Diferenciação de funções exponenciais
(e x )' = e x
È Exemplo: Utilize o valor 20 como valor aproximado de e20.
a) Determine a equação da recta tangente ao gráfico de y=ex em x=3.
b) Resolva a seguinte equação 4e6x=80.
f ( x) = e g ( x ) ;
f ' ( x) = e g ( x ) g ' ( x)
È Exercícios: Diferencie as seguintes funções:
2
y = e x +1
y=e
3x 2 −
1
2
y = e5 x
1
Matemática (CURSO: Gestão da Qualidade)
Diferenciação de funções exponenciais
È Sejam C e K constantes quaisquer e seja y = C eKx. Então y satisfaz a equação
y’=K y.
È Suponha que y = f(x) satisfaz a equação y’=K y. Então y é uma função
exponencial da forma
y = C eKx, C uma constante.
È Exercícios: (a) Determine todas as funções y = f(x) tais que y’= -0,2y.
(b) Determine todas as funções y = f(x) tais que y’= y/2 e f(0)=4.
2
Matemática (CURSO: Gestão da Qualidade)
Derivada de ln(x)
(ln x )' = 1 , x > 0
x
(ln(g ( x) ))' =
1
g ' ( x) , g(x) função diferenciável e g(x)>0, qualquer que
g ( x)
seja x.
È Exercícios: Diferencie:
(ln x )5
x ln x
(
ln x 3 + 5 x 2 + 8
3
)
Matemática (CURSO: Gestão da Qualidade)
Derivada de ln(x)
È Exemplo: A função f ( x) = ln x tem um ponto extremo relativo para algum
x
x>0. Determine esse ponto e diga se ele consiste num ponto de máximo ou
mínimo relativo.
È Exemplo: A função ln|x| está definida para todos os valores não nulos de x.
Determine a derivada de ln|x| .
4
Matemática (CURSO: Gestão da Qualidade)
Propriedades da função logaritmo
natural
È Sejam x,y números positivos e b um número qualquer.
ln(xy)=lnx + lny
⎛x⎞
ln⎜⎜ ⎟⎟ = ln x − ln y
⎝ y⎠
ln(xb) = b lnx
È Exemplo: Diferencie:
f ( x) = ln[x( x + 1)( x + 2 )]
5
Matemática (CURSO: Gestão da Qualidade)