Curso: Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo I
1ª Avaliação
1) Calcule o limite lim
x →4
2x + 1 − 3
x −2 − 2
.
 3x 2 − 5x − 2

2) Dada a função f ( x ) = 
x −2
3 − ax − x 2

que exista lim f ( x ) .
se x < 2
, determine a ∈ ℝ para
se x ≥ 2
x →2
3) Determine a
especificado.
para que a função seja contínua no ponto
 x+2− 2

f (x) = 
x
3 x 2 − 4 x + a

se x > 0
se x ≤ 0
x −7 
 1
.
4) Determine lim 
+ 2
x →2 x − 2
x + x − 6 

5) Observando o gráfico da função f ( x ) podemos afirmar:
a)
b)
a função f ( x ) é derivável em x = b
lim+ f ( x ) = m
c)
lim f ( x ) = n
d)
e)
a função f ( x ) não é derivável no intervalo ( b, c )
nenhuma das alternativas acima é verdadeira
x →b
x →b
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Disciplina: Cálculo I
6) Uma tangente à curva f ( x ) = x 2 é paralela à reta 8 x − 2 y + 5 = 0 .
Determine as coordenadas do ponto de tangência.
7) Determine o valor de m para que a derivada de f ( x ) = x 3 − mx 2 + 4 x − 5
seja igual a −2 no ponto de abscissa −3 .
8) É dado o gráfico de f . Estabeleça, explicando, as abscissas nos
quais f não é diferenciável.
9) Se h(2) = 4 e h' (2) = −3 , encontre
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d  h( x ) 
dx  x  x →2
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Disciplina: Cálculo I
2ª Avaliação
1) Se dois resistores com resistência R1 e R2 estão conectados em
paralelo, como na figura, então a resistência total R , medida em
ohms ( Ω ) é dada por
1
1
1
=
+
R R 1 R2
Se R1 e R2 estão crescendo a taxas de 0,3 Ω /s e 0,2 Ω /s,
respectivamente, qual é a taxa de variação de R quando R1 = 80 Ω e
R2 = 100 Ω .
2) Dada a função y = x + x , mostre que
dy
2 x +1
.
=
dx 4 x 2 + x x
3) Se f e g são as funções cujos gráficos estão mostrados, e
u( x ) = f (g ( x )) e v ( x ) = g (f ( x )) , encontre as derivadas abaixo, se ela
existir. Se não existir, explique por quê. Lembre que, se
F ( x ) = f (g ( x )) , então F ′( x ) = f ′(g ( x )) ⋅ g ′( x ) .
a) u ′(1)
b) v ′(1)
4) Mostre, por diferenciação implícita, que a derivada segunda ( y ′′ ) da
função x 3 + y 3 = 1 é igual a −
2x
.
y5
5) Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P (2) = 5 , P ′(2) = 3
e P ′′(2) = 2 .
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Disciplina: Cálculo I
3ª Avaliação
1) Esboce a curva y =
x2
.
x2 + 3
2) Encontre, aplicando os conceitos de otimização, dois números cuja
diferença seja 100 e cujo produto seja o menor possível.
3) O gráfico da derivada segunda f ′′ de uma função f está
representado na figura abaixo. Estabeleça as coordenadas x dos
pontos de inflexão de f . Justifique sua resposta.
4) Sabendo que f ′( x ) dx = f ( x + ∆x ) − f ( x ) e que f ( x ) = ln x , mostre que
ln1,05 ≃ 0,05 , para x = 1 e dx = ∆x = 0,05 .
5) Use a diferenciação logarítmica para achar a derivada da função
abaixo:
y = (2 x + 1)5 ( x 4 − 3)6
OBS: Dê a resposta em função da variável x .
6) Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:
y = ln(ln x ),
(e,0)
Valores das questões:
Questão no 1 – 2,0 pontos
Questão no 2 – 2,0 pontos
Questão no 3 – 1,5 pontos
Questão no 4 – 1,5 pontos
Questão no 5 – 1,5 pontos
Questão no 6 – 1,5 pontos
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