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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
• PALESTRA
•
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
• Prof. Benedito Tadeu V. Freire
INTRODUÇÃO
Na busca da solução de um
problema, o primeiro passo é entender o
problema.
O que significa entender o
problema?
Entender o problema é
identificar, perfeitamente, o
que é dado e o que o
problema
pede.
O QUE É A SOLUÇÃO
DO PROBLEMA?
A solução do problema é a
argumentação que se faz, por
passos lógicos, constituindo a
ligação entre o(s) dado(s) e o
que se pede.
Depois de entender perfeitamente o
problema, inicia-se a fase seguinte, que é
a da construção de uma estratégia de
solução.
As estratégias usadas na resolução de
problemas são chamadas heurísticas.
Quando se estuda heurística, o nome de
referência é o do matemático húngaro
George Polya (1877-1985).
George Polya (1877-1985).
George Polya (1877-1985).
Identificamos, a seguir, algumas
das estratégias desenvolvidas por
Polya, para serem aplicadas na
resolução de problemas:
ANTES DE FAZER, TENTE
ENTENDER!
• Procure semelhanças com outros problemas
• Começar pelo fácil torna fácil o difícil
• Faça um desenho e, dependendo da situação,
pinte a figura.
• Modifique o enunciado, para ver se lhe ocorre
um caminho possível
• Explore a simetria
• Use um raciocínio por Redução ao Absurdo
• Suponha o problema resolvido
Problema 1
Escreve-se no quadro-negro os números inteiros de 1 a 100.
Dois jogadores disputam o seguinte jogo, em que jogam
alternadamente. Uma jogada consiste em apagar um dos
números escritos.
O jogo termina quando restam somente dois números no
quadro-negro. O primeiro jogador vence se a soma desses
dois números é divisível por 3; o segundo jogador ganha
caso contrário.
Quem vence: o primeiro ou o
Qual a estratégia usada para vencer?
segundo
jogador?
Problema 2
Qual é o maior número de ângulos agudos que
um polígono convexo pode ter?
Problema 2
A soma dos ângulos externos de um polígono
convexo de n lados é igual a 360o.
Portanto, no máximo três destes ângulos podem ser
obtusos, caso contrário a soma seria maior do que
360o.
Assim, o maior número de ângulos agudos em
qualquer polígono convexo é 3.
Problema 3
Tem-se quarenta e três pedaços de palitos, cujos
comprimentos são: 1, 2, 3, ... , 42, 43 centímetros,
respectivamente.
Diga, justificando, se é possível:
(a)Formar um quadrado usando todos estes pedaços
de palitos.
(b) Formar um retângulo usando todos estes
pedaços de palitos.
Problema 4
Determine o número que fica imediatamente acima
de 164 na disposição triangular seguinte:
1
5
10
11
2
3
6
7
12
4
8
13
9
15
16
...................................................
Problema 5
Numa escola, 100 crianças contam suas
economias. Elas verificam que o total de
cada uma é um número inteiro de reais e
que a quantia de todos varia de 1 e 100
reais, sendo que duas crianças quaisquer
não possuem a mesma quantia.
É possível dividir as crianças em dois
grupos, de modo que nenhuma criança de
qualquer um dos grupos tenha duas vezes a
quantidade de reais que outra do mesmo
grupo?
Problema 6
Um saco contém 12 bolas azuis, 9
vermelhas, 8 verdes e 6 amarelas.
As bolas são todas idênticas, a menos da
cor.
Quantas delas temos de retirar do saco,
aleatoriamente, para que tenhamos certeza
de que:
No mínimo 5 bolas têm a mesma cor?
No mínimo 3 são verdes?
No mínimo uma de cada cor?
Problema 7
3
5
Escreva um número em cada círculo da fila acima,
de modo que a soma de três números quaisquer
vizinhos (consecutivos) seja 12.
PROBLEMA 8
Considere um tabuleiro de xadrez
(8 x 8) e 32 dominós de
dimensão 2 x 1.
Os dominós podem ser arranjados
sobre o tabuleiro de modo a
cobri-lo inteiramente, cada
dominó cobrindo dois quadrados.
Dois quadrados situados nos
cantos do tabuleiro são retirados,
veja Figura abaixo.
Diga, justificando, se 31
dominós cobrem
completamente o tabuleiro
reduzido.
Problema 9
Dois amigos se divertem com o seguinte jogo.
O primeiro jogador escreve no quadro-negro um
inteiro de 1 a 8 inclusive.
O segundo jogador escolhe um número qualquer de
1 a 8 inclusive, e escreve no quadro-negro a soma
do número escolhido com o número que está no
quadro-negro.
A seguir, o primeiro jogador escolhe um número de
1 a 8 inclusive e soma este número ao último
número no quadro, e assim eles vão jogando,
alternadamente, até que um deles obtenha o número
46, vencendo o jogo.
Quem vence o jogo? Qual é a estratégia para vencer?
PROBLEMA 10
É muito popular um jogo de palitos para
duas pessoas, que jogam
alternadamente. Colocam-se 20 palitos
sobre uma mesa.
Uma jogada consiste na retirada de 1, 2
ou 3 palitos.
O jogador que retirar o última palito
perde.
Qual é a estratégia para vencer o jogo?
PROBLEMA 11
Os números de 1 até 20 são escritos em linha,
numa folha de papel, deixando-se um pequeno
espaço entre dois qualquer deles.
Dois jogadores iniciam o jogo e jogam
alternadamente.
Uma jogada consiste em colocar um sinal + ou entre dois desses números. Quando todos os
sinais são colocados o resultado da expressão é
calculado.
O primeiro jogador ganha se o resultado é par, e
o segundo ganha se o resultado é ímpar.
Quem ganhará e qual a sua estratégia para
vencer?
PROBLEMA 12
Imagine que você tenha uma xícara de
café e uma xícara de leite, com iguais
quantidades de líquidos em cada xícara.
Uma colher de leite é transferida da xícara
de leite para a de café e misturada, e
então uma colher da mistura é colocada
na xícara de leite, de forma que no final a
quantidade de líquido das duas xícaras
permanece a mesma.
Tem mais leite na xícara de café ou mais
café na xícara de leite?
PROBLEMA 13
Uma pessoa tem 10 sacos de moedas, e
cada saco tem 10 moedas.
Num dos sacos só há falsas e nos
outros só há moedas verdadeiras.
As falsas pesam 9 gramas e as
verdadeiras 10 gramas.
Apenas com uma pesagem, como
descobrir qual o saco das moedas
falsas?
Problema 14
Temos dez sacos, cada um deles com muitas
moedas.
Alguns sacos, mas não sabemos quantos nem
quais, estão cheios de moedas falsas.
As moedas verdadeiras pesam dez gramas,
enquanto as falsas pesam nove.
Com uma só pesagem, é possível identificar
todos os sacos que têm moedas falsas?
Problema 15
Peça a um seu amigo, que escreva numa folha de papel um
número qualquer de três dígitos distintos, e que faça o
seguinte :
inverta a ordem dos dígitos do número escrito,
diminua o maior do menor,
inverta a ordem dos dígitos do resto ,
some os dois últimos números obtidos.
Em seguida, sem você conhecer o resultado obtido pelo seu
amigo, você pede a ele para:
(i) abrir um livro na página correspondente aos dois
últimos dígitos do número final por ele obtido
(ii) ler, em voz baixa, a linha, contado de cima para baixo,
correspondente aos dois primeiros dígitos obtidos.
(iii) fechar o livro e entregar a você.
Você, então, abre o livro e lê em voz alta a linha que o seu
amigo leu.
Como pode fazer isso ?