Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul
Trabalho de Geometria
Teorema de Pitágoras
George Polya – Vida e Obra
Generalização de George Polya para o Teorema de Pitágoras
Grupo:
André Wermann
Diogo Schwanck
Luciana dos Santos
George Polya
Vida e Obra
George Polya nasceu em 13 de Dezembro de 1887 em
Budapeste (Hungria), em uma família judaica de origem polaca.
Foi um ótimo estudante no ensino secundário, apesar da
escola que freqüentava valorizar muito a aprendizagem com base
na memória, prática que Polya considerava monótona e sem
utilidade.
Licenciou-se em 1905, tendo sido considerado como um dos
quatro melhores alunos do seu ano o que lhe permitiu ganhar uma
bolsa de estudo na Universidade de Budapeste. Aí começou por
estudar Direito, tal como seu pai. No entanto, achou o curso
aborrecido e passou para o curso de línguas e literaturas.
Interessou-se depois por Latim, Física, Filosofia e finalmente por
Matemática tendo, em 1912, concluído o seu doutorado.
No Outono de 1913 foi para Göttingen (Alemanha) onde
conheceu Hilbert. Ainda durante este ano, publicou um dos seus
maiores resultados, a solução do problema do passeio aleatório.
Em 1913 foi para Paris (França) trabalhar no seu pósdoutorado.
Em 1914 assumiu um cargo na Universidade de Zurique
(Suíça) onde conheceu Hurwitz. Nesse mesmo ano, foi chamado pelo
seu país para a guerra, mas recusou-se a prestar serviço militar. O
medo de ser preso por não ter respondido à chamada fez com que
apenas regressasse à Hungria depois de ter terminado a Segunda
Guerra Mundial. Em Zurique conheceu a sua futura esposa Stella
Weber. Casaram em 1918 permanecendo juntos até à morte de Polya.
Em 1924, trabalhou com Hardy e Littlewood em Oxford e
Cambridge (Inglaterra). Publicou a classificação em dezessete grupos
dos planos de simetria, resultado que, mais tarde, viria a inspirar
Escher. Em 1925, juntamente com Szegö, publicou: "Aufgaben und
lehrsätze aus der Analysis" e "Die grundlehren der mathematischen
wissenschaften".
Em 1940, com receio de uma possível invasão alemã da Suíça,
decidiu ir para os Estados Unidos tendo aceitado, em 1942, um cargo
de professor na Universidade de Stanford onde permaneceu até à sua
retirada do ensino, em 1953.
Em 1945 publicou um dos seus livros mais famosos: “How to Solve it”.
Seguiram-se “Isoperimetric Inequalities im Mathematical Physics”
(1951); “Mathematics and Plausible Reasoning” (1954), “Mathematical
Discovery” (1962-64).
George Polya faleceu em sete de Setembro de 1985.
Generalização de
George Polya para o
Teorema de Pitágoras
Demonstração
“Se F, F’ e F’’ são figuras semelhante construídas
respectivamente sobre a hipotenusa c e sobre os catetos a e b
de um triângulo retângulo, então a área de F é igual à soma das
áreas de F’ e F’’.”
C
B
A
D
Se G, G’ e G’’ são outras figuras semelhantes
construídas,
respectivamente, sobre a hipotenusa e seus
catetos, tem-se:
C
B
D
C’
A
D’
C
B
D
C’
A
D’
C
D’’
B
D
C’
A
G’ = b² = F’
G” a² F”
Logo: G’ = G”
F’ F”
Analogamente, G’ = G,
F’ F
Portanto: G = G’ = G” = k
F F’ F”
Assim:
G = k.F
G’ = k.F’
G” = k.F”
Isso significa que, se forem encontradas três
figuras semelhantes especiais G, G’ e G”,
construídas respectivamente sobre a hipotenusa e
os catetos do triangulo, de modo que se tenha G =
G’ + G”, então, F = F’ + F”, quaisquer que sejam
as figuras semelhantes F, F’ e F” construídas do
mesmo modo.
De fato: F = k.G, F’ = k.G’ e F” = k.G”,
Então: F’ + F” = k.G’ + k.G” = k(G’+G”) = k.G = F
Mas as figuras “ESPECIAIS” provêem de um triângulo
retângulo ABC: Basta traçar a altura CD sobre a
hipotenusa AB. A figura G será o próprio triângulo ABC,
G’ será ADC e G” será o triângulo BCD.
C
B
A
D