matA12 cálculo diferencial 1. Considere a representação gráfica da função f. Determine: 1.1. A variação de f em 2, 4 . 1.2. A variação de f em 0,6 . 1.3. tmv0,6 1.4. Indique um intervalo do domínio onde a taxa média de variação é 2. 2. A figura representa um reservatório com três metros de altura. Considere que, inicialmente, o reservatório está cheio de água e que, num certo instante, se abre uma válvula e o reservatório começa a ser esvaziado. O reservatório fica vazio ao fim de catorze horas. Admita que a altura, em metros, da água no reservatório, t horas após este ter começado a ser esvaziado, é dada por 1 h x log 2 8 t , t 0,14 2 Prove que a taxa de variação média de h no intervalo 0,11 é 0,2 . Interprete este valor no contexto da situação descrita. 3. Dada a função f, real de variável real, definida por f x x 2 3x . 3.1. Calcule a razão incremental, tmv, de f entre os pontos 2 e 3. 3.2. Calcule 3.2.1. 3.2.3. 3.3. 4. f 1 f 1 h f 1 h 3.2.2. f 1 h 3.2.4. lim h 0 f 1 h f 1 h Indique o valor da derivada de f no ponto de abcissa 1. Seja f uma função de domínio 4.1. Determine f 5 f 2 4.2. Indique o valor de tmv 2,5 4.3. Mostre que f ' 2 3 www.matematicaonline.pt [email protected] e que f 2 h f 2 2h2 3h, h . 1/7 matA12 cálculo diferencial 5. Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, determine: 5.1. f ' 0 , considerando f x x2 1 5.2. f ' 2 , considerando f x x3 x 5.3. f ' 5 , considerando f x 5.4. f ' 1 , considerando f x x 2 5.5. f ' 1 , considerando f x e x 5.6. f ' 5 , considerando f x ln x 6. 6.1. 7. x3 x2 Seja f uma função tal que a sua derivada no ponto de abcissa -3 é 5. Determine o valor de: lim x 3 f x f 3 6.2. x 9 2 lim h 0 3h f 3 h f 3 Considere a função, real de variável real, definida por f x 4 x3 3x . 7.1. Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, determine f ' 2 . 7.2. Escreva uma equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2. 7.3. Escreva uma equação da reta normal ao gráfico de f no ponto x 2 . 8. 9. 9.1. 9.2. Seja f x uma função, real de variável real, e f ' a , a derivada de f no ponto de abcissa a. Mostre que uma equação reduzida da reta tangente a f no ponto x a é dada por y f ' a x a f a . Seja f a função definida por f x x 2 4 x . Determine f ' a , onde a . Determine o ponto do gráfico de f onde a reta tangente é horizontal e escreva a respetiva equação da reta. 10. Considere a função f x x 2 1 . 10.1. Utilizando as potencialidades da máquina de calcular gráfica, faça um esboço do gráfico da função f. 10.2. Por observação do gráfico, o que pode concluir acerca do sinal de f ' 2 e de f ' 2 ? www.matematicaonline.pt [email protected] 2/7 matA12 cálculo diferencial 10.3. Confirme a resposta da alínea anterior calculando f ' 2 e f ' 2 através da definição. 10.4. Escreva as equações das retas tangentes ao gráfico da função f, nos pontos x 2 x 2 . 11. Considere as funções f e g representadas graficamente. Mostre que existe f ' 0 , mas não existem g ' 0 e g ' 1 . 12. Escreva a equação da reta tangente à curva y f x , em x a , sabendo que f ' a 1 e 2 que a reta tangente à curva contém a origem do referencial. 13. Na figura encontra-se parte da representação gráfica da função f, sendo r uma semitangente ao gráfico no ponto de abcissa 5. 13.1. Determine f ' 5 e f ' 5 . 135º 13.2. Existe f ' 5 ? 13.3. Defina por uma condição as semitangentes ao gráfico em x 5 . 14. Seja f a função definida por: 1x f x e x se x 0 se x 0 Investigue se f tem derivada em 0. 15. Indica a veracidade de cada uma das seguintes afirmações. 15.1. Numa certa função f sabe-se que f ' 1 2 , então a função é contínua no ponto 1. 15.2. Se g tem lim g x g 1 , então a função g é derivável no ponto 1. x 1 15.3. Se f é contínua no ponto 2, então é derivável nesse mesmo ponto. www.matematicaonline.pt [email protected] 3/7 matA12 cálculo diferencial 16. Considere a função f de domínio graficamente na figura ao lado. representada 16.1. Em x 2 a função é descontínua. Justifique esta afirmação. 16.2. Qual o resultado de lim f x f 2 x2 x 2 ? 16.3. As derivadas laterais de x 2 são iguais? Justifique. 17. Considere a função g representada graficamente. 17.1. Determine g ' 2 , g ' 2 , g ' 4 e g ' 4 . 17.2. Comente a afirmação “A função g é derivável em x 2 porque g ' 2 g ' 2 .” 17.3. A função é derivável em x 4 ? Justifique. 18. Prove, recorrendo a processos analíticos, que a função h definida por h x x 1 é contínua no ponto de abcissa 1, mas não tem derivada nesse ponto. 19. Consideremos uma função f de domínio e que: f é contínua em x 4 f ' 2 0 não existe f ' 4 f ' 10 Faça um esboço de um possível gráfico de f. 20. Sabe-se que g é uma função definida em 4, e que: g 5 2 g ' 5 2 g ' 7 existe g 7 é um máximo 20.1. Justifique que g é contínua em x 5 . 20.2. Indique o valor de g ' 7 . 20.3. Determine o valor de lim x 5 www.matematicaonline.pt [email protected] 2 g x g 5 2 x 2 7 x 10 4/7 matA12 cálculo diferencial 21. Na figura encontra-se representada graficamente a função f de domínio 3, 4 . Qual o domínio da derivada de f ? 22. Na figura encontra-se a representação de parte do gráfico de uma função g de domínio . 22.1. Qual o domínio de g’, derivada de g? 22.2. Caraterize g’. 23. Caraterize a função derivada da função f definida por: x se x 0 f x x 2 3x 2 1 se x 0 Bom trabalho!! www.matematicaonline.pt [email protected] 5/7 matA12 cálculo diferencial 10. 10.1. Soluções 1. 1.1. -5 1.3. 2. -4 1.4. 0, 2 Por exemplo: “A altura da água no reservatório desceu, em média, 0,2 metros por hora, entre os instantes correspondentes a seis e onze horas após a abertura da válvula.” 3. 3.1. 4 h 2 5h h 3.3. 4. 4.1. 4.3. 2 3 1.2. 27 3 3.2. h2 5h 4 3.4. 5 4.2. 5.4. 0 3 6 5.2. 11 5.5. 1 e 10.3. 10.4. f ' 2 0 e f ' 2 0 2 5 2 5 , f ' 2 5 5 2 5 5 Tangente: y x 5 5 2 5 5 Normal: y x 5 5 f ' 2 11. 9 5. 5.1. 10.2. 5.3. 5.6. 1 5 5 9 1 x 2 12. y 13. 13.1. f ' 5 2 , f ' 5 1 13.2. 13.3. Não y 2x 6 e y x 9 6. 6.1. 7. 7.1. 7.2. 7.3. 5 6 6.2. 45 y 45x 64 1 1172 y x 45 45 8. 9. 9.1. 9.2. f ' a 2a 4 a 2, y 4 3 5 14. 15. 15.1. 15.2. 15.3. Verdadeiro Falso Falso 16. 16.1. Porque lim f x lim f x 16.2. 16.3. Não, f ' 2 e f ' 2 tem x 2 x 2 derivada finita 17. 17.1. g ' 2 , g ' 2 , g ' 4 e g ' 4 www.matematicaonline.pt [email protected] 6/7 matA12 cálculo diferencial 17.2. Falso, pois g ' 2 e g ' 2 não 17.3. têm derivada finita Não 18. 19. 20. 20.1. Por exemplo: 20.2. Existe derivada finita em x 5 , logo a função é contínua nesse ponto. g '7 0 20.3. 21. D f ' 3,4 \ 1,1,3 22. 22.1. Dg ' 4 3 \ 1,2 22.2. 0 se g ' x 1 se 2 se x 1 -1<x 2 x2 23. 2 2 f x x 2 6x se x 0 se x 0 www.matematicaonline.pt [email protected] 7/7