C
iências
ontábeis
ADMINISTRAÇÃO
Caderno de Matemática
Dom Alberto
Prof: Cristiano Huff Jung
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C122
JUNG, Cristiano Huff
Caderno de Matemática Dom Alberto / Cristiano Huff Jung . – Santa
Cruz do Sul: Faculdade Dom Alberto, 2010.
Inclui bibliografia.
1. Administração – Teoria 2. Ciências Contábeis – Teoria 3. Matemática
– Teoria I. JUNG, Cristiano Huff II. Faculdade Dom Alberto III.
Coordenação de Administração IV. Coordenação de Ciências Contábeis
V. Título
CDU 658:657(072)
Catalogação na publicação: Roberto Carlos Cardoso – Bibliotecário CRB10 010/10
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Apresentação
O Curso de Administração da Faculdade Dom Alberto iniciou sua
trajetória acadêmica em 2004, após a construção de um projeto pautado na
importância de possibilitar acesso ao ensino superior de qualidade que,
combinado à seriedade na execução de projeto pedagógico, propiciasse uma
formação sólida e relacionada às demandas regionais.
Considerando esses valores, atividades e ações voltadas ao
ensino sólido viabilizaram a qualidade acadêmica e pedagógica das aulas, bem
como o aprendizado efetivo dos alunos, o que permitiu o reconhecimento pelo
MEC do Curso de Administração em 2008.
Passados seis anos, o curso mostra crescimento quantitativo e
qualitativo, fortalecimento de sua proposta e de consolidação de resultados
positivos, como a publicação deste Caderno Dom Alberto, que é o produto do
trabalho intelectual, pedagógico e instrutivo desenvolvido pelos professores
durante esse período. Este material servirá de guia e de apoio para o estudo
atento e sério, para a organização da pesquisa e para o contato inicial de
qualidade com as disciplinas que estruturam o curso.
A todos os professores que com competência fomentaram o
Caderno Dom Alberto, veículo de publicação oficial da produção didáticopedagógica do corpo docente da Faculdade Dom Alberto, um agradecimento
especial.
Lucas Jost
Diretor Geral
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PREFÁCIO
A arte de ensinar e aprender pressupõe um diálogo entre aqueles que
interagem no processo, como alunos e professores. A eles cabe a tarefa de
formação, de construção de valores, habilidades, competências necessárias à
superação dos desafios. Entre estes se encontra a necessidade de uma
formação profissional sólida, capaz de suprir as demandas de mercado, de
estabelecer elos entre diversas áreas do saber, de atender às exigências legais
de cada área de atuação, etc.
Nesse contexto, um dos fatores mais importantes na formação de um
profissional
é
saber
discutir
diversos
temas
aos
quais
se
aplicam
conhecimentos específicos de cada área, dispondo-se de uma variedade ampla
e desafiadora de questões e problemas proporcionada pelas atuais
conjunturas. Para que isso se torne possível, além da dedicação daqueles
envolvidos no processo de ensino-aprendizagem, é preciso haver suporte
pedagógico que dê subsídios ao aprender e ao ensinar. Um suporte que
supere a tradicional metodologia expositiva e atenda aos objetivos expressos
na proposta pedagógica do curso.
Considerando esses pressupostos, a produção desse Caderno Dom
Alberto é parte da proposta pedagógica do curso da Faculdade Dom Aberto.
Com este veículo, elaborado por docentes da instituição, a faculdade busca
apresentar um instrumento de pesquisa, consulta e aprendizagem teóricoprática, reunindo materiais cuja diversidade de abordagens é atualizada e
necessária para a formação profissional qualificada dos alunos do curso.
Ser um canal de divulgação do material didático produzido por
professores da instituição é motivação para continuar investindo da formação
qualificada e na produção e disseminação do que se discute, apresenta, reflete,
propõe e analisa nas aulas do curso. Espera-se que os leitores apreciem o
Caderno Dom Alberto com a mesma satisfação que a Faculdade tem em
elaborar esta coletânea.
Elvis Martins
Diretor Acadêmico de Ensino
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Sumário
Apresentação........................................................................................................ 3
Prefácio................................................................................................................. 4
Plano de Ensino.................................................................................................... 6
Aula 1
Matemática Aplicada..............................................................................................11
Aula 2
Conceito Matemático de Função...........................................................................16
Aula 3
Funções................................................................................................................. 21
Aula 4
Exercícios............................................................................................................. 25
Aula 5
Exercícios.............................................................................................................. 27
Aula 6
Exercícios.............................................................................................................. 30
Aula 7
Exercícios.............................................................................................................. 31
Aula 8
Limites e Continuidades.........................................................................................33
Aula 9
Exercícios.............................................................................................................. 37
Aula 10
Derivadas: Conceitos Básicos............................................................................... 39
Aula 11
Problemas.............................................................................................................. 43
Aula 12
Exercícios.............................................................................................................. 45
Aula 13
Integração.............................................................................................................. 47
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Centro de Ensino Superior Dom Alberto
Plano de Ensino
Identificação
Curso: Administração/Ciências Contábeis
Disciplina: Matemática
Carga Horária (horas): 60
Créditos: 4
Semestre: 1º
Ementa
Funções. Equações de Oferta e Demanda. Ponto de Equilíbrio de Mercado. Funções de Custo, Receita e
Lucro. Juros Simples e Compostos como Funções. Limites e Continuidade. Derivadas. Aplicações de
Derivadas na Economia (Custo, Receita e Lucro). Integrais Indefinidas e Definidas. Aplicações de Integral
na Economia.
Objetivos
Geral: Desenvolver a capacidade de o aluno utilizar a Matemática Aplicada como instrumento de novas
aprendizagens e como meio de interpretação da realidade.
Ampliar as capacidades de raciocínio, de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o
espírito crítico e a criatividade.
Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos
aplicados.
Incentivar a realização pessoal, o desenvolvimento de atitudes, de autonomia e cooperação e o sentimento
de segurança em relação às próprias capacidades matemáticas.
Desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática Aplicada, como autonomia, confiança quanto às
capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no trabalho.
Específicos: Levar o aluno a: Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e
entre esses temas e outras áreas do currículo, tais como funções, limites, derivadas e integrais.
Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do
conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia.
Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas,
tecnológicas e na interpretação da ciência.
Inter-relação da Disciplina
Horizontal: Contribuir para o desenvolvimento cognitivo interdisciplinar, promovendo um ensino voltado a
uma formação sólida e ampla, tendo como foco principal as exigências da vida social e profissional.
Vertical: As aplicações da disciplina são processadas de forma a adaptar o conhecimento teórico a uma
situação prática e ajustada à realidade.
Competências Gerais
Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática Aplicada como instrumento de novas aprendizagens e
como meio de interpretação da realidade.
Ampliar as capacidades de raciocínio de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o
espírito crítico e a criatividade.
Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos
aplicados.
Competências Específicas
Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas
do currículo tais como funções, limites, derivadas e integrais.
Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do
conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia.
Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas,
tecnológicas e na interpretação da ciência.
Habilidades Gerais
Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
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Reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente, desenvolver o raciocínio
lógico, crítico e criativo diante dos diferentes contextos organizacionais e sociais.
Habilidades Específicas
Ler, interpretar, reconhecer e resolver problemas sobre funções, limites, derivadas e integrais, visando o
desenvolvimento de atitudes de autonomia.
Conteúdo Programático
PROGRAMA:
1. Funções
1.1. Idéia intuitiva
1.2. Conceito matemático
1.3. Função demanda
1.4. Função oferta
1.5. Função utilidade
1.6. Funções de custo
1.7. Função receita
1.8. Função lucro
1.9. Curva do orçamento
1.10. Curva de possibilidade de produção
1.11. Outros modelos
1.12. Características das funções
2. Limites
2.1. Idéia intuitiva
2.2. Definição
2.3. Limites de polinômios e funções racionais
2.4. Limite no infinito
2.5. Esboço de curvas
2.6. Problemas
3. Derivadas
3.1. Derivada como medida de inclinação
3.2. Derivada como taxa de variação
3.3. Problemas de maximização/minimização
3.4. Regras de derivação
3.5. Aplicações da derivada à economia
4. Noção de integral
4.1. Integral indefinida
4.2. Área e integral definida
4.3. Aplicações aos negócios e à economia
Estratégias de Ensino e Aprendizagem (metodologias de sala de aula)
O planejamento do trabalho em sala de aula é à base da construção do processo de ensino e
aprendizagem. Planejando a ação, o professor tem a possibilidade de saber exatamente qual o ponto de
partida e o de chegada para cada tema abordado em seu curso.
Um planejamento não é um esquema de trabalho rígido, inflexível. Pelo contrário, devem-se levar em conta
as situações inesperadas que vão ocorrendo e adaptar ou modificar o que se havia inicialmente previsto, de
acordo com suas observações de classe e necessidades dos alunos.
Há metas que devem ser estabelecidas e alcançadas, sendo necessário que o professor disponha de um fio
condutor para a ação que vai desenvolver e de uma previsão para os resultados dessa ação.
Avaliação do Processo de Ensino e Aprendizagem
A avaliação do processo de ensino e aprendizagem deve ser realizada de forma contínua, cumulativa e
sistemática com o objetivo de diagnosticar a situação da aprendizagem de cada aluno, em relação à
programação curricular. Funções básicas: informar sobre o domínio da aprendizagem, indicar os efeitos da
metodologia utilizada, revelar conseqüências da atuação docente, informar sobre a adequabilidade de
currículos e programas, realizar feedback dos objetivos e planejamentos elaborados, etc.
A forma de avaliação será da seguinte maneira:
Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
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1ª Avaliação
–
Peso 8,0 (oito): Prova;
a
–
Peso 2,0 (dois): Trabalho referente ao conteúdo ministrado até a 1 avaliação.
2ª Avaliação
Peso 8,0 (oito): Prova;
Peso 2,0 (dois): referente ao Sistema de Provas Eletrônicas – SPE (maior nota das duas
provas do SPE)
Observação: As provas do SPE deverão ser realizas até o dia 30/09/2010 (1ª prova SPE) e até o dia
30/11/2010 (2ª prova SPE), sendo obrigatória a realização de ao menos uma prova.
Avaliação Somativa
A AFERIÇÃO DO RENDIMENTO ESCOLAR DE CADA DISCIPLINA É FEITA ATRAVÉS DE NOTAS INTEIRAS DE ZERO A DEZ,
PERMITINDO-SE A FRAÇÃO DE 5 DÉCIMOS.
O aproveitamento escolar é avaliado pelo acompanhamento contínuo do aluno e dos resultados por ele
obtidos nas provas, trabalhos, exercícios escolares e outros, e caso necessário, nas provas substitutivas.
Dentre os trabalhos escolares de aplicação, há pelo menos uma avaliação escrita em cada disciplina no
bimestre.
O professor pode submeter os alunos a diversas formas de avaliações, tais como: projetos, seminários,
pesquisas bibliográficas e de campo, relatórios, cujos resultados podem culminar com atribuição de uma
nota representativa de cada avaliação bimestral.
Em qualquer disciplina, os alunos que obtiverem média semestral de aprovação igual ou superior a sete
(7,0) e freqüência igual ou superior a setenta e cinco por cento (75%) são considerados aprovados.
Após cada semestre, e nos termos do calendário escolar, o aluno poderá requerer junto à Secretaria-Geral,
no prazo fixado e a título de recuperação, a realização de uma prova substitutiva, por disciplina, a fim de
substituir uma das médias mensais anteriores, ou a que não tenha sido avaliado, e no qual obtiverem como
média final de aprovação igual ou superior a cinco (5,0).
Sistema de Acompanhamento para a Recuperação da Aprendizagem
Serão utilizados como Sistema de Acompanhamento e Nivelamento da turma os Plantões Tira-Dúvidas que
são realizados sempre antes de iniciar a disciplina, das 18h30min às 18h50min, na sala de aula.
Recursos Necessários
Humanos
Professor.
Físicos
Laboratórios, visitas técnicas, biblioteca, etc.
Materiais
Recursos Multimídia.
Bibliografia
Básica
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 1 v.
HOFFMANN, Laurence; BRADLEY, Gerald. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro:
LTC, 1996.
SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática: para os cursos de: economia, administração, ciências
contábeis. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
LEITHOLD, L.. Matemática aplicada à economia e administração. 2. ed. São Paulo: Harbra, 2001.
VERAS, Lilia L. Matemática aplicada à economia: Síntese da Teoria. São Paulo: Atlas, 1991.
Complementar
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookmann, 2000. 1 v.
AVILA, Geraldo. Cálculo das funções de uma variável. 7. ed. São Paulo: LTC, 2003. 1 v.
BARBANTI, L. Matemática Superior: um primeiro curso de cálculo. São Paulo: Pioneira, 1999.
AYRES JUNIOR, Frank; Elliott Mendelson. Cálculo diferencial e integral 3. ed. São Paulo: Pearson, 1994.
Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
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GOLDSTEIN, L.; LAY, D.; SCHENEIDER, D. Matemática aplicada. São Paulo: Bookman, 2003.
Periódicos
Revistas: Você S/A, Exame, Isto é.
Sites para Consulta
http://www.mec.gov.br
http://www.ime.usp.br
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec
http://sites.uol.com.br/vello/aulas.htm
Outras Informações
Endereço eletrônico de acesso à página do PHL para consulta ao acervo da biblioteca:
http://192.168.1.201/cgi-bin/wxis.exe?IsisScript=phl.xis&cipar=phl8.cip&lang=por
Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
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Cronograma de Atividades
Aula
Consolidação
Avaliação
Conteúdo
Apresentação aos alunos do plano de ensino da disciplina.
Revisão de conceitos básicos da Matemática.
Idéia intuitiva de função.
Conceito matemático de função.
Atividades Envolvendo Funções matemáticas. Introdução a
Modelos aplicados.
1ª
2ª
Procedimentos
Recursos
AE
QG, DS
AE
QG, DS
3ª
Funções (oferta e demanda). Problemas envolvendo funções.
AE
QG, DS
4ª
Funções (custo, utilidade, lucro). Características de funções.
AE
QG, DS
5ª
Construção de tabelas e gráficos de funções. Plotar gráficos
de funções.
AE
QG, DS
6ª
Análise e interpretação de curvas de orçamento e produção.
AE
QG, DS
7ª
Problemas envolvendo outros modelos de funções.
AE
QG, DS
1
Consolidação 1
1
Avaliação 1
8ª
Limites. Idéia intuitiva. Definição.
AE
QG, DS
9ª
Continuidade. Limites de funções. Propriedades algébricas do
limites. Limite no infinito. Problemas envolvendo limites.
Derivadas. Conceitos básicos.
AE
QG, DS
10ª
Regras de derivação. Problemas utilizando as regras.
AE
QG, DS
11ª
Problemas de maximização / minimização. Trabalho aplicado.
AE
QG, DS
12ª
Aplicações de derivadas a economia. Noções de integral.
AE
QG, DS
13ª
Integral definida e indefinida. Aplicações de integrais aos
negócios.
AE
QG, DS
2
Consolidação 2
2
Avaliação 2
3
Avaliação Substitutiva
Legenda
Código
AE
TG
TI
SE
PA
Descrição
Aula expositiva
Trabalho em grupo
Trabalho individual
Seminário
Palestra
Código
QG
RE
VI
DS
FC
Descrição
Quadro verde e giz
Retroprojetor
Videocassete
Data Show
Flipchart
Código
LB
PS
AP
OU
Descrição
Laboratório de informática
Projetor de slides
Apostila
Outros
Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
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FACULDADE DOM ALBERTO – SANTA CRUZ DO SUL
MATEMÁTICA APLICADA
PROF. CRISTIANO HUFF JUNG
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EMENTA
Funções. Equações de Oferta e Demanda. Ponto de Equilíbrio de Mercado.
Funções de Custo, Receita e Lucro. Juros Simples e Compostos como
Funções. Limites e Continuidade. Derivadas. Aplicações de Derivadas na
Economia (Custo, Receita e Lucro). Integrais Indefinidas e Definidas.
Aplicações de Integral na Economia.
OBJETIVOS
Geral
• Desenvolver a capacidade de o aluno utilizar a Matemática
Aplicada como instrumento de novas aprendizagens e como meio de
interpretação da realidade;
• Ampliar as capacidades de raciocínio, de resolução de
problemas, de comunicação e de rigor, bem como o espírito crítico e a
criatividade;
• Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para
compreender e investigar conceitos matemáticos aplicados;
Incentivar a realização pessoal, o desenvolvimento de
atitudes, de autonomia e cooperação e o sentimento de segurança em
relação às próprias capacidades matemáticas;
• Desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática
Aplicada, como autonomia, confiança quanto às capacidades
matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no
trabalho.
Específicos
Levar o aluno a:
Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre
esses temas e outras áreas do currículo, tais como funções, limites, derivadas
e integrais;
Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas
matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano, como equações
e aplicações de derivadas na economia;
Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas,
financeiras, administrativas, tecnológicas e na interpretação da ciência.
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PROGRAMA
Funções
• Idéia Intuitiva
• Conceito Matemático
• Função Demanda
• Função Oferta
• Função Utilidade
• Funções de Custo
• Função Receita
• Função Lucro
• Curva do Orçamento
• Curva de Possibilidade de Produção
• Outros Modelos
• Características das Funções
Limites
• Idéia Intuitiva
• Definição
• Limites de Polinômios e Funções Racionais
• Limite no Infinito
• Esboço de Curvas
• Problemas
Derivadas
• Derivada como medida de inclinação
• Derivada como taxa de variação
• Problemas de Maximização/Minimização
• Regras de Derivação
• Aplicações da Derivada à Economia
Noção de Integral
• Integral Indefinida
• Área e Integral Definida
• Aplicações aos Negócios e à Economia.
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BIBLIOGRAFIA BÁSICA
SILVA, Sebastião Medeiros da, Matemática: Para os Cursos de Economia,
Administração, Ciências Contábeis / Sebastião Medeiros da Silva, Élio
Medeiros da Silva, Ermes Medeiros da Silva. 2ª ed--São Paulo: Atlas, 1981.
VERAS, Lília Ladeira. Matemática Aplicada à Economia. 2ª ed -- São Paulo:
Atlas, 1991.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo, vol 1. 5ª ed. -- Rio de
Janeiro: LTC, 2001.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
HOFFMANN, Laurence e Bradley, Gerald. Cálculo: Um Curso Moderno e
suas Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
ANTON, Howard. Cálculo: Um Novo Horizonte. 6ª ed. - Porto Alegre:
Bookmann, 2000, vol 1.
FUNÇÕES
Idéia Intuitiva de Função
Ao contrário do que muitos pensam a primeira idéia de função não surgiu de
conceitos matemáticos, mas de observações de fatos que ocorrem na
natureza. Só muito mais tarde se conceituou a função de forma matemática.
Intuitivamente, a palavra função evoca uma idéia de dependência. Quando se
diz que a área de um quadrado é função de seu lado, que a estatura de uma
criança é função de sua idade ou que a quantidade demandada de uma
mercadoria é função de seu preço, o que se pretende dizer é que a área do
quadrado depende de seu lado, a estatura da criança depende de sua idade e
a quantidade demandada da mercadoria depende de seu preço.
É claro que as função que descrevem fenômenos biológicos, sociológicos,
estatísticos ou econômicos não obedecem rigorosamente a uma fórmula
matemática, mas podem obedecê-la apenas para um pequeno intervalo de
valores.
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Alguns Exemplos de Funções
1 – Um vendedor ambulante compra objetos ao preço unitário de R$ 150,00 e
vende cada unidade a R$ 250,00.
a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade comprada q.
b) Expresse sua receita diária R em função da quantidade vendida q, que se
supõem igual a quantidade comprada.
c) Expresse seu lucro diário L em função da quantidade q.
d) Qual o lucro do vendedor por unidade vendida.
2 – Expresse os seguintes fatos na forma de função:
a) A receita R de um comerciante que vende a quantidade variável q de
mercadorias ao preço unitário de R$ 80,00.
b) O salário mensal de um vigilante que ganha R$ 650,00 fixos mais R$ 15,00
por hora extra, sabendo que o número x de horas extras varia todo mês.
3 – Certa máquina foi comprada pelo preço de R$ 80.000,00 (valor nominal) e
vendida depois de 10 anos (vida útil) por R$ 30.000,00 (valor residual).
a) Qual foi sua depreciação total? E qual a depreciação anual?
b) Expresse a depreciação D como função do tempo em anos n.
c) Qual o valor da máquina após um ano? E após dois anos? E após três
anos? E após dez anos?
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AULA 2
Matemática Aplicada
Prof. Cristiano Huff Jung
Conceito Matemático de Função
Quando se imaginam com exemplo um conjunto A de números que
representam preços fixados para uma mercadoria e outro conjunto B de
números que representam quantidades compradas dessa mesma
mercadoria, e se ligam com flechas os preços às suas respectivas
quantidades, obtêm-se o conhecido esquema com o qual, são
representadas as funções, notação comumente usada:
A mesma função f de A em B, pode ter outra representação
gráfica não menos comum: o gráfico cartesiano.
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A função pode ser representada também por uma tabela com
duas colunas, com os elementos do conjunto A figurando na
primeira coluna e os elementos de B, na segunda.
Exemplo:
Suponha-se que a Prefeitura de certa cidade disponha de
determinada verba para aplicar em construção civil. Poderá
pavimentar ruas e construir casas populares. Se optar por
pavimentação de ruas, terá o suficiente para 150 km. Se optar
por casas populares, poderá construir 300 casas. Poderá ainda
escolher outros planos, optando por pavimentar menos do que
150 km de ruas e construir algumas casas com os recursos que
sobrarem. Quanto menos ruas pavimentar, mais casas poderão
construir.
Tabela:
km de Ruas
Casas Populares
0
300
20
290
60
240
90
180
105
140
135
50
150
0
Esta curva é chamada Curva de Possibilidade de Produção ou
Curva de Transformação de Produção.
A forma da curva, semelhante a um arco de parábola, inscita
uma indagação: existirá uma função do tipo y=ax2+bx+c que se
aproxime dos dados dessa tabela? Se existe, qual é?
Para responder a essa indagação, é preciso determinar os três
valores a, b e c da função e para isso escolhem-se três valores
da tabela. Por comodidade, pode-se escolher (0, 300), (150, 0),
e mais um, por exemplo, (90, 180), que é o mais central.
Tem-se então o sistema:
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Exercícios
1)A receita de uma empresa pode ser descrita pela função:
− 10
R=
+ 10 , onde x é a quantia gasta em propaganda.
x+5
a)Calcule a receita quando nada é gasto em propaganda.
b) Calcule a receita, respectivamente, quando o gasto em
propaganda é 5, 95 e 995 e faça uma tabela de valores.
c) Faça um gráfico cartesiano utilizando os valores da tabela:
d) O gráfico faz pensar que existe um valor 2 que não será
ultrapassado pela
função. Qual é esse valor (limitante
superior)?
2) Duas pessoas A e B investiram em ações de diferentes
companhias, que foram compradas ao preço unitário de R$
1,00. As ações adquiridas por A subiram segundo a função
V1=0,1x+1 e as adquiridas por B caíram nos primeiros meses
para depois subirem. Sua variação de valor pode ser descrita
pela função V2=0,1x2-0,4x+1 em que x é o tempo em meses, a
partir da data da compra das ações.
a) Determine os valores V1 e V2 de cada uma dessas ações, no
fim de cada um dos seis primeiros meses e faça uma tabela.
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b) Faça os gráficos das duas funções no mesmo sistema de
eixos.
c) Faça um comentário sobre os dois investimentos, dizendo
qual foi a melhor aplicação.
3) Um produtor verificou que o custo unitário (ou custo médio)
de fabricação de um produto varia com a quantidade, sendo
tanto menor quanto maior era a quantidade fabricada. A função
pode ser expressa na forma:
a) Calcule Cme (1), Cme (10), Cme (30), Cme (40), e Cme
(100), faça uma tabela e o gráfico da função.
b) A função tem um limitante inferior? Qual?
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4) P= (32-2n)n é uma função que dá a produção de uma
empresa em função do número n de funcionários contratados.
a) Complete a seguinte tabela de valores e faça o gráfico de P.
n
0
2
4
6
8
10
12
P
b) Qual o acréscimo na produção quando a empresa passa de
dois para quatro funcionários contratados? E quando passa de
quatro para seis? E de seis para oito? O acréscimo é crescente
ou decrescente?
c) Com que número de funcionários a produção da empresa
será maior?
d) Como se explica que, a partir desse valor, a produção da
empresa decresça com a contratação de novos funcionários?
5) Um comerciante verificou que a demanda de certo produto
depende de seu preço, de acordo com a seguinte tabela:
P
Q
4
80
6
70
8
60
10
50
a)Faça o gráfico cartesiano da função demanda a partir desta
tabela.
b) Dertemine a expressão matemática da função na forma
q=f(p) e depois na forma p=f(q).
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AULA 3
FUNÇÕES
Prof. Cristiano Huff Jung
1 – Uma firma de materiais para escritório determina que o número de
aparelhos de fax vendidos no ano x é dado aproximadamente pela função
f ( x) = 50 + 4 x +
1 2
x , onde x = 0 corresponde a 1990.
2
a) O que f (0) representa?
b) Obtenha o número de aparelhos de fax vendidos em 1992.
2 – Quando uma solução de acetilcolina é introduzida no músculo do coração
de uma rã, a força com que o músculo se contrai diminui. Os dados
experimentais de A. J. Clark são bem aproximados por uma função da forma:
R( x) =
100 x
, onde
b+x
x
é a concentração de acetilcolina (em unidades
apropriadas), b é uma constante positiva que depende de cada rã em
particular e R (x) é a reação do músculo ao acetilcolina, expressa como
porcentagem do máximo efeito da droga.
a) Suponha que b = 20 . Encontre a resposta do músculo, quando x = 60 .
b) Determine o valor de b se R (50) = 60 , isto é, se a concentração de 50
unidades produz uma resposta de 60 %.
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3 – Suponha que o custo total em u.m. de produzir q unidades de certo
produto é dado pela função C (q ) = q 3 − 30q 2 + 400q + 500 .
a) Calcule o custo de produzir 20 unidades.
b) Calcule o custo de produzir a 20ª unidade.
4 – Um estudo de eficiência do turno da manhã de uma certa fábrica indica que
um trabalhador médio que chega no trabalho às 8 horas terá montado
f ( x) = − x 3 + 6 x 2 + 15 x rádios x horas mais tarde.
a) Quantos rádios um trabalhador desses terá montado às 10 horas?
b) Quantos rádios terá um trabalhador desses montado entre 9 e 10 horas?
5 – Suponha que t horas após a meia noite, a temperatura em uma certa
cidade era de C (t ) =
−1 2
t + 4t + 10 graus Celsius.
6
a) Qual era a temperatura às 14 horas?
b) De quanto à temperatura aumentou ou diminui entre 18 e 21 horas?
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6 – É estimado que t anos a partir de agora, a população de uma certa
comunidade urbana será de P(t ) = 50 −
6
mil.
t +1
a) Qual será a população da comunidade daqui a 2 anos?
b) De quantos indivíduos a população aumentará do final do 2º ano para o
final do 3º ano?
c) Daqui a quantos anos a população será de 49 mil indivíduos?
d) O que acontece com P(t ) à medida que t cresce mais e mais?
7 – Uma bola foi abandonada a 150 m do solo. Se a altura em metros, em
relação ao solo, em cada instante, t segundos após ter sido abandonada, é
dada por h(t ) = 150 − 5t 2 , pergunta-se:
a) Qual é a sua distância do solo ao final do 3º segundo?
b) Quanto à bola percorre durante o 3º segundo?
c) Após 6 segundos à bola já atingiu o solo?
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8 – Suponha que durante um programa nacional para imunizar a população
contra uma forma de influenza, os inspetores de saúde pública descobriram
que o custo de inocular x % da população era de aproximadamente
f ( x) =
150 x
milhões de u.m.
200 − x
a) Qual é o domínio da função no qual trabalharemos?
b) Qual foi o custo de inocular os primeiros 50% da população?
c) Qual foi o custo de inocular a segunda metade da população?
d) Qual o percentual de população que foi inoculada no momento em que
37,5 milhões de u.m. tinham sido gastos?
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AULA 4
MATEMÁTICA APLICADA
PROF. CRISTIANO HUFF JUNG
1 – Seja y a percentagem da população mundial que vive em regiões urbanas
x anos após 1980. De acordo com dados publicados recentemente, y tem sido
uma função linear de x desde 1980. A percentagem da população mundial que
vive em regiões urbanas era de 39,5 em 1980 e 45,2 em 1995.
a) Determine y como função de x .
b) Determine a percentagem da população mundial que viveu em regiões
urbanas no ano 1990.
c) Determine o ano em que 50% da população mundial estará vivendo em
regiões urbanas.
d) Em quanto a percentagem da população mundial que vive em áreas
urbanas aumenta a cada 5 anos?
2 – Em uma certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos sem parada,
uma quantia inicial de 4 UT (unidades taximétricas) e mais 0,2 UT por Km
rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrou 8,2 UT,
qual foi o total de Km percorridos?
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3 – O custo total de um produtor consiste em uma sobretaxa fixa de
R$ 5.000,00 mais os custos de produção de R$ 60,00 por unidade. Expresse o
custo total em função do número de unidades produzidas e desenhe o gráfico.
4 – Determinada agência de aluguel de carros cobra R$ 25,00 por dia mais
R$ 0,30 por quilômetro rodado.
a) Expresse o custo de alugar um carro dessa agência por um dia em
função do número de quilômetros dirigidos e desenhe o gráfico.
b) Quanto custa alugar um carro para uma viagem de 50 Km de um dia?
c) Quantos Kms foram percorridos se o custo do aluguel diário foi de
R$ 45,20?
5– Um produtor compra R$ 20.000,00 em máquinas que se depreciam
linearmente tal que seu valor de troca após 10 anos será R$ 1.000,00.
a) Expresse o valor das máquinas em função do tempo de uso e desenhe o
gráfico.
b) Calcule o valor das máquinas após 4 anos.
c) Quando as máquinas se tornam sem valor?
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AULA 5
MATEMÁTICA APLICADA
PROF. CRISTIANO HUFF JUNG
1 – A função q = −2 p + 10 fornece a quantidade demandada de fósforo em
função do preço do cigarro, e a função q = 3 p + 20 fornece a demanda da
margarina em função do preço da manteiga.
Essas funções são crescentes ou decrescentes? Por quê?
2 – A Receita R de uma firma é função do preço p da mercadoria que vende,
pois R = pq , onde q é a quantidade vendida.
Sabendo que o preço da mercadoria não é fixo, mas função da quantidade
−q
+ 30 , como ficará a expressão de R como função
3
demandada, isto é, p =
de q ?
3 – A poupança s de um operário depende do salário y que recebe; seu
salário, por sua vez, depende do número de horas extras x que faz por mês.
Sabendo
que
s = 0,4 y − 100.000
essas
e
dependências
y = 330.000 + 1.500 x ,
são
descritas
pelas
respectivamente,
poupança como função do número x de horas extras.
funções
determine
a
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4 – As funções seguintes são todas crescentes. Faça tabela e gráfico para
cada uma delas a fim de decidir a forma de crescimento (taxas crescentes,
constantes ou decrescentes) de cada uma:
a) y = x ,
x≥0
1
b) y = x 2 , x ≥ 0
c) y = x 2 , x ≥ 0
5 – Dadas as funções q = 4 p − 3 e q =
120
− 5 , respectivamente oferta e
p + 10
demanda para certo produto, faça seus gráficos no mesmo sistema de eixos e
determine o ponto de equilíbrio.
6 – Um produtor estima que a demanda para um produto que lançou no
mercado vai obedecer à função q = − p 2 + 144 . Calcula, ainda, que o preço
desse produto deva subir com o tempo de acordo com a função p = 8 + 0,5n ,
onde n é o tempo em meses, a partir de hoje.
a) Qual o preço atual e a quantidade demandada atual desse produto?
b) Qual será o preço e a quantidade demandada desse produto daqui a
quatro meses?
c) Como poderia ser expressa a quantidade demandada q em função do
tempo n ?
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7 – Dada a função Produção P =
q2
, onde q é a quantidade de um insumo, o
10
que acontece com a produção se a quantidade de insumo for duplicada? Como
são então os retornos na produção?
8 – Sejam R = −2q 2 + 40q e C = 2q + 68 as funções Receita e Custo para certo
produto.
a) Determine o ponto de break-even.
b) Faça os gráficos de C e R sobrepostos.
c) Determine a função Lucro e faça o seu gráfico.
d) Determine a função Lucro médio e faça seu gráfico por pontos tomados
no intervalo de variação de q .
9 – Sejam R = −2q 2 + 60q e C = 10q + 200 as funções Receita e Custo para
certo produto.
a) Trace os gráficos dessas funções no mesmo sistema de eixos,
assinalando as interseções entre as curvas.
b) Para que valores de q o Lucro será positivo?
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Aula 6
Matemática Aplicada
Prof. Cristiano Huff Jung
1) Numa indústria, o custo operacional de uma mercadoria é composto
por um custo fixo de R$ 300,00 mais um custo variável de R$0,50 por unidade
fabricada. Portanto, o custo operacional, que representaremos por Y, é dado
em função do número de unidades fabricadas, que representaremos por x.
Expresse, por meio de uma fórmula matemática, a lei dessa função.
2) Um motorista, saindo de um terminal A, viaja por uma estrada e
verifica que a distância percorrida, a partir do ponto inicial, pode ser calculada
por d(x) = 50x+6, sendo d em km e x em horas. Faça uma tabela listando as
distâncias percorridas após cada intervalo de uma hora desde x=1 até x=5.
3) Um fabricante vende um produto por R$0,80 a unidade. O custo
total do produto consiste numa taxa fixa de R$ 40,00 mais o custo de produção
de R$0,30 por unidade.
a) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não
ter lucro nem prejuízo?
b) Se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou
prejuízo?
4) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00
mais um custo variável de R$0,50 por unidade produzida. Sendo x o número
de unidades produzidas:
a) Escreva a lei da função que fornece o custo total de x de peças;
b) Calcule o custo de 100 peças;
c) Escreva a taxa de crescimento da função.
5) Um comerciante gastou R$ 300,00 na compra de um lote de maçãs.
Como cada maçã será vendida a R$2,00, ele deseja saber quantas maçãs
devem ser vendidas para que haja lucro no final da venda.
6) A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola.
Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por
h=-t2+6t, determine:
a) Em que instante a bola atinge a altura máxima?
b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?
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AULA 7
Matemática Aplicada
Prof. Cristiano Huff Jung
1 – Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as
correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função
22 x
, em que x é o número de residências e f (x) é o número de carteiros.
f ( x) =
500 + 2 x
a) Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas
correspondências, qual o número de residências desse bairro, que receberam
correspondências?
b) Qual o número de carteiros necessários para distribuir 2500 correspondências nas
residências desse bairro?
2 – Na fabricação de um lote de peças de certo produto, o custo total é igual à soma de
um valor fixo de R$ 400,00 com o custo de produção unitário de R$ 1,50.
a) Se o preço unitário de venda dessas peças for de R$ 2,50, qual é o número mínimo
de peças que devem ser fabricadas e vendidas para que se comece a ter lucro?
b) Determine a função que define o custo total?
c) Qual o custo total de produzir 65 peças?
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3 – Ao ser cobrada uma falta numa partida de futebol, a trajetória da bola é tal que sua
altura h , em metros, varia com o tempo t , em segundos, de acordo com a função
h(t ) = −t 2 + 2t .
1
3
a) Faça uma tabela e construa o gráfico para t = 0 , t = , t = 1 , t = e t = 2 .
2
2
b) Em que instantes a bola se encontra no solo, (altura igual a zero metros)?
c) Em que instante a bola atingiu a maior altura?
4 – Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por
C = x 2 − 80 x + 3000 .
a) A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo?
b) O valor do custo, quando forem produzidas 20 unidades?
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Aula 8
Matemática Aplicada
Prof. Cristiano Huff Jung
Limites e Continuidades
O desenvolvimento do cálculo foi estimulado por dois problemas
geométricos: achar as áreas de regiões planas e as retas tangentes à curva.
Esses problemas requerem um “processo de limite” para a sua solução.
Entretanto, o processo de limite ocorre em muitas outras aplicações – na
verdade tantas, que, de fato, o conceito “limite” é o alicerce sobre o qual outros
conceitos de cálculo estão baseados.
Antes de formalizarmos o conceito de limite, vamos observar algumas
situações. Nelas veremos que uma seqüência de valores atribuídos a uma
variável implica em outra seqüência de valores numéricos de uma expressão
dessa variável.
Idéia Intuitiva de Limite
Consideramos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1.
Vamos desenvolver as seguintes etapas:
• Colorir metade dessa figura.
•
Colorir de outra forma metade do que restou em branco.
•
Colorir de outra forma metade do que restou em branco.
Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a região
colorida vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a área vai se
aproximando de 1, ou seja, vai tendendo a 1.
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Dizemos então que o limite dessa soma é igual a 1.
Quando dizemos que a área da região colorida tende a 1, significa que
ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor.
Observe o gráfico da função f: IR IR, definida por f(x)= x+2
Note que, à medida que os valores de x se aproximam de 3, por
valores menores que 3 (pela esquerda) ou por valores maiores que 3 (pela
direita), f(x) se aproxima de 5. A tabela a seguir indica os valores de f(x) para
alguns valores de x:
X:
fx:
2
4
2,3
4,3
2,9
4,9
2,99.......................... 3,01
4,99...........................5,01
3,4
5,4
3,9
5,9
De acordo com o exposto, podemos dizer que:
O limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e
indicamos por:
O limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e
indicamos por:
Os limites à esquerda e a direita são chamados de limites laterais.
Em vez das duas indicações anteriores; podemos utilizar a seguinte
representação única:
lim f(x)=5
x3
Lê-se: o limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 5.
Observe que f(3)=5
Considere o gráfico da função f: IR IR, definida por:
f(x)= x,se x ≤ 3
x+2, se x>3
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Observe os limites laterais:
Quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de3,
isto é:
Quando x se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto
é:
Como os limites laterais neste caso são diferentes, dizemos que não
existe o limite de f(x) quando x tende a 3.
Exemplos
1) Dada à função f(x) definida por f(x) = x+1 se x >2
x2+1 se x
representá-la graficamente e verificar no gráfico os limites:
a) lim f(x)
x-2
b) lim f(x)
x0
c) lim f(x)
x-1
d) lim f(x)
x2e) lim f(x)
x2+
f) lim f(x)
x2
≤2
e
x ≠ -1
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x2 + x − 3
e interpretar o resultado.
x+2
x1
3) Calcular os limites:
a) lim (x2-5x+4)
x2
2) Calcular lim
x3 − x2 + 1
1 + 2x
x1
b) lim
c) lim
x4
x −1
x −1
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Aula 9
Matemática Aplicada
Prof. Cristiano Huff Jung
1- Calcule os limites:
a) lim ( x 3 + 1)
x → −2
b) lim ( x 4 + 5)
x→0
x2 + 6
c) lim 2
x→4 x − 1
d) lim (4 x 3 − x 2 + x − 1)
x→0
e) lim (1 − 4 x 2 )
x →3
2- Determine:
a) lim 7
x→4
b) lim 2 3
x → −1
c) lim (5 x 3 + x)
x→2
1 

d) lim  4 x 2 − x 
x → −4
2 

e) lim (3 x 2 + x − 1)
x →3
f)
lim ( x 4 − x 3 + x 2 + 1)
x→0
3- Dada a função f ( x) =
5 x3 − 6 x 2 + 3x
, calcule:
x3 − x 2 + 3x
a) lim f ( x)
d) lim f ( x)
b) lim f ( x)
e) lim f ( x)
x→1
x→1 2
c) lim f ( x)
x → −1
x→ 2
x → −2
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4- Faça uma lista de todos os valores de x para os quais a função dada não
está definida:
a) f ( x) = 5 x 3 − 3 x + x
b) f ( x) =
x2 −1
x+3
c)
x 3 + 5x
( x − 2)(2 x + 3)
f ( x) =
5- Plote
f ( x) =
(3 x 2 − 6 x + 9)
. Determine os valores de x para os quais a
( x 2 + x − 2)
função não é definida.
6- A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a
 t2 + 7
se t < 5
introdução de uma toxina é dada pela função f (t ) = 
.
− 8t + 72 se t ≥ 5
a) Quanto tempo a colônia leva para se extinguir?
b) Explique por que a população deve ser de 10.000 em alguma ocasião
entre t = 1 e t = 7.
7- Um fabricante é capaz de produzir 5.000 unidades de um produto por dia a
um custo fixo de R$ 1.500,00 por dia e um custo variável de R$ 2,00 por
unidade. Expresse o custo C em função do número de unidades produzidas e
desenhe o gráfico da função C (x) . A função C (x) é contínua? Se não é, em
que pontos existem descontinuidades?
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AULA 10
Matemática Aplicada
Prof. Cristiano Huff Jung
Derivadas: Conceitos Básicos
Inclinação e Taxa de Variação
O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para
estudar as taxas de variação é um método conhecido como derivação. Vamos
descrever esse método e mostrar como pode ser usado para determinar a taxa
de variação de uma função e também a inclinação da reta tangente a uma
curva.
Seja f uma função definida num conjunto D; sejam xo e xo+ ∆ x dois ponto
de D. quando uma variável x passa do valor xo para o valor xo+ ∆ x sofrendo
uma variação ∆ x, o correspondente valor da função passa de f(xo) para o valor
f(xo+ ∆ x)sofrendo, portanto, uma variação:
∆ y=f(xo+ ∆ x)-f(xo)
O quociente:
∆y f (xo + ∆x) − f (xo )
=
∆x
∆x
Recebe o nome de taxa média de variação da função quando x passa
do valor xo, para o valor xo- ∆ x e expressa a variação média sofrida pelos
valores da função entre estes dois pontos.
Exemplos:
1) Seja a função f tal que f(x) =3x+1, com x ∈ IR.
Sejam xo= 1 e xo+ ∆ x=4
∆ x=3
∴
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2) Seja a função f tal que f(x) = x2+5, x ∈ IR.
Se xo=2 e xo+ ∆ x=4 temos ∴ ∆ x=2
3) Seja a função f tal que f(x) =x3-1, x ∈ IR.
Se xo=4 e o xo+ ∆ x=0
temos ∴ ∆ x=-4
Exercícios
1- Calcular a taxa média de variação das funções seguintes entre os pontos
indicados:
a) y=4
2e4
R: 0
b) y=-5
1 e 1,2
R: 0
c) y= -x
5e8
R: -1
d) y= -x
-1 e 4
R: -1
e) y=4x
2e3
R: 4
f) y=-4x
2e5
R: -4
g) y= x+1
4 e 10
R: 1
h) y=-x+1
-2 e 6
R: -1
i) y=2x+3
-5 e 5
j) y= -4x+5
0 e 10
R: -4
k) y= x2
0e3
R: 3
l) y=x2+x
1
m) y= x2+x-1
2
-1 e 1
R: +1
n) y=x4-2x3+2
o) y=1-
1
x
R= 2
10 e 12
R: 12
1e2
R: 1
2e5
R:
1
10
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A função custo associada à produção de x unidades de determinado bem é
1
dada por: C(x) =10000+2x+
x 2 . Determinar:
10
 c(x) 
a)O custo médio da produção, 
i .
 x 
b) O custo variável médio de produção Cvm (taxa média de variação da função
C entre os pontos o e x unidades).
Derivada de uma função.
Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto ] a,b [ e xo
um ponto deste intervalo.
O Limite, lim
∆y
=
∆x
lim
f ( xo + ∆x) − f (xo )
.
∆x
∆ x0
∆ x0
Quando existe, isto é, quando é um número real, recebe o nome de
derivada da função f no ponto xo. Neste caso dizemos também que f é derivável
no ponto xo. A derivada de f no ponto xo será indicada por uma das notações
seguintes:
dy
df
f’(xo),
(x o ) ,
(xo ) ou ainda por y’(xo).
dx
dx
Exemplos:
1) Calcule a derivada de cada uma das funções seguintes, nos pontos
indicados:
a) y=2x+1; xo=4
R: 2
b) y=
1
; xo=4
x
R:
−1
16
c) y=
1
; xo= 5
x +1
R:
−1
36
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Função Derivada
Seja f uma função derivável em todo ponto x de um intervalo aberto Ι .
A função que a todo x associa o número f’(x) recebe o nome de função
derivada de f em Ι e será indicada por uma das notações:
df df
f’,
,
ou y’
dx dx
Exemplos:
1) Se f(x) =x2 temos:
Portanto, f é derivável em todo ponto x ∈ IR com derivada 2x. Assim, a
derivada de f é a função f’ tal que f’(x)=2x.
2) Derive f(x) =x3
Portanto f’(x) =3x2, qualquer que seja x ∈ IR.
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AULA 11
PROF. CRISTIANO HUFF JUNG
MATEMÁTICA APLICADA - PROBLEMAS
1 – Calcular a derivada de cada uma das funções seguintes:
a) y = 4 x + 5
b) y =
1
x+ 2
2
c) y = −
1 2
x + 5x + 7
2
d) y = x 3 + x 2
e) y = 5 − x 2 + 4 x 3
x4 − x3 + x
5
f) y =
g) y = 10 − x 2 +
h) y =
i) y =
1 6
x + x5
2
x 7 − 3x 6
9
3 6
x
2
j) y = 2 x 2 + 6 x + 1
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l) y =
x
+ 0,5
2
m) y = ( x 2 + 4) 5
n) y = (2 − x) 8
o) y = x 2 e x
2 – Derive as funções:
a) C = q 3 + 2q 2 + 4q + 20 (Custo)
b) R = 6q 2 − q 3 (Receita)
c) L = −q 4 + 13q 2 − 36 (Lucro)
1
d) P = 10x 3 (Produção)
e) U = x x (Utilidade)
f) q = − p 2 + 100 (Demanda)
3 – Seja y = − x 2 + 8 x − 12
a) Faça o gráfico da função e determine o ponto da curva em que a tangente é
paralela ao eixo dos x . Qual o valor da função nesse ponto?
b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
c) Resolva as inequações y ′ > 0 e y ′ < 0 .
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AULA 12
MATEMÁTICA APLICADA
PROFESSOR: CRISTIANO HUFF JUNG
1 – Seja a função y = x 2 − 6 x + 8
a) Faça seu gráfico.
b) Determine sua derivada.
c) Determine a inclinação da curva nos pontos x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 e x = 6 .
d) Com base nos valores encontrados em (C ) e observando o gráfico, determine para
que valores de x a inclinação da curva é positiva, para que valores é negativa e para
que valores é nula.
2 – Seja a função y = 3x − x 2
a) Faça seu gráfico.
b) Determine sua derivada.
c) Determine os valores de x para os quais a curva tem inclinação positiva (é
crescente), resolvendo a inequação y ′ > 0 .
d) Determine os valores de x para os quais a curva tem inclinação negativa (é
decrescente), resolvendo a inequação y ′ < 0 .
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3 – O produto interno bruto (PIB) de um certo país é dado por N (t ) = t 2 + 5t + 106
bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1990.
a) Qual foi à taxa de variação do PIB em 1998?
b) Qual foi à taxa de variação percentual do PIB em 1998?
4 – A receita bruta anual de certa empresa era A(t ) = 0,1t 2 + 10t + 20 mil reais t anos
depois que a companhia foi fundada em 1998.
a) Qual a taxa de variação da receita bruta anual da empresa no início de 2002?
b) Qual a taxa de variação percentual da receita bruta anual da empresa no início de
2002?
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Aula 13
Matemática Aplicada
Prof. Cristiano Huff Jung
Integração
Integral Indefinida
Definição: Seja f uma função definida num intervalo I. Dizemos que uma
função P definida em I é uma primitiva de f quando:
P’(x) =f(x) para todo x ∈ I
Por exemplo, se f(x) =x2, então, P(x) =
x3
é uma primitiva de f, pois P’(x)
3
= x2=f(x), para todo x ∈IR.
Uma conseqüência imediata da definição consiste no fato que, se P é
uma primitiva de f, P+C (onde C é uma constante qualquer)é também uma
primitiva de f, pois:
(P+C)’(x) = P(x) +C’=P’(x) = f(x), para todo x ∈ I.
x3
Assim, P(x) =
+C (onde C é uma constante qualquer) é uma primitiva
3
de f(x) =x2, pois, P’(x) = x2 = f(x), qualquer que seja x ∈ IR.
Uma segunda conseqüência da definição é que se P1 e P2 são duas
primitivas de f, então, P1 e P2=C, onde C é uma constante.
De fato (P1 - P2)’(x) = P1’(x)-P2’(x) = f(x) - f(x) =0, para todo x ∈ I. Logo,
P1 - P 2 = C onde C é uma constante arbitrária.
Resulta, então, que se P é uma primitiva de f, toda primitiva de f é da
forma P+C. A expressão P+C onde P é uma primitiva de f e C é uma constante
qualquer recebe o nome integral indefinida de f e será indicada pela notação
∫ f(x) dx (integral de f).
Exemplos:
Função
f(x)
Primitiva
f(x)
Integral Indefinida
∫ f(x) dx
K
x
Kx
x2
2
x3
3
xn + 1
n +1
Kx+C
x2
+C
2
x3
+C
3
xn + 1
+C
n +1
x2
Xn, n ≠ -1
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Algumas regras de Integração
As funções u=f(x) e v=g(x) serão abreviadamente representadas por u e
v e as constantes serão representadas por C ou K.
Integral da soma de funções:
∫ (u+v) dx = ∫ u.dx+ ∫ v.dx
Integral do produto de uma constante por uma função:
∫
c.v.dx = c
∫
v.dx
Integral de Constante:
∫
c.dx= cx+K
Integral de função. Potência (ou produto de potência pela derivada
da base):
Se m ≠ -1:
∫
xmdx=
x m +1
+Ke
m +1
∫
umu’dx =
u m +1
+K
m +1
Se m=-1
∫
x-1 dx=
∫
1
dx= ln /x/ +K e
x
∫
u-1u’dx =
∫
u'
dx = ln/u/+ K
u
Integral de função exponencial (ou produto de exponencial pela
derivada do expoente):
∫
lxdx = lx+K
∫
axdx=
ax
+K
ln a
∫
luu’ dx= lu+K.
∫
auu’dx =
au
+K
ln a
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Alguns exemplos numéricos podem esclarecer melhor o uso das regras
anteriores:
Exemplo 1:
3x3
x2
2
2
(3x
-4x+5)
dx
=
3
x
dx-4
x
dx+5
dx=
−
4
+ 5 x + K = x3∫
∫
∫
∫
3
2
2
2x +5x+K.
Exemplo 2:
2x + 3
∫ x 2 + 3x dx =
Exemplo 3:
x2
∫ l 2xdx =
∫
u'
dx = ln/u/+K=ln /x2+3x/+K
u
∫
lu.u’dx = lu+k = lx2+K
Exemplo 4:
∫
(x3+4)3 3x2 dx =
∫
u3.u’ dx=
u4
+K =
4
(
x3 + 4
4
)4 +K
Exemplo 5:
3
∫
2
2x x + 5 dx =
∫
u’.u
1
2
3
u 2
2
dx =
+K = (x2+5) 2 + K.
3
3
2
Exemplo 6:
3
∫
x
2
x + 5 dx =
∫
(
1
x2 + 5
u'
1 u 2
2
. u dx=
+K =
2
2 3
3
2
)3 2 +K.