GOVERNO DO PARANÁ
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA
EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS
NERLI APARECIDA GOMES1
UEL - Londrina
2008
Professora da rede pública do Estado do Paraná na disciplina da Matemática. Especialista em Ensino da
Matemática pela UNIVALE – Faculdades Integradas do Vale do Ivaí.
1
NERLI APARECIDA GOMES
ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA EDUCAÇÃO DE
JOVENS E ADULTOS
Artigo apresentado ao Programa de
Desenvolvimento Educacional da
Secretaria Estadual de Educação
Orientador: Olívio Augusto Weber
Londrina
2008
GOMES, Nerli Aparecida. Estratégias de Resolução de Problemas no Ensino
Fundamental. (Programa de Desenvolvimento Educacional da Secretaria
Estadual de Educação) – Universidade Estadual de Londrina. 2008
RESUMO
O presente trabalho objetiva expor a proposta metodológica de Resolução de
Problemas realizada na disciplina de Matemática, na Educação de Jovens e
Adultos, realizada da cidade da Ivaiporã – PR, no Centro de Educação Básica
de Jovens e Adultos. Tal proposta torna-se viável na medida em que facilita o
processo ensino-aprendizagem, já que, os estudantes devem ter consciência
do que e do porquê da matemática, onde e quando é usada. Dessa maneira,
uma metodologia que ensine a Matemática através da resolução de problemas
que façam parte da realidade dos educandos pode cooperar para que a
aprendizagem seja facilitada e faça sentido para os mesmos, tornando o
ensino prazeroso e eficaz.
Palavras-chave: resolução de problemas; processo de ensino-aprendizagem,
matemática, metodologia.
GOMES, Nerli Aparecida. The methodological proposal of problems
resolutiion. Universidade Estadual de Londrina. 2008
ABSTRACT
The present work aims to expose the methodological proposal of problems
resolution carried out in the discipline of Mathematics, in Young and Adult
Education, in Ivaiporã – PR, at Barbosa Ferraz State School. This proposal is
viable because it facilitates the teaching-learning process, since the student,
frequently, is not aware of the importance of Mathematics, when and where it is
used, and these factors make them believe in a wrong idea about the reality. In
this way, a methodology that teaches Mathematics through problem resolution
that is part of the student reality can cooperate with learning and make sense to
them, becoming teaching pleasurable and effective.
Key-words: problem resolution; teaching-learning; Mathematics; methodology.
5
INTRODUÇÃO
Constata-se que,
ao longo da história
do ensino da
Matemática, os estudantes apresentam grandes dificuldades no processo de
ensino-aprendizagem, na medida em que não conseguem se apropriar dos
conceitos matemáticos. Isso se dá pelo fato de que os símbolos e as
terminologias apresentados não fazem parte de suas realidades. Segundo D’
AMBRÓSIO (1986), do ponto de vista da motivação contextualizada, a
Matemática que se aprende hoje na escola é morta. Assim sendo, torna-se
imprescindível que o aprendiz compreenda a utilidade matemática e isso só
acontecerá quando os professores da disciplina a contextualizarem e fizerem
com que o ensino realmente seja efetivado.
Também é pertinente ressaltar que os problemas colocados
nos livros didáticos, ou até mesmo pelo próprio professor, devem trabalhar
assuntos significativos que façam sentido para a vida dos alunos e não
apresentarem exercícios em uma linguagem totalmente fora do contexto social
dos educandos, o que acarreta a dificuldade já na interpretação textual e a não
compreensão do enunciado.
A escola deve trabalhar de uma forma a qual os alunos
atribuam sentido para o desenvolvimento de qualquer situação matemática e
que tais situações não se tornem simplesmente mais uma efetivação de
exercícios sem reais finalidades, privilegiando a memorização em detrimento
ao aprendizado.
Por sua vez, os alunos não apenas decorarão fórmulas e
resolverão apenas situações similares às apresentadas pelo professor, tendo
em vista que, se houver qualquer mudança, por exemplo, na redação da
questão, eles sentir-se-ão aptos para resolverem quaisquer problemas.
Os conteúdos da disciplina não devem ser colocados como
produtos acabados, transmitidos de forma oral, sem oportunizar aos alunos a
possibilidade de interação com o educador, o que os reduz a meros
expectadores. Outro problema a ser destacado são as avaliações, as quais não
devem ser feitas como resultados e sim como um processo diário que faça
parte do ato de ensinar-aprender.
6
Dessa feita, este trabalho objetiva evidenciar que a disciplina
de Matemática pode ser trabalhada de maneira prazerosa, que parta da
realidade dos estudantes. É nesse momento que se deve evidenciar a
metodologia de “Resolução de Problemas”, a qual pode contribuir para que os
alunos, neste caso, Jovens e Adultos, aprendam a Matemática a partir de seus
conhecimentos prévios e de forma instigante.
Para que se possa proporcionar essa nova oportunidade aos
alunos, onde eles desenvolvam de maneira real suas capacidades cognitivas e
um aprendizado real, tornando-se verdadeiros cidadãos, evidenciaremos as
etapas, desenvolvidas por Polya, na “Resolução de Problemas”, uma
metodologia que pode cooperar grandemente no processo de ensinoaprendizagem.
Com esse intuito, foi criado também um material didático, que
aqui também será exposto, para a aplicação dessa proposta, na qual a
Matemática foi abordada de forma real, partindo da realidade dos aprendizes,
com o intuito de estimulá-los a conhecerem a matéria, vencendo desafios e de
forma contextualizada.
7
A Resolução de Problemas
O que para alguns é um problema para
outros é um exercício e para alguns
outros uma distração. (Ditado popular)
Desde os tempos mais remotos, a humanidade se depara com
situações-problema e a sua sobrevivência, muitas vezes, depende dessas
situações. Na medida em que o mundo foi se evoluindo quanto à organização
social, os problemas de sobrevivência foram sendo substituídos por outros e o
homem vive buscando superar desafios abrindo novas possibilidades de
melhorar sua qualidade de vida.
No contexto escolar, as estratégias, os recursos e as
abordagens adotadas pelo aluno na resolução de problemas são de
fundamental importância. É preciso que os alunos saibam como aprender e
como compreender os fatos e fenômenos, como estabelecer suas relações
interpessoais, como analisar, refletir e agir.
A metodologia Resolução de Problemas desenvolve no aluno a
capacidade de pensar matematicamente e é uma estratégia riquíssima, a qual
objetiva que as aulas descontextualizadas, em que os alunos decoram as
fórmulas, sejam reavaliadas.
Um problema, ainda que simples, pode suscitar o gosto pelo
trabalho mental se desafiar a curiosidade e propiciar ao aluno o gosto pela
descoberta da resolução, e ao tentar resolvê-lo, adquire criatividade e aprimora
o seu raciocínio e, conseqüentemente, interessar-se pelas aulas de
matemática.
Para que a metodologia de Resolução de Problemas seja
eficaz, devemos ter claro que a situação problema é um ponto de partida da
atividade matemática e não a definição. Devem ser propostas pelo professor
questões que desenvolvam o pensamento numérico, espacial e lógico.
É preciso diferenciar problema de exercício, tendo em vista que
o exercício é uma atividade na qual o aluno resolve ao aplicar alguma fórmula
já conhecida, ou seja, é uma aplicação de resultados teóricos. O problema, por
sua vez, envolve necessariamente e invenção e a criação significativa e a
8
solução não pode ser obtida pela simples evocação da memória, exige a
elaboração e a execução de um plano.
Vejamos, a seguir, um exemplo que diferencia, claramente, um
exercício de um problema, retirado de um seminário de Resolução de
Problemas realizado na USP (Universidade de São Paulo):
•
Exercício: resolver a equação x² - 3x + 1 = 0 (supõe-se que
tal aluno conheça a fórmula de Bhaskara).
•
Problema: provar a fórmula de Bhaskara (supõe-se que tal
aluno nunca tenha visto tal demonstração, mas conheça a
fórmula); aqui percebemos a importância de definir o perfil
do aluno, pois para o professor este não seria um problema
uma vez que provavelmente ele já viu esta demonstração.
•
Problema (mais difícil): descobrir, provando, uma fórmula
para resolver toda e qualquer equação algébrica do
segundo grau (supõe-se que tal aluno não conheça a
fórmula de Bhaskara).
Muitas vezes, o aluno não percebe o que faz em uma
resolução de exercícios e isso torna as aulas desinteressantes e monótonas.
Não basta que o professor de Matemática passe um simples exercício para
seus aprendizes, mas sim, é necessário que trabalhe com problematizações.
Também é valido destacar que é necessário que sejam
escolhidos bons problemas, sempre visando um bom processo ensinoaprendizagem de Matemática. Neste sentido, é importante que o problema:
•
Tenha enunciado acessível e de fácil compreensão;
•
Exercite o pensar matemático do aluno;
•
Exija criatividade na resolução;
•
Possa
servir
consolidação
matemáticos;
de
de
‘trampolim’
importantes
para
idéias
a
introdução
e/ou
ou
conceitos
9
•
Não seja muito fácil ou muito difícil e sim natural e
interessante.
O aluno deve ter em mente que desenvolver um problema é
como vencer um jogo e que, para isso, é necessário compreender o objetivo,
conhecer as regras e selecionar as estratégias necessárias.
O educador deve deixar claro para o estudante que é
imprescindível ter a noção de que a Metodologia de Resolução de Problemas
trabalha de maneira mais rentável que aqueles problemas que não exigem
raciocínio dedutivo e pedem apenas respostas corretas.
Constata-se,
dessa
maneira,
que
ensinar
e
aprender
Matemática torna-se mais interessante quando se utiliza bons problemas no
lugar de exercícios que exigem apenas a repetição de fórmulas e se distanciam
totalmente do horizonte de expectativas dos alunos.
Etapas de resolução de problemas - Polya
Ao procurar organizar um pouco o processo de resolução de
problemas, Polya o dividiu em quatro etapas. É importante ressaltar que o autor
nunca pretendeu que a sua divisão correspondesse a uma seqüência de
etapas a serem percorridas uma depois da outra sem que nunca seja
conveniente ou necessário voltar atrás ou que a sua divisão funcionasse como
uma fórmula para resolver problemas matemáticos.
As quatro etapas de resolução de problemas segundo Polya
são:
1ª etapa: compreensão do problema
O primeiro passo é entender o problema. É importante fazer
perguntas:
•
Qual é a incógnita?
•
Quais são os dados?
•
Quais são as condições?
10
•
É possível satisfazer as condições?
•
Elas são suficientes ou não para determinar a incógnita?
Existem condições redundantes ou contraditórias?
2ª etapa: construção de uma estratégia de resolução
Encontrar conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja
conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares caso uma conexão
não seja encontrada em tempo razoável. É importante fazer perguntas:
•
Você já encontrou este problema ou um parecido?
•
Você conhece um problema semelhante?
•
Você conhece teoremas ou fórmulas que possam ajudar?
•
Olhe para a incógnita e tente achar um problema familiar e
que tenha uma incógnita semelhante.
•
Caso você encontre um problema relacionado ao seu e que
você sabe resolver, tente aproveitá-lo. Você pode usar seu
resultado ou método?
•
É necessário introduzir algum elemento auxiliar de modo a
viabilizar esses objetivos?
•
Você consegue enunciar o problema de uma outra
maneira?
•
Caso você não consiga resolver o problema dado, tente
resolver um problema parecido! Você consegue imaginar
um caso particular mais acessível?
•
E um caso mais geral e/ou mais acessível? Você consegue
resolver alguma parte do problema?
•
Mantenha apenas parte das condições do problema e
observe o que ocorre com a incógnita: como ela varia
agora?
•
Você consegue obter alguma coisa desde os dados?
•
Você consegue imaginar outros dados capazes de produzir
a incógnita? Você consegue alterar a incógnita ou os lados,
11
ou ambos, de modo que a nova incógnita e os novos dados
fiquem mais próximos?
Não se esqueça de levar em conta todos os dados e todas as
condições.
3ª etapa: executando a estratégia
Freqüentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de
resolução de um problema. Contudo, a maioria dos principiantes tende a pular
esta etapa prematuramente e acabam não obtendo êxito. Outros elaboram
estratégias inadequadas e enredam-se terrivelmente na execução (e, deste
modo, acabam sendo obrigados a voltar para a etapa anterior e elaborar uma
nova estratégia). Ao executar a estratégia, verifique cada passo. Você
consegue mostrar que cada um deles está correto?
4ª etapa: revisando a solução
Você deve examinar a solução obtida, verificando os resultados
e os seguintes argumentos:
•
Você pode obter a solução de algum outro modo?
•
Qual a essência do problema e do método de
resolução aplicado?
•
Em particular, você consegue usar o resultado – ou o
método – em algum outro problema?
•
Qual a utilidade deste resultado?
Conforme verificamos, Polya dividiu o processo de resolução
de problemas matemáticos em quatro etapas: entendimento do problema,
invenção de estratégia de resolução, execução e revisão.
12
A revisão da solução é a etapa mais importante segundo Polya,
na medida em que esta etapa propicia uma depuração e uma abstração da
solução do problema, como podemos observar abaixo:
•
Depuração: o objetivo é verificar a argumentação usada, procurando
simplificá-la; pode-se chegar ao extremo de buscar outras maneiras de
resolver o problema, possivelmente mais simples, mas menos intuitivas
e só agora acessíveis ao resolvedor. Há uma crítica generalizada aos
matemáticos pesquisadores por publicarem demonstrações muito
artificiais ou abstratas e que certamente não representam a maneira
como o resultado em demonstração foi descoberto. Contudo, é inegável
que a revisão de depuração é muito proveitosa.
•
Abstração: agora, o objetivo é refletir no processo de resolução
procurando descobrir a essência do problema e do método de resolução
empregado; tendo-se sucesso nessa empreitada, poder-se-á resolver
outros problemas mais gerais ou de aparência bastante diferente. Ela
representa a possibilidade de aumento do ‘poder de fogo’ do resolvedor.
Feito por um matemático talentoso, esse trabalho de abstração
representa a possibilidade de fertilização da Matemática. Observamos
que na Educação Básica existem ao menos caricaturas das três
primeiras etapas de Polya, mas nada no que toca à etapa da revisão. Os
professores ou ignoram essa importante etapa ou alegam que a mesma
é inviável de trabalhar face à falta de tempo, dificuldade de testar,
frustração dos alunos, etc.
È imprescindível que os professores, além dos problemas
apresentados nos livros didáticos, levem um material complementar, no qual os
problemas a serem resolvidos partam da realidade dos alunos. Segundo Krulik,
Resolver problemas de livros didáticos é uma maneira de
resolver problemas, mas os alunos também deveriam se
defrontar com problemas de outras fontes. As estratégias
de “Resolução de Problemas” envolvem propor questões,
analisar situações, interpretar resultados, ilustrar
resultados, traçar diagramas e usar tentativas e erro. Na
“Resolução de Problemas” os alunos precisam saber
aplicar as regras da lógica que sejam necessárias para
chegar a conclusões válidas. Precisam saber determinar
quais os casos relevantes. Devem ser encorajados para
chegar a conclusões provisórias e precisam estar
13
dispostos a submeter essas conclusões a exames
minuciosos. (1997, p. 10)
Levando em consideração que a “Resolução de Problemas” é
um dos caminhos para ensinar matemática, deve-se tomar o problema como
ponto de partida.
Ensinar resolver problema é uma tarefa muito mais
complicada do que ensinar algoritmo e equações. A
postura do professor ao ensinar um algoritmo é, em geral,
a de um orientador dando instruções, passo a passo, de
como fazer. Na “Resolução de Problemas”, ao contrário, o
professor deve funcionar como um incentivador e
moderador das idéias geradas pelos próprios alunos.
(DANTE: 2005, p. 52)
É de extrema importância que os professores saibam elaborar
os problemas, os estudantes devem ser levados a identificar as informações
estranhas ao enunciador e modificar as suas condicionantes, ou seja, o
educador deve construir questões que possam ser resolvidas utilizando apenas
as informações dadas no enunciado.
Segundo Krulik (1997) os seguintes passos devem ser
utilizados para se resolver um problema:
Entendendo um problema: Qual a incógnita? Quais são os
dados? Quais são as condicionantes? É possível
satisfazer as condicionantes? Estas são suficientes para
determinar a incógnita? Ou insuficientes? Ou
redundantes? Ou contraditórias? Esboce uma figura.
Introduza uma notação conveniente.
Arquitetando um plano: Você já o viu antes? Ou viu uma
forma ligeiramente diferente? Você conhece um problema
correlato? Você conhece um teorema que possa ser
útil?Observe a incógnita! Tente se lembrar de um
problema que tenha a mesma incógnita ou semelhante.
Eis um problema correlato com o seu e já resolvido antes.
Você seria capaz de usá-lo? Seria capaz de usar o
resultado desse problema? E seu método? Seria preciso
introduzir algum elemento auxiliar a fim de tornar possível
seu uso? Você seria capaz de reformulá-lo uma vez mais,
de maneira diferente? Retome as definições. Se você não
é capaz de resolver o problema, tente resolver um
correlato a ele. Você seria capaz de imaginar um
problema correlato mais simples? E um problema mais
geral? E um caso particular dele? E um problema
análogo? Você seria capaz de resolver parte do
problema? Mantenha apenas algumas condicionantes,
desprezando as outras; então até que ponto a incógnita
14
fica determinada e qual o seu novo campo de variação?
Você seria capaz de deduzir algo de útil dos dados? Seria
capaz de imaginar outros dados convenientes para a
determinação da incógnita? Você seria capaz de mudar a
incógnita ou os dados, ou ambas as coisas, de maneira a
aproximá-los entre si? Você usou todos os dados? Usou
todas as condicionantes? Levou em conta todas as
noções essenciais que o problema encerra?
Executando o plano: Ao executar seu plano de
resolução, verifique cada passo. Você é capaz de ver
claramente que um determinado passo é correto? Você é
capaz de provar que ele é correto?
Fazendo um retrospecto: Você é capaz de verificar um
resultado? E o argumento? Você é capaz de obter o
resultado de outra maneira? Pode perceber isso em um
relance? Você é capaz de usar o resultado, ou o método,
noutro problema? (p. 345)
Ao ter noção que o método de “Resolução de Problemas”
incentiva o raciocínio, o pensamento e torna as aulas mais dinâmicas,
possibilitando o levantamento de hipóteses e formas de testá-las, não
restringindo a Matemática aos modelos clássicos, fazendo com que os alunos
não recebam um conhecimento parcial e teórico, desvinculado da prática, mas
sim que vivam a disciplina, gostem e apreciem seus resultados e caminhem no
sentido de conseguir a autonomia necessária para a intelectualidade, através
da segurança quanto à própria capacidade de construir, aprender e utilizar a
Matemática.
Mostraremos, a seguir, os resultados da implementação da
metodologia em questão com o Centro Estadual de Educação Básica para
Jovens e Adultos (CEEBJA) de Ivaiporã – Paraná.
Implementação da Metodologia “Resolução de
Problemas” para Estudantes do CEEBJA de Ivaiporã –
Paraná.
15
A metodologia de Resolução de Problemas foi implantada no
CEEBJA em Ivaiporã – PR e pautou-se nas teorias expostas por Polya. Além
disso, realizou-se a aplicação do material didático FOLHAS com o tema Medir
Para Quê?.
Essa metodologia divide-se em quatro etapas, as quais serão
expostas a seguir:
1ª etapa: Compreensão do Problema
Neste momento, os alunos foram questionados em relação as
suas dificuldades na matéria de Geometria. Receberam explicações gerais
sobre medidas de grandes áreas, ou seja, medidas de terra e assim puderam
compreender como a matemática pode contribuir, por exemplo, na vida de um
pequeno agricultor que deseja cultivar a terra e produzir alimentos para o
sustento de sua própria família.
Este tema foi escolhido pelo fato de a agricultura fazer parte
da realidade dos estudantes do CEEBJA de Ivaiporã, tendo em vista que se
trata de uma região onde a agricultura prevalece.
Ressaltou-se que é fundamental que o modelo agropecuário
rural não agrida o meio ambiente, o que deixa nítido o trabalho interdisciplinar,
já que, concomitantemente com a Matemática, abordaram-se assuntos da
Geografia e da Ciência, tal qual o meio ambiente.
Assim, os educandos foram levados a analisar se os dados
fornecidos no material didático Folhas eram suficientes para calcular, por
exemplo, a porcentagem de Mata Ciliar que deveria ser plantada. Tendo a
medida total da terra, se a medida dada em alqueires poderia ser transformada
em metros quadrados, se seria possível calcular a quantidade necessária de
piso para forrar o chão de cada cômodo da casa conhecendo a medida dos
lados desses cômodos. Por fim, analisaram todas as informações e discutiram
se poderiam resolver os problemas contidos neste material.
16
2ª etapa – Construção de uma estratégia de resolução
Nesta etapa, procurou-se encontrar conexões entre os dados
do problema e outros que os alunos já pudessem ter observado. Os aprendizes
foram questionados sobre seus conhecimentos em relação à área e
compreenderam que quando a medimos queremos saber o espaço que uma
superfície ocupa. Portanto, foram expostas as unidades de medidas
específicas com o seguinte exemplo:
Imagine que você tenha dois terrenos e queira cercá-los.
Para isso você precisa saber o comprimento dos lados do terreno e,
depois de cercá-los, deve determinar quanto espaço está disponível para
o plantio.
Foram colocados os exemplos nos quadros e, através de
figuras ilustrativas, os alunos resolveram o problema.
3ª etapa: Executando a estratégia
Nesta etapa, foram selecionados alguns problemas, os quais
foram resolvidos em ordem gradativa quanto ao nível de dificuldade dos
educandos.
A princípio, foram entregues dois problemas a cada aluno, os
quais, apesar de serem variados, tinham o mesmo grau de dificuldade. É
pertinente evidenciar que os problemas escolhidos possuiam temáticas que
estavam dentro do horizonte de expectativas dos alunos, o que tornou a
execução da estratégia prazerosa, interativa e muito produtiva.
Abaixo, alguns exemplos de problemas:
Atividades Experimentais2
ATIVIDADE 1
Objetivo:
Atividades retiradas do site:
http://www.unesp.br/prograd/PDFNE2005/artigos/capitulo%205/ensinandoarea.pdf
2
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Introduzir o conceito de área.
Materiais:
- 15 ou mais quadrados de 1 cm de lado;
- cola;
- papel;
- lápis;
- régua.
Utilização do Material:
1º) Desenhe um retângulo de lados 5 cm e 3 cm.
2º) Como obter uma medida do retângulo, usando os
quadradinhos? Quantos quadrados você utilizou? Você sabe o que significa
esse número encontrado?
Comentário:
Contando a quantidade de quadrados de um cm que foram
necessários para cobrir toda a região retangular, encontramos um número, o
qual é chamado de área do retângulo desenhado.
O quadrado de área um cm de lado é chamado de unidade de
área. Por definição, a área deste quadrado é um cm². Foram necessários 15
quadrados de lado um cm para cobrir o retângulo, sendo que cada um tem
área 1cm². Assim a área do retângulo é 15cm².
ATIVIDADE 2
Objetivo:
Construir quadrados de um metro de lado com área igual a 1
m² e descobrir a correspondência entre as unidades de medida m² e cm².
Materiais:
- jornal;
- fita métrica;
- tesoura;
- fita adesiva;
- lápis.
Utilização do Material:
1º) Una folhas de jornal utilizando a fita adesiva, de modo a
formar o quadrado Q de lado um metro.
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2º) Qual a área do quadrado Q tomando como unidade de
medida de área o quadrado de lado 1 cm?
3º) Escreva a área de Q tomando como unidade de medida de
área o próprio quadrado de lado 1 m.
4º)O que você pode concluir em relação à área de Q,
comparando os resultados do 2º e 3º passos?.
Comentário:
Pôde ser observada uma correspondência entre cm² e m².
Deixar claro que dependendo da figura que temos para fazer o
cálculo de área, é conveniente utilizarmos como unidade de área, o metro
quadrado (m²) ao invés de utilizarmos o centímetro quadrado (cm²).
ATIVIDADE 3
Objetivo:
Aplicar o conceito de área adquirido na atividade 1, para
descobrir a fórmula para o cálculo da área do quadrado e do retângulo,
tomando como unidade de medida de área, o quadrado de área 1 cm².
Materiais:
- lápis;
- régua.
Utilização do Material:
1º) Quadricular os quadrados e os retângulos a seguir,
utilizando quadrados de 1 cm de lado.
2°) Dar a área dos quadrados.
3°) Escrever a área de cada quadrado como produto de dois
números. O que você conclui quanto a área do quadrado?
4º) Repita os passos anteriores para os retângulos.
Comentário:
Pôde ser observado que no cálculo da área do quadrado,
assim como no cálculo da área do retângulo, o número de unidades de área
(quadrado de área 1 cm²) coincide com o produto do número de unidades do
comprimento (b) pelo número de unidades da altura (h). Dessa maneira, a área
A do retângulo é A = b h. Na área do quadrado, como o comprimento e a altura
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têm as mesmas medidas (L), pode ser representado pelo produto dos lados, ou
seja, A = L².
Observamos que nas atividades 1 e 3 foram assumidos apenas
números inteiros para os lados do quadrado e do retângulo. Tais atividades
podem também serem desenvolvidas para números racionais e irracionais.
ATIVIDADE 4
Objetivo:
Observar a conservação de área de figuras planas.
Materiais:
- retângulo desenhado no papel quadriculado, com uma das
diagonais marcada;
- tesoura.
Utilização do Material:
1º) Qual a área do retângulo dado considerando o quadrado do
papel quadriculado como unidade de área?
2º) Recorte o retângulo na diagonal marcada.
3º) Una os triângulos formando uma figura diferente do
retângulo dado. Qual é a área da figura obtida?
Comentário:
A área da figura obtida deve ser calculada observando que o
número de quadrados necessários para cobrir os triângulos permanece o
mesmo, independente de como se posicionar os triângulos.
A atividade 4 pode ser desenvolvida para diferentes polígonos,
de forma a levar o aluno a concluir: se uma nova figura é formada a partir da
decomposição de uma figura dada, possui a mesma área desta figura. Dizemos
que há uma conservação da área, com a decomposição de uma figura.
A conservação de área será importante na obtenção das
fórmulas para o cálculo das áreas dos polígonos como o paralelogramo,
trapézio, etc.
4ª etapa: Revisando a solução
20
Nesta etapa, os aprendizes examinaram a resolução obtida,
verificando se os problemas poderiam ser solucionados de outras maneiras.
Na medida em que os problemas eram resolvidos, os alunos
trocavam os problemas, até que cada um tivesse resolvido todos os problemas.
Cada aluno fazia o seu próprio controle em uma ficha, na qual enumerava os
problemas resolvidos.
A comunicação entre os aprendizes fez com que eles
percebessem que, através de caminhos diferentes, encontram-se os mesmos
resultados.
Os problemas apresentados tiveram seu grau de dificuldade
paulatinamente aumentado e, devido a isso, alguns alunos perceberam que o
método utilizado no problema anterior poderia também ser utilizado em um
novo problema.
21
Relatos sobre a Implementação
A implementação da resolução de problemas foi muito
produtiva, tendo em vista que, ao aplicar os problemas, os alunos se
interessaram bem mais pelas aulas de Matemática.
Foram escolhidos oitenta problemas pela professora e foi
proposto que cada aluno resolvesse no mínimo vinte e cinco problemas. A
maioria da turma resolveu quase todos os problemas propostos, tendo em vista
que estes despertaram curiosidade e competitividade.
O trabalho desenvolvido junto aos educandos, através da
Proposta de Resolução de Problemas, apresentou um excelente êxito, na
medida em que todos se envolveram durante os desafios propostos, os quais
foram resolvidos por soluções encontradas em diferentes caminhos.
Inicialmente, os problemas apresentados foram de menor
complexidade, obedecendo as quatro etapas propostas por Polya. O empenho
dos participantes foi de grande importância, uma vez que foi possível verificar
que todos tiveram uma maior participação na resolução dos problemas.
Os
encaminhamentos
apresentavam
curiosidades
e
competitividade, o que motivava os aprendizes a encontrar as soluções através
de diferentes caminhos. Notou-se que, dessa feita, houve um grande estímulo
para um raciocínio rápido o qual foi complementado por um material teórico
que complementou as exposições teóricas realizadas pelo educador.
No decorrer das atividades, verificou-se grande interatividade
entre os participantes, pois os problemas propostas faziam parte de suas
realidades. Pode-se afirmar que, devido ao empenho de todos, a proposta teve
grande êxito e o conhecimento, em relação ao conteúdo proposto, foi deveras
enriquecido.
22
Conclusão
Através da implementação da Metodologia de Solução de
Problemas, pode-se comprovar que é possível ensinar Matemática da maneira
contextualizada, partindo da realidade dos alunos.
Essa
metodologia
faz
com
que
os
alunos
interajam,
questionem-se e busquem as próprias soluções para os problemas, os quais
podem e devem fazer parte de suas realidades.
Assim, pode-se dizer que, os alunos estudam, aprendem,
vencem desafios e são estimulados a conhecer a Matemática de maneira
gradativamente mais profunda e, conseqüentemente, prazerosa.
Percebe-se, dessa feita, que Polya concebe a Matemática
não como uma disciplina formal, mas enfatiza a sua dependência com a
intuição, a imaginação e a descoberta, defendendo que se deve imaginar a
idéia da prova de um teorema antes de prová-lo. Pode-se, dessa maneira,
perceber que muitas vezes erramos e temos que descobrir outras saídas, o
que acaba contribuindo para melhorar nossa capacidade de imaginar
soluções:
O resultado do trabalho criativo do matemático é o
raciocínio demonstrativo, a prova, mas a prova é
descoberta por raciocínio plausível, pela imaginação
(POLYA: 2006, p. 341 ).
Após a realização do presente trabalho constata-se que,
através da teoria exposta por Polya, podem-se alcançar bons resultados no
processo de ensino-aprendizagem na disciplina de Matemática.
23
Bibliografia
BICUDO, Maria Aparecida, BORBA, Marcelo de Carvalho (orgs). Educação
Matemática – pesquisas em movimento. São Paulo: Cortez, 2004.
DANTE, LUIZ ROBERTO. Didática da Resolução de Problemas de
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