Topografia
FACULDADE CEAP
 ARQUITETURA E URBANISMO
 4 ARQ V/N
 PROFº: REGINALDO SANTOS
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02 - REVISÃO MATEMÁTICA
 2.1 - UNIDADES DE MEDIDA
 2.1.1 - MEDIDA DE COMPRIMENTO (METRO)
 A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia
de Ciências de Paris o definiu como unidade padrão de
comprimento. Sua dimensão era representada por
1/10.000.000 de um arco de meridiano da Terra.
 Em 1983, a Conferência Geral de Pesos e Medidas
estabeleceu a definição atual do “metro” como a distância
percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo
de 1/299.792.458 s.
 O metro é uma unidade básica para a representação de
medidas de comprimento no sistema internacional (SI).
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2.1.2 - Medida Angular (Sexagesimal, Centesimal e Radianos)
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2.1.2.1 - RADIANO
Um radiano é o ângulo central que subentende um arco de
circunferência de comprimento igual ao raio da mesma. É
uma unidade suplementar do SI para ângulos planos.
2πR — 360º arco = R = raio
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Figura 2.1 - Representação de um arco de ângulo.
2.1.2.4 EXERCÍCIOS:
 1) Transformação de ângulos:
 Transforme os seguintes ângulos em graus, minutos e segundos
para graus e frações
 decimais de grau.
 a) 32º 28’ 59” = 32 = 32, 48305556º
 b) 17º 34’ 18,3” = 17 = 17,57175º
 c) 125º 59’ 57” = 125 = 125,9991667º
Obs: transforma os minutos em segundos e divide por 3600
Inv. Multiplica por 3600 e divide por 60, o resto multiplica p 60
 2) Soma e subtração de ângulos:
 30º20’ + 20º 52’ = 51º12’
 28º41’ + 39°39’ = 68°20’
 42º30’ – 20°40’ = 21°50’
 40°21’15”- 20°41’30” =
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2.2 - REVISÃO DE TRIGONOMETRIA PLANA
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A trigonometria teve origem na Grécia, em virtude dos estudos das
relações métricas entre os lados e os ângulos de um triângulo,
provavelmente com o objetivo de resolver problemas de navegação,
Agrimensura e Astronomia.
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2.2.1 - RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a
180°. A partir da figura 2.2 podem ser estabelecidas as
seguintes relações:
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2.2.2 - TEOREMA DE PITÁGORAS
“O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados dos comprimentos dos catetos.”
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a2 = b2 + c2
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2.3 - EXERCÍCIOS
1) No triângulo abaixo, determinar as relações solicitadas.
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2) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na
outra margem segundo um ângulo de 56º 00’00”. Afastando-se de
20,00 m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo
de 35º 00’00”. Calcule a largura do rio (CEFET, 1984). 17,95m
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2.4 - RELAÇÕES MÉTRICAS COM O TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Para um triângulo retângulo ABC pode-se estabelecer algumas relações
entre as medidas de seus elementos:
Onde:
b, c: catetos; a: hipotenusa;
h: altura relativa à hipotenusa;
m, n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
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As seguintes relações métricas podem ser definidas:
a) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa
pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
b2 = a . n
c2 = a . m
b) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela
altura relativa à hipotenusa.
b .c = a .h
c) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos
catetos sobre a hipotenusa.
h2 = m . n
d) O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos
catetos.
a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras)
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2.6 - TRIÂNGULO QUALQUER
2.6.1 - LEI DOS SENOS
“Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno
do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da
circunferência circunscrita”.
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2.6.2 - LEI DOS COSSENOS
“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à
soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do
produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles
formam”.
a2 = b2 + c2 – 2.b.c. cos A