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Estudo de Funções: continuidade e diferenciabilidade
1. Mostre que a equação x3 − 4x2 + 1 = 0 tem, pelo menos, uma solução no intervalo [0, 2].
2. Considere a função, real de variável real, definida por
f (x) =
ex
ex − 2
(a) Calcule o domínio de f.
(b) Estude a continuidade de f.
(c) f é limitada? Justifique.
(d) Mostre que f (0).f (1) < 0.
(e) Podemos afirmar que a função f tem um zero no intervalo ]0, 1[? Justifique.
3. Considere a função f real de variável real definida por

2

 x − 1 , se x ≥ −2
x2 − 9
f (x) =

 ex + 1 , se x < −2
(a) Determine o domínio da função.
(b) Estude a continuidade da função.
(c) Determine a função derivada f 0 .
(d) Estude o sinal da função derivada f 0 .
(e) Determine a equação da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa
x = −3.
(f) Determine a função segunda derivada f 00 .
(g) Estude o sinal da função segunda derivada f 00 .
4. Considere a função f real de variável real definida por
f (x) = ln(−x2 + 3x + 4)
(a) Determine o domínio e o contradomínio da função.
(b) Determine a função derivada f 0 .
(c) Estude o sinal da função derivada f 0 .
(d) Determine a função segunda derivada f 00 .
(e) Estude o sinal da função segunda derivada f 00 .
5. Considere a função f real de variável real definida por


 ln(x − 1) se x > 1
f (x) =
1 − x2


, se x ≤ 1
2x2 − 1
(a) Determine o domínio da função.
(b) Estude a continuidade da função.
(c) Determine a função derivada f 0 .
(d) Estude o sinal da função derivada f 0 .
(e) Determine a função segunda derivada f 00 .
(f) Estude o sinal da função segunda derivada f 00 .
6. Considere a função f real de variável real definida por
f (x) = ln(ln2 (x) − 1)
(a) Determine o domínio da função.
(b) Determine a função derivada f 0 .
(c) Estude o sinal da função f 0 .
7. Considere a função f real de variável real definida por

1

, se x > −1
4
x − x2
f (x) =
 x
e , se x ≤ −1
(a) Determine o domínio da função.
(b) Estude f quanto à continuidade.
1
(c) Mostre que a equação f (x) −
= 0 tem, pelo menos, uma raiz no intervalo ]2, 3[.
13
(d) Determine a função derivada f 0 .
(e) Estude o sinal da função f 0 .
8. Considere a função f real de variável real definida por
1
f (x) = ln 2 − 1
x
(a) Determine o domínio da função.
(b) Designando por A o domínio da função, determine: int(A), fr(A), ext(A), A0 e Ā.
(c) Determine a função derivada f 0 .
(d) Estude o sinal da função f 0 .
9. Dado k ∈ R, considere a função f real de variável real definida por

 arctg(sen(x)) , se x ≥ 0
f (x) =
 e−x + k , se x < 0
(a) Determine o domínio da função.
(b) Determine a constante k de forma que a função seja contínua no ponto x = 0.
(c) Considerando k = 0, determine a função derivada f 0 . Estude o sinal da função f 0 .
10. Considere a função f real de variável real definida por

 arcsen(x) se x ≥ 0
f (x) =
 e|x+3| , se x < 0
(a) Determine o domínio da função.
(b) Estude a continuidade da função.
(c) Determine a função derivada f 0 .
(d) Estude o sinal da função derivada f 0 .
ey − 1
= 1.
y→0
y
Na resolução do exercício pode usar, sem demonstrar, que lim
11. Considere a função f real de variável real definida por

 xex , se x ≤ 0
f (x) =
 xln4 (x) , se x > 0
(a) Determine o domínio da função.
(b) Estude a continuidade da função.
(c) Mostre que a equação f (x) = 2 tem, pelo menos, uma raiz no intervalo ]1, e[.
(d) Determine a função derivada f 0 .
(e) Estude o sinal da função derivada f 0 .
(f) Determine a função segunda derivada f 00 .
(g) Estude o sinal da função f 00 .
ey
= +∞, p ∈ R.
y→+∞ y p
Na resolução do exercício pode usar, sem demonstrar, que lim
12. Mostre que a equação
3x3 = 2 − x
tem uma, e uma só, raiz em R.
13. Considere a função f real de variável real definida por
x
f (x) = ln(x)
2
Prove, usando o teorema de Lagrange, a seguinte desigualdade:
x
x2 − 1
ln(x) <
, ∀x > 1.
2
2
14. Mostre que:
x
< arctg(x) < x, ∀x > 0.
1 + x2
15. Sejam f e g duas funções de classe C 1 em R tais que f (x) = (x2 − 1)g(x). Prove que
∃c ∈ ] − 1, 1[ : f 0 (c) = 0.
16. Seja h : R → R uma função de classe C 2 , com h0 (0) = 1, e g : R → R a função definida
por
g(x) = h(ln(x2 + 1)).
Mostre que g 0 (0) = 0 e g 00 (0) = 2.
17. Considere a função
f (x) = (x − 1)ln(x) − x.
Prove, por indução, que
f
(n)
n
(x) = (−1)
(n − 2)! (n − 1)!
+
, ∀n ∈ N \ {1}.
xn−1
xn
18. Considere a função
f (x) = sen2 (x).
Prove, por indução, que
f (n) (x) = −(2)n−1 cos 2x +
nπ , ∀x ∈ R, ∀n ∈ N.
2