
3
dx
2
3x
2
k
E2) Encontre:
a) 2dx
f) (
4
5
b)
2
)dx
3x
(3 e x )dx
g) (
2e ln 6)dx
c) (1
h)
2
)dx
x
(3e e x )dx
52
d) edx
i) (
2x 3
)dx
x
e)
j)
(ln2
(
5e x )dx
5x 2 10x
x2
)dx
xp 1
k , sendo p
p 1
x p dx
6.
-1
Exemplos:
x 3 dx
a)
dx
c)
x
x4
4
k
x 4 dx
4
3
b)
x
3
3
k
1
3x 3
x 2 dx
x 2 / 3 dx
3
x5/3
5/3
3 x5
5
k
k
k
E3) Encontre:
a)
(2x 4 - x 3
d)
x dx
3x 2 - x
2)dx
b)
e)
(x 5 - 2x 3
5x - 3)dx
dx
c)
f)
dx
3x 2
x x dx
x
g)
j) (
(
2
x
1
3x 2
3
x
)dx
2
h)
(
5
2x
3
2
x
)dx
4
i)
x3
2x 1
dx
x2
x )dx
E4) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelo ponto P, sabendo que:
a) P(2,1) e f ’(x)= 2x
b) P(1,5) e f ’(x)= 6x2 – 2x + 5
d) P(–2,–3) e f ’(x) = 3x2 + x – 1
e) P(1,5) e f ’(x) =
c) P(0, –2) e f ’(x) = ex – 2
2
x
E5) Dadas as funções Cmg = 22q e Rmg = 3q2 + 6q + 2, respectivamente Custo Marginal e Receita Marginal
para um determinado produto, determine as funções Custo, Receita e Lucro, sabendo que o custo de
duas unidades é 84.
E6) Dadas as funções Rmg = –4q3 + 64q, Cmg = 20 e Cf = 200, respectivamente Receita Marginal, Custo
Marginal e Custo Fixo para um mesmo produto, determine a função Lucro.
53
E7) Sabendo que o custo marginal é dado por Cmg(x) = 10 e o custo de produção de duas unidades é
35 u.m., determine o custo fixo.
E8) Um fabricante pode produzir um determinado produto cujo preço de venda é R$ 10,00 a unidade. O
fabricante estima que se x unidades forem vendidas por semana, o custo marginal será C mg=2x. Ache
a função Lucro desse produto, sabendo que o custo de produção de quatro unidades é R$ 18.00.
E9) Um fabricante pode produzir um determinado produto cujo preço de venda é R$ 20,00 a unidade. O
fabricante estima que se x unidades forem vendidas por semana, o custo marginal será C mg=2x – 10.
Ache o lucro obtido pela produção e venda de 10 unidades desse produto, sabendo que o custo de
produção de quatro unidades é R$ 36.00.
E10) Um fabricante produz e vende uma quantidade q de certa mercadoria. As funções Custo Marginal
e Receita Marginal são respectivamente Cmg=2q + 20 e Rmg =–2q+140. Sabendo que o custo de
produção de dez unidades é R$ 800,00 , determine:
a) a função Custo Total;
b) a função Receita Total;
d) a função Lucro Total;
e) o lucro decorrente da venda de 5 unidades;
f) a variação do lucro decorrente da venda da 5a unidade;
c) a equação da demanda;
g) a função Lucro Marginal;
h) o Lucro Marginal no ponto 4 e interprete o resultado obtido.
5.4. SITES RELACIONADOS
http://www.exatec.unisinos.br/~matematica/arquivos/intindef.doc
http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php
http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/calculo1_aula15.pdf
http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integralindefinida.pdf
http://www.ufpi.br/uapi/conteudo/disciplinas/matematica/uni07_int_ind_01.html
54
5.5. RESPOSTAS
E1) a) x2 + k
b) 5x + k
c) x3 + k
d) x5 + x4 + k
E2) a) 2x + k
b) 3x + ex + k
c) x – 2ln |x| + k
d) ex + k
4x
5
f)
2
ln | x | k
3
e) x ln 2 - 5ex + k
h)3ex + ex + k
g) ( – 2e + ln 6)x + k
i) 2x – 3ln |x| + k
j) 5x – 10ln |x| + k
2x 5
5
x4
4
d)
2 x3
3
k
h)
5
2x
E3) a)
1
x3
x3
x2
2
e) 2 x
k
i)
x2
2
k
E4) a) y = x2 – 3
d) y = x3 +
b)
2x k
x6
6
f)
2 ln | x |
x4
2
2 x5
5
1
x
5x 2
2
k
k
3x k
c)
g) 2 ln | x |
3
x
j)
1
3x
2 x3
3
b) y = 2 x3 – x2 + 5x – 1
x2
– x +1
2
1
3x
k
k
k
c) y = ex – 2x –3
e) y = 2ln x + 5
E5) C = 11q2 + 40 ; R = q3 + 3q2 + 2q ; L = q3 – 8q2 + 2q – 40
E6) L = – q4 + 32q2 – 20q – 200
E7) 15
E8) L = 10x – x2 – 2
E9) 140
E10) a) C = q2 + 20q + 500
d)L = –2q2 + 120q – 500
b) R = –q2 + 140q
c) q =–p + 140
e) 50
g) Lmg = –4q + 120
f) 102
55
h) 104
6. INTEGRAL DEFINIDA
Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real
b
representado por
a
f(x)dx e calculado por F(b) - F(a).
b
a
f(x)dx = [F(x)]
b
a
Exemplo:
3
Calcule
x 2 dx
0
Solução:
1o ) Cálculo da integral indefinida:
x 2 dx
x3
3
k
2o ) Cálculo da integral definida:
3
0
x3
x dx
3
3
2
9 0
9
0
6.1. PROPRIEDADES BÁSICAS
a)
b)
c)
d)
a
a
f(x)dx = 0
b
a
a
b
f(x)dx = -
f(x)dx
b
b
a
a
c.f(x)dx = c.
b
a
[f(x)
f(x)dx , sendo c uma constante
g(x)]dx =
b
b
f(x)dx ±
g(x)dx
a
a
e)
b
c
f(x)dx = f(x)dx +
a
a
f)
b
f(x)dx
a
0, se f(x)
0,
b
c
f(x)dx , com a < c < b
x
[a,b]
56
= F(b) - F(a)
E1)Calcule:
a)
1
0
(x 4
2
d)
1
b)
dx
e)
0
1
(3x 5
3x 2
2 x 1)dx
2 2
c)
0
4
3
3
2x
3x 3 1)dx
2
(3x - 2)dx
f)
1
1
x (x - 1)dx
2
dx
x
6.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA
b
Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número
f(x)dx representa a área da região
a
limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b.
y
f
R
0
a
b
x
b
AR =
f(x)dx
a
6.3. ÁREA DA REGIÃO ENTRE DUAS CURVAS
Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x)
g(x) ,
x
[a,b]. Se R é a região limitada pelos
b
gráficos de f, g, x=a e x=b então AR =
[f(x) - g(x)]dx
a
y
f
R
g
0
a
b
57
x
E2) Escreva a integral que fornece a área da região R:
a)
y
f
R
–4
b)
0
2
x
y
–1
0
R
6
x
f
c)
y
g
–2
3
0
x
R
f
d)
g
y
f
R
–3
3
0
e)
x
y
–2
4
0
x
g
R
f
58
E3)Use integração para calcular as áreas das regiões hachuradas.
a)
f(x) = x
b)
f(x) = -x2 + 4
f(x) = x2 – 4
c)
d)
f (x)
x
2
2
59
e)
g(x) = x2
f(x) = x
f)
f x
x3
gx
6.4. SITES RELACIONADOS
http://www.ufpi.br/uapi/conteudo/disciplinas/matematica/uni07_int_def_01.html
http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integraldefinida.pdf
http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral
60
-x 2
6.5. RESPOSTAS
E1) a)
9
20
b)
7
2
c)
4
3
d)
2
E2) a)
f)
3
c)
1
0
3
g( x )dx
E3) a) 8 u.a.
f) 4
6
f ( x )dx
3
e) 8
b) – f ( x )dx
f ( x )dx
4
d)
3
4
[f ( x ) g( x )]dx
2
4
e)
0
[g( x ) f ( x )]dx
2
b)
32
u.a.
3
c)
32
u.a.
3
d)5 u.a.
3
u.a.
4
61
1
e) u.a.
3
APÊNDICE
1.CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Q I
a
/a, b
b
Onde: Q
Z, com b 0 é o Conjunto dos números racionais e I é o conjunto dos números
irracionais.
Exemplos:
0=
0
1
Q,
– 4=
4
1
3
=0,75(decimal finita)
4
Q,
25
5
1
Q,
Q,
2
=0,222...(decimal infinita e periódica)
9
Q,
1,414213... (decimal infinita e não periódica)
I,
π 3,141592... (decimal infinita e não periódica)
I,
2
2 3
3,464101... (decimal infinita e não periódica)
I,
6
3
0,816496... (decimal infinita e não periódica)
I,
0, – 4,
25 ,
3 2
6
, , 2 ,π,2 3 ,
4 9
3
Observações:
0
5
4
16
0,
2,
0
é indeterminado,
0
5
8
não existe ,
0
1
3 1,245730... ,
i
16
4,
4
,
1.1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO CONJUNTO
-2
-1
0 0,5 1
1
4
2
6
5
3
π
62
2i
3
8
2,
2. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
2.1. Adição e subtração de frações
Para adicionar(subtrair) frações, devemos reduzir as frações ao mesmo denominador
e adicionar(subtrair) os numeradores conservando o denominador comum.
Exemplo:
2
3
5
2
4 15 24
6
4
5
6
2.2. Multiplicação de frações
Para multiplicar frações, devemos multiplicar numerador com numerador e
denominador com denominador.
Exemplo:
2 5
4. .
3 2
4.2.5
1.3.2
40
6
20
3
2.3. Divisão de frações
Para dividir frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda
fração.
Exemplo:
2 5
:
3 2
2 2
.
3 5
4
15
3. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Para simplificar uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador pelo
máximo divisor comum de ambos(maior número inteiro que divide os dois).
Exemplo:
36
. O máximo divisor comum entre 36 e 27 é 9. Portanto, devemos dividir o 36 e o 27 por 9,
27
36 : 9 4
27 : 9 3
Seja a fração
isto é:
36
27
63
4. INTERVALOS
Sejam a,b
, com a < b.
4.1. Intervalo fechado de extremos a e b: [a,b] = x
a
/a
x
b
b
4.2. Intervalo aberto de extremos a e b: (a,b) = x
a
/a
x
b
b
4.3. Intervalo fechado à direita de extremos a e b: (a,b] = x
a
/a
a
/a
b
4.5. Intervalo infinito fechado à esquerda: [a,
)= x
/x
a
a
)= x
/x
a
a
4.7. Intervalo infinito fechado à direita: (
,a] = x
/x
a
a
4.8. Intervalo infinito aberto à direita: (
,a) = x
/x
a
Observação:
(
,
b
b
4.4. Intervalo fechado à esquerda de extremos a e b: [a,b) = x
4.6. Intervalo infinito aberto à esquerda: (a,
x
)=
64
a
x
b
Exemplo:
Determine se verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:
a) [1,4] = (1,4)
b) [1,3]={1,2,3}
c) (2,4)={3}
d) (3,4)={ }
Solução
a) Falsa, o primeiro intervalo inclui o 1 e o 4, o segundo intervalo não.
b) Falsa, o primeiro intervalo inclui o 1, o 3 e todos os reais entre 1 e 3, o segundo é um conjunto
finito, constituído por três elementos o 1, o 2 e o 3.
c) Falsa, o primeiro intervalo inclui todos os reais entre 2 e 4, o segundo é um conjunto finito,
constituído por um único elemento o 3.
d) Falsa, o primeiro intervalo inclui todos os reais entre 3 e 4, o segundo é um conjunto vazio.
5. OPERAÇÕES COM INTERVALOS
5.1. União ou Reunião
A operação união ou reunião de dois conjuntos A e B é o conjunto representado por A
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Exemplos:
a) {-1,0,1,2}
b) (-1,2]
{1,2,3,4} = {-1,0,1,2,3,4}
[1,4) = (-1,4)
5.2. Intersecção
A operação intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto representado por A
formado pelos elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B.
Exemplos:
a) {-1,0,1,2}
b) (-1,2]
{1,2,3,4} = {1,2}
[1,4) = [1,2]
65
B,
B,
5.3. Diferença
A operação diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, é o conjunto representado por
A – B, formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.
Exemplos:
a) {-1,0,1,2}–{1,2,3,4} = {-1,0}
b) (-1,2] – [1,4) = (-1,1)
E1) Represente graficamente os conjuntos:
1) (0, 3]
[1,5]
5) (–3, 4]
(0,
9)
(1,
2) [1, 4]
3) (–2, 3) – [0, 5)
[0,6)
6) [–2, 3) – [–3, 5)
)
)
7)
[2,
)
4) (
8)
,2]
(1,7]
– {0,1,2}
– {–2}
10)
6. PRODUTOS NOTÁVEIS
6.1. Quadrado da Soma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
6.2. Quadrado da Diferença: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
6.2. Produto da Soma pela Diferença: (a + b).(a – b) = a2 – b2
Exemplos:
Desenvolva os produtos:
a) (3x + 2)2
b)(4x – 5)2
c) (2x + 3).(2x – 3)
Solução
a) (3x + 2)2 = (3x)2 + 2.(3x.2) + 22 = 9x2 + 12x + 4
b) (4x – 5)2 = (4x)2 – 2.(4x.5) + 52 = 16x2 – 40x + 25
c) (2x + 3).(2x – 3) = (2x)2 – 32 = 4x2 – 9
E2)Desenvolva os produtos:
1) (x + 3)2
2) (x – 2)2
6) (x – 1).(x + 1)
7) (2x +
1 2
)
2
3) (x + 5).(x – 5)
8) (x +
1
1
).(x – )
2
2
66
4) (1 – x)2
9) (
2x
3
+ )2
3
4
5) (2x – 3)2
10) (3x +
4
4
).(3x – )
5
5
7. FATORAÇÕES COMUM E DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
Fatorar uma expressão é escrever a expressão na forma de multiplicação.
Exemplos:
Fatore as expressões abaixo:
a) 18x4 + 12x2
b) 4x2 – 25
Solução
a) Em 18x4 + 12x2 vamos aplicar a fatoração comum.
– O máximo divisor comum dos coeficientes 18 e 12 é 6.
– O máximo divisor comum da parte literal x4 e x2 é x2(letra comum com o menor expoente).
Portanto, vamos colocar em evidência o máximo divisor dos termos da expressão que é 6x 2.
18x4 + 12x2 = 6x2(
18x 4
12x 2
6x 2
6x 2
) = 6x2(3x2 + 2)
b) 4x2 – 25 é uma diferença de dois quadrados.
A forma fatorada de uma diferença de dois quadrados a 2 – b2 é (a + b)(a – b), então:
4x2 – 25 = (2x + 5)(2x – 5)
E3) Fatore as expressões:
1) 4x + 2x2
2) 3x2 – 6x
3) x3 + 5x2
4) x2 – 1
6) x4 – 4x2
7) x5 – x3
8) x5 + x4
9)
5) 4x2 – 9
x2 4
–
4 9
10) 9x3 –
8. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 1O GRAU
ax = b, com a
Solução :
Como a
0
0 , podemos dividir os dois membros por a,
Conjunto Solução:
S= x
/x
b
, com a
a
67
0
ax
a
b
b
daí, x = .
a
a
x
16
Exemplo:
Resolva a equação
Solução:
2x
3
2x
3
4
2x
2
–2x = 12
4
12
2
x = –6 ,
S ={-6}
E4) Resolva as equações:
1) –4x = 2
2)
x
4
3
5
3) –0,3x =
5) 0,25x + 2 = 0,2x – 4
6) x + 3 =
8) (x – 2)2 = x2 + 3x
9)
x
2
2
3
4) 2x + 4 = 1 – x
x 2
2
7) 3x – 2 + x2 = x2 – 4
2x 4
5
10) x2 – 9 = (x + 2)2
1
3
9. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 2O GRAU
ax2 + bx + c = 0, com a
Solução :
b
x=
b2
2a
0
4ac
Exemplo:
Resolva a equação –x2 +5x + 6 = 0
Solução: a = –1 , b = 5 e c = 6, logo: x =
Portanto x1 =
5 7
2
12
2
6 ou x2 =
5
52
4.( 1).6
2.( 1)
5 7
2
2
=
5
25 24
5 7
=
2
2
1 , S ={– 1,6}
2
E5) Resolva as equações:
1) x2 – 4 = 0
2) x2 – 4x = 0
3) x2 + 4 = 0
4) 2x2 + 3x = 0
5) x2 – 5x + 4 = 0
6) x2 + 4x + 4 = 0
7) x2 – 2x + 4 = 0
8) (x – 2)2 = x
9) 5x – 2 – 2x2 = 0
10) x2 – 9 = 1 – (x + 2)2
68
10. PRODUTO NULO
a.b = 0
a = 0 ou b = 0
Exemplos:
Resolva as equações:
a) x2 – 4x = 0
b) x 5 – 9x3 = 0
Solução:
a) x2 – 4x = 0
x.(x – 4) = 0
b) x5 – 9x3 = 0
x = 0 ou x – 4 = 0
x3.(x2 – 9) = 0
x = 0 ou x = 4
x3 = 0 ou x2 – 9 = 0
x = 0 ou x =
3
E6) Resolva as equações:
1) (x – 4).(x +3) = 0
2) x.( x – 1).(x +2).(x2 – 9) = 0
5) x4 + 3x3 = 0
6) 2x5 + 6x4 = 0
9) x5 – 9x3 = 0
10) x6 – 25x4 = 0
3) x2 – x = 0
7) x3 – 5x2 + 4x = 0
4) x3 – 16x = 0
8) x4 + 4x3 + 4x2 = 0
11. RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1O GRAU
Exemplo:
Resolver a inequação
Solução:
2x
3
2
2x
3
2
4
2x
3
4
2 2
2x 6
2
2x
3
4 2
x
3
2x
.3
3
2
x
2 .3
3 , S = [–3,
)
3
5
4) –0,3x
2x
6
2
–3
E7) Resolva as inequações:
1) 5x > 3
2) – 4x
5) 2x + 4 < 1 – x
6) 0,25x + 2
9) (x – 2)2
x2 + 3x
10)
x
2
1
3
2
3)
0,2x – 4
x
4
7) x + 3 >
2x 4
5
69
x 2
2
2
3
8) 3x – 2 + x2 < x2 – 4
12. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1O GRAU
Exemplo:
2 x 3y
Resolver o sistema
x y
3
4
Resolução pelo método da substituição:
Isolando x na 2a equação temos: x = y + 4.
Substituindo o x obtido na 1a equação temos: 2( y + 4 ) + 3y = 3.
Resolvendo a equação do 1o grau obtemos: y = –1
Substituindo y = –1 na equação x = y + 4, obtemos x = 3.
Solução:
x
y
3
1
Resolução pelo método da adição:
2 x 3y
x y
3
4
Multiplicando-se a 2a equação por 3 obtemos:
2 x 3y
3
3x 3y 12
Adicionando membro a membro as duas equações temos: 5x = 15
x=3
Substituindo x = 3 na 2a equação do sistema dado obtemos: y = –1
Solução:
x
3
y
1
E8) Resolva os sistemas:
1)
6)
x y
3
2)
x y 1
3x 7 y
0
5x 2 y
0
7)
x 2y
6
x 3y 1
x y
x 2y
6
2
3)
8)
3x y
6
x 2y
2
3x 5y 1
6x y
2
70
4)
9)
x 3y
0
4x y
22
x
2
x
4
y
3
y
2
5)
1
10)
4
x
2
y
2
x
y
3
4
2 x 3y
2
6
0,1x 0,25y 1
13. POTÊNCIAS
Sejam a,b
e m,n {1,2,3,...}.
an
a
.
a.
a. 

a
n vezes
Exemplos:
a) 25 = 2.2.2.2.2 = 32
b) (-3)5 = (-3). (-3). (-3). (-3). (-3) = -243
Propriedades
a) a0 = 1,
a 0
Exemplos:
a) 20 = 1
b) (-3)0 = 1
b) am.an = am+n
Exemplos:
a) 23 .22 = 25 = 32
b) (-3)2.(-3)3 = (-3)5 = -243
d) (a.b)n = an.bn
Exemplos:
a) (2.3)3 =23 .33 = 63 = 216
e)
am
a
am
n
n
b) (-3)2.(-3)2 = [(-3).(-3)]2 = 81
, a 0
Exemplos:
a)
f)
a
26
22
24
n
an
bn
b
4
b)
( 3) 5
( 3) 2
( 3) 3
27
, b 0
Exemplos:
a)
2
3
3
23
3
3
8
27
b)
( 3) 3
( 2)
71
3
3
2
3
3
2
3
27
8
n
g) a m
= am.n
Exemplos:
a) 2 2
h) a-n =
1
an
3
2
6
b) ( 3) 3
64
2
( 3) 6
729
,a 0
Exemplos:
a) 5
3
1
5
i)
n
1
125
3
a m = am/n , quando
b)
n
2
3
2
2
3
2
4
9
a
Exemplos:
a)
3
36
36 / 3
32
9
4
2
b)
2
4/2
2
2
1
4
E9) Calcule o valor de:
2
5
1) 34
2) (0,3)0
3)
7) (81)1/2
8) (16)1/4
9) (-8)-1/3
1
4) 5-2
5) (23 )2
6) (-0,1) -3
10) 25.2-9
11) (16)3/2
12) 2-4:2-10
E10)Aplique as propriedades adequadas:
3
1) x
2) x .x
1
3)
x
6) x 1/3
7) x 3/4
8) x-4:x-10
-5
10
5
4)
9)
72
x 25
x 20
3
x2
5) (x13 )5
10)
x
2
14. FUNÇÃO EXPONENCIAL
A Função Exponencial é uma função definida por f(x) = a x, onde a
,a>0ea
1.
O gráfico de f(x) = ax depende do valor da base a.
y
y
x
x
a>1
função crescente
0<a<1
função decrescente
15. FUNÇÃO LOGARITMO
A Função logarítmica é a função definida por f(x) = loga x , onde a
, a>0 e a
1.
O gráfico de f(x) = logax depende do valor da base a.
y
y
x
x
a>1
função crescente
0<a<1
função decrescente
A função logarítmica de base a é a inversa da função exponencial de base a.
Assim temos y = logax
ay = x
E11) Calcule:
a) log 2 8
b) log 9
1
3
c) log 5 5
73
d) log 6 1
Propriedades dos Logaritmos
1. log b 1 0
2. log b b 1
3. log b AB log b A log b B
4. log b
A
B
5. log b A m
log b A log b B
m log b A
E12)Resolva as equações:
a)2x = 16
b)3x = 5
c)2 x = 7
74
16. RESPOSTAS
E1) 1)
0
5
2)
1
4
3)
-2
0
4)
7
5)
0
6)
4
{ }
7)
2
8)
0
1
2
9)
10)
-2
E2) 1) x2 + 6x + 9
5) 4x2 – 12x + 9
9)
4x 2
9
x
2) x2 – 4x + 4
3) x2 – 25
6) x2 – 1
7) 4x2 + 2x +
9
16
4) 1 – 2x + x2
1
4
8) x2 –
16
25
10) 9x 2
2) 3x(x – 2)
3) x2(x + 5)
5) (2x – 3)(2x + 3)
6) x2(x – 2)(x + 2)
7) x3(x + 1)(x – 1)
8) x4(x + 1)
9)
E3) 1) 2x(2 + x)
x
2
2
3
1
4
x
2
2
3
10) x 3x
75
4) (x + 1)(x – 1)
1
4
3x
1
4
1
2
2) S =
12
5
6) S ={ -8}
7) S =
2
3
E4) 1) S =
E5) 1) S = {-2,2}
6) S = {-2}
E6) 1) S = {-3,4}
3
E7) 1) S = ( ,
5
E8)1)
6)
E9)
x
2
x
0
y
0
4) S = 0,
8) S = {1,4}
,
7)
3) S = (
,
)
8) S = (
,
4
3)
y 1
x 10
y
8)
4
x
2
y
0
x
y
3
2
5) S = {1,4}
1
2
10) S = {-3,1}
5) S = {-3,0}
9) S = {-3,0,3}
1
)
2
12
)
5
4) S = [
2
)
3
1
3
0
x
6
y
2
11
2
21
4
x
9)
y
10) S = {-5,0,5}
20
,
9
4
9) S = [ ,
7
4)
13
4
10) S =
4) S ={-4,0,4}
8) S = {0,-2}
7) S = ( 8,
x
9) S = 2,
3) {0,1}
5) S = { -120}
34
3
9) S =
7) { }
2)
y 1
4
7
3) { }
2) S = (
)
4) S = { -1}
2) S = {0,4}
7) {0,1,4}
)
6) S = [120,
8) S =
2) S = {-3,-2,0,1,3}
6) S = {0,-3}
20
9
3) S =
)
5) S = (
)
10) S = [
5)
10)
x
4
y
0
x
y
1) 81
2) 1
3)
2
3
4)
1
25
5) 64
6) –1000
7) 9
8) 2
9)
1
2
10)
1
16
11) 64
12) 64
1
x5
2) x15
3) x3
4) x5
5) x65
4
8) x6
9) x 2 / 3
E10) 1)
7)
E11) a)3
E12) a) 4
x3
b)
1
2
b) log 3 5
c) 1
10)
d) 0
c) log 2 7
76
1
, para x 0
x
6) 3 x
, 1)
34
,
3
15
2
1
)
BIBLIOGRAFIA
MORETTIN, Pedro A., BUSSAB, Wilton O., HAZZAN, Samuel. Cálculo: funções de
variável. São Paulo : Atual, 1999.
SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática para os Cursos de economia,
ciências contábeis. São Paulo : Atlas, 1981.
77
uma
administração e