1. Funções de Várias Variáveis e Derivadas parciais
Seção 14.1
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1.1 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
1) Determine o volume em função de h e r de:
a) Um depósito de grãos em formato de um cilindro circular reto de altura h e raio r, com um
teto cônico equilátero.
b) Um balão de oxigênio em formato de um cilindro circular reto de altura h e raio r, com uma
semi-esfera em cada extremidade.
2) Se (
a)
)
(
)
b)
(
)
c)
(
)
d)
(
e)
(
)
f)
(
)
, calcule:
)
1.1 Funções de Várias Variáveis
3) Se (
a)
b)
)
2
, calcule:
(
)
(
)
(
)
(
)
4) Determine e faça o esboço do domínio da função.
a)f(x, y)  x  y
b)f(x, y)  ln(9  x2  9y 2 )
c)f(x, y) 
3x  5y
x  y2  4
2
2
1.1 Funções de Várias Variáveis
3
d)f(x, y)  xy x 2  y
e)f(x, y,z)  1  x2  y2  z2
f )f(x, y)  ln(1  x2  y2 )
g)f(x, y) 
1
x  y2
h)f(x, y)  xe
y 2
i)f(x, y,z)  25  x2  y 2  z2
3
1.1 Funções de Várias Variáveis
4
5) Seja f ( x, y)  x  3 xy . Determine:
a)f(t,t 2 )
b)f(2y 2 ,4y)
c)f(x, x 2 )
6) Determine F ( g ( x), h( x)) se F ( x, y)  xe xy , g ( x)  x3 , h( x)  3 y  1 .
7) Sejam g ( x, y)  ye 3 x , x(t )  ln(t 2  1), y(t )  t . Determine g ( x(t ), y(t )) .
4
1.1 Funções de Várias Variáveis
5
8) Determine g (u( x, y, z), v( x, y, z), w( x, y, z)) se g ( x, y, z)  zsenxy e u( x, y, z)  x2 z 3 , v  x, y, z    x y z ,
e w( x, y, z) 
xy
.
z
9) Seja f a função com domínio D dada por f ( x, y)  9  x2  y 2 e D   x, y  : x 2  y 2  9 .
Esboce o
gráfico de f e exiba os traços nos planos z = 0, z = 2, z = 4, z = 6 e z = 8.
10) Ache a equação da superfície de nível de f ( x, y, z )  x 2  4 y 2  z 2 que contém o ponto P (2,1,3) .
5
1.1 Funções de Várias Variáveis
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11) APLICAÇÃO: Uma chapa plana de metal está situada num plano-xy, de modo que a temperatura T
(em °C) no ponto (x, y) é inversamente proporcional à distância da origem. Se a temperatura no
ponto (4, 3) é de 40°C, ache a equação da isotérmica para a temperatura de 20°C.
12) APLICAÇÃO: Função de DuBois-DuBois: Em Medicina, às vezes, se utiliza a seguinte função para
determinar a superfície corporal de uma pessoa:
(
)
,
2
que estabelece uma relação entre a área da superfície S (m ) de uma pessoa, o seu peso P (kg) e sua
altura h (cm).
a) Se uma criança pesa 15 kg e mede 87 cm, qual é sua superfície corporal?
b) Qual a superfície corporal de um adulto com 80 kg e 1,75 m?
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1.1 Funções de Várias Variáveis
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13) APLICAÇÃO: Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o
crescimento da economia norte-americana durante o período 1899-1922. Eles consideraram uma
visão simplificada onde a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de
capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o
modelo provou-se impressionantemente razoável. A função utilizada para modelar a produção era da
forma
(
)
Onde P é a produção total (valor monetário dos bens produzidos no ano); L, a quantidade de trabalho
(número total de pessoas-hora trabalhadas em uma ano); e K, a quantidade de capital investido (valor
monetário das máquinas, equipamentos e prédios).
Cobb e Douglas usaram dados econômicos publicados pelo governo para construir uma
tabela, tomando como base o ano de 1899. Utilizando métodos matemáticos ajustaram os dados à
função
(
)
.
Posteriormente, essa função foi usada em muitos ajustes, de firmas individuais até para
questões globais de economia. Ela passou a ser conhecida como função de produção de CobbDouglas.
(Adaptado: STEWART, J. Cálculo: Volume I e II, 6ª edição. São Paulo: Cengage Learning, 2009)
a) Qual o domínio da função de produção de Cobb-Douglas? Justifique.
b) Nos anos de 1910 e 1920, os valores reais de produção foram 159 e 231, respectivamente.
Sabendo que em 1910 constatou-se que L = 147 e K = 208, e em 1920 constatou-se que L =
)
194 e K = 407, utilize a função (
para estimar os valores de produção
e compare com os valores reais.
)
c) Verifique para função (
, a produção dobrará se a quantidade de
trabalho e a de capital investido forem dobradas.
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1.1 Funções de Várias Variáveis
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14) Por inspeção, associe o mapa de contornos com cada uma das funções. Quanto maior o valor de z,
mais clara fica a cor do mapa de contornos.
15) Estabeleça a correspondência correta entre os gráficos (a – f) e os conjuntos de curvas de nível das
funções dadas por z = f (x, y).
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1.1 Funções de Várias Variáveis
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Cálculo – Vol. 2 – Thomas
Seção 14.1 - Pág.: 295
1 a 12 (item a)
13 a 18
45 a 48
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