A RELAÇÃO DE PITÁGORAS: UMA GRANDE DESCOBERTA ENVOLVENDO
ÁREAS
Edna Cristina Ferreira1
Nelson Roberto Cardoso de Oliveira2
Resumo: A Metodologia de Resolução de Problemas tem sido tema de grande interesse e
de estudos no campo da Educação Matemática. Um dos objetivos dessa metodologia é que
os alunos possam ser autores do seu conhecimento e aprendizado através do
desenvolvimento de atividades nas quais possam utilizar suas próprias estratégias,
argumentando e se apropriando das situações-problema apresentadas. O objetivo desse
relato é apresentar as atividades desenvolvidas em um Minicurso intitulado A Relação de
Pitágoras: uma grande descoberta envolvendo áreas, oferecido a professores e futuros
professores de Matemática dos Ensinos Fundamental e Médio. Foi elaborado a partir de
um problema inicial, extraído do livro didático de Dante (2008). Posteriormente, o
problema foi explorado de tal forma que pudesse ser contemplado, isto é, oferecer aos
alunos subsídios teóricos e práticos para a tão conhecida Relação de Pitágoras. O objetivo
principal do Minicurso foi proporcionar uma experiência de ensino dentro do processo de
Resolução de Problemas que se destaca na forma de abordagem dos conteúdos, buscando a
partir de situações-problema evidenciar conceitos, definições e promover discussões
lógicas da importância de cada conteúdo.
Palavras-chave: Educação Matemática; Resolução de Problemas; Construção; Áreas; Relação
de Pitágoras.
INTRODUÇÃO
Dentro do movimento da Educação Matemática, a Metodologia de Resolução de
Problemas tem sido tema de grande interesse e de estudos, tendo apresentado bons
resultados quando utilizada em sala de aula. Um dos objetivos dessa metodologia é tornar
os alunos autores do seu conhecimento e aprendizado através de atividades, nas quais
possam utilizar suas próprias estratégias, argumentando e se apropriando das situações
problema apresentadas. Esses problemas devem ser inéditos, ou seja, os alunos não devem,
como argumenta Polya:
1
Mestranda em Ensino de Ciências e Matemática - UEPB; Especialista em Ensino Básico de Matemática UEPB. Professora de Matemática da Rede Pública do Estado da Paraíba. [email protected].
2
Mestrando em Ensino de Ciências e Matemática – UEPB; Especialista em Educação Básica – UEPB. Graduado
em Licenciatura Plena em Matemática – UEPB. Professor de Matemática da Rede Publica de Ensino do Estado
da Paraí[email protected]
possuir de imediato, fórmulas ou estratégias prontas para sua resolução.
Resolver um problema é encontrar os meios desconhecidos para um fim
nitidamente imaginado. Se o fim por si só não sugere de imediato os
meios, se por isso temos de procurá-los refletindo conscientemente sobre
como alcançar o fim, temos de resolver um problema. (POLYA, p. 1.
1997)
Adotar a resolução de problemas como uma metodologia de ensino da Matemática,
é entendê-la como um ponto de partida para o desenvolvimento dos conceitos
matemáticos. Gazire (1988, p.124, apud NUNES & SOUSA, 2006) apresenta a principal
característica dessa perspectiva:, “se todo conteúdo a ser aprendido for iniciado numa
situação de aprendizagem, através de um problema desafio, ocorrerá uma construção
interiorizada do conhecimento a ser adquirido”. Nessa perspectiva, a resolução de
problemas é o meio, a mola- mestre de todo o ensino da matemática e não apenas uma das
atividades desenvolvidas pelo professor esporadicamente. A Matemática não é possível de
ser produzida, mais sim descoberta, dessa forma o papel do matemático não é apenas criar
e inventar, mas descobrir as verdades matemáticas que já existem, porém não são ainda
conhecidas. Pensamos que os alunos só conseguem resolver problemas se já conhecem e se
já viram resolvidos em algum livro e que podem tomar como modelo. Conforme Vygotsky
(2008), a inter-relação entre os conceitos científicos e os conceitos espontâneos é um caso
especial de um assunto muito mais vasto: a relação entre a instrução escolar e o
desenvolvimento mental da criança.
Polya (1945) foi um dos primeiros matemáticos a escrever sobre o que é resolver
um problema. Ter claro a concepção de problema é um primeiro passo para o professor
compreender os resultados dos alunos, comumente, os problemas são trabalhados como
algo que não gera dúvidas, não exige tentativas ou elaboração de estratégias. Segundo
Polya (1957), um problema é uma questão para qual o aluno não dispõe de um método que
permita a sua resolução, enquanto um exercício é uma questão que pode ser resolvida
usando um método já conhecido. Os exercícios e os problemas têm uma coisa em comum,
ou seja, em ambos os casos o seu enunciado indica claramente o que é dado e o que é
pedido. Ainda segundo Polya, do ponto de vista do contexto de produção, podemos dizer
que “problemas” são formulações em geral de estilo narrativo, com informações e dados
que precisam ser analisados e selecionados e com uma ou algumas perguntas a serem
respondidas pela utilização de algum tipo de conhecimento. Nos problemas, a resolução
em sala de aula envolve um caminho não direto para solução, contém certos tipos de
relações. Nos exercícios, a resolução pode ser feita de forma direta, por exemplo, com o
uso de algoritmos/fórmulas ou uma informação direta (que pode incluir memorização de
conceitos/conteúdos).
Conforme Vygotsky (2008, p. 88), “há outra característica muito interessante do
pensamento primitivo, que nos mostra o pensamento por complexos em ação e salienta as
diferenças entre pseudoconceitos e os conceitos”. Assim, o fundamental é que o resolvedor
tenha de inventar estratégias e criar idéias, ou seja, pode até ocorrer que ele conheça o
objetivo a chegar, mas só estará enfrentando um problema se ele ainda não tem os meios
para atingir tal objetivo.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais podemos destacar que para resolver um
problema pressupõe que o aluno: “Elabore um ou vários procedimentos de resolução (como
realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses); compare seus resultados com os de outros
alunos; valide seus procedimentos.” (PCNEF, 1999, P. 41). Dessa forma, é necessário
desenvolver habilidades que permitam provar resultados, testar seus efeitos, comparar
diferentes caminhos para obter uma solução. Nessa forma de trabalho, a importância da
resposta correta cede lugar a importância da resolução.
De acordo com Vygotsky (2008, p. 71), “o problema é apresentado ao sujeito logo
de início e permanece o mesmo até o final, mas as chaves para a sua solução são
introduzidas passo a passo”. O fato do aluno ser estimulado a questionar sua própria
resposta, a questionar o problema proposto, a transformar um dado problema numa fonte
de novos problemas, a formular hipóteses e partir de determinadas informações, a analisar
problemas abertos, evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem que não se dá pela
mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida
que constrói
conhecimentos. Assim, Polya apresenta quatro etapas de resolução de problemas: a
primeira etapa é a compreensão do problema, isto é, o primeiro passo é entender o
problema, é importante fazer perguntas. A segunda etapa é a construção de uma estratégia
de resolução, isto é, encontrar conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja
conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares caso uma conexão não seja
encontrada em tempo razoável. A terceira etapa é executando a estratégia, freqüentemente,
esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo, a maioria dos
principiantes tende a pular esta etapa prematuramente e acabam se dando mal. A quarta
etapa: revisando a solução, deve examinar a solução obtida, verificando os resultados e os
argumentos utilizados.
Dante (2000) afirma que a capacidade e a habilidade de resolver problemas se
desenvolvem ao longo do tempo, como resultado de um ensino prolongado, de várias
oportunidades para resolução de muitos tipos de problemas e de confronto com situações
do mundo real. Nesta direção, a resolução de problemas assume o papel de instrumento de
contextualização, a partir do momento em que propõe situações que exigem uma solução
matemática e que direcionam para o questionamento, a pesquisa e a inserção das operações
dentro de um contexto. Portanto, a opção por trabalhar em grupo, na maioria das vezes,
teve como intenção propiciar este ambiente e permitir que os alunos tivessem contato com
os diferentes caminhos utilizados, pelos colegas, para a solução do problema.
O TEOREMA DE PITÁGORAS: CONCEPÇÕES E POSSIBILIDADES
Para alguns autores nenhuma outra proposição teve, em toda Matemática, uma
história tão preeminente. Mas tudo em Geometria e, subseqüentemente, em Física,
derivou-se dessa proposição por generalizações sucessivas. A mais recente dessas
generalizações é a teoria da relatividade generalizada (RUSSEL, 1981). O Teorema de
Pitágoras é, de fato, uma proposição de importância crucial na Matemática e merece todo
destaque que a ele se possa. Ainda de acordo com Vygotsky (2008) é necessário haver um
confronto entre o sujeito com a tarefa para propiciar o processo de formação de conceitos
em todas as suas fases dinâmicas.
O objetivo desse relato é apresentar atividades desenvolvidas em um Minicurso
intitulado A Relação de Pitágoras: uma grande descoberta envolvendo área oferecido a
professores e futuros professores de Matemática dos Ensinos Fundamental e Médio.
O MINICURSO - PROPOSTA E DISCUSSÕES
O referido Minicurso fez parte de um trabalho final de uma disciplina de Mestrado.
Inicialmente seria oferecido apenas para os colegas da disciplna, contudo foi levantada a
idéia de permitir a participação do público em geral – alunos da Graduação e de outros
cursos como Especialização, além de professores da rede pública e particular de ensino.
Formamos equipes de dois discentes e cada equipe escolheu um tema livremente que
deveria ser abordado dentro da perspectiva de resolução de problemas. Os Minicursos
(total de quatro) foram realizados no dia 13 de julho de 2010, com duração de 2 horas
cada. O nosso Minicurso foi elaborado a partir de um problema inicial, extraído do livro
didático de Dante (2008). Posteriormente, o problema foi explorado de tal forma que o
objetivo pudesse ser contemplado: oferecer aos participantes subsídios teóricos e práticos
para a tão conhecida Relação de Pitágoras via resolução de problemas. Para que
professores e futuros professores pudessem contribuir para o ensino desse tópico em sala
de aula. A seguir apresentamos o problema inicial e algumas discussões levantadas:
1° MOMENTO
As atividades de Resolução de Problemas precisam dar conta de todas as etapas do
processo, ao mesmo tempo em que proporcionam a mediação do professor e o
envolvimento dos alunos. Tais características tornam a elaboração das atividades numa
tarefa nada trivial, algo que não cabe em, por exemplo, um receituário, haja vista tantas
especificidades que incluem. Conforme Vygotsky (2008, p 104), “um conceito é mais do
que a soma de certas conexões associativas formadas pela memória, é mais do que um
simples hábito mental”. Para o autor, o conceito é um ato real e complexo do pensamento
que não pode ser ensinado por meio de treinamento, mas alerta para o desenvolvimento
mental da criança já tiver atingindo o nível mental necessário.
No entanto, o desenvolvimento dos conceitos, ou dos significados, exige, de acordo
com Vygotsky (2008 p. 104), “muitas funções intelectuais, tais como: atenção deliberada,
memória lógica, abstração, capacidade para comparar e diferenciar”. Sabemos que, de
acordo com Vygotsky (2008, p. 72), “o sujeito é induzido a utilizar os novos termos ao
falar sobre outros objetos e a definir o seu significado de uma forma generalizada”. Sendo
assim, a partir do material concreto e prático para a sala de aula, é possível organizar-se
algumas diretrizes acerca da elaboração dessas atividades, usando a idéia de área e
construção via manipulação de material concreto, chega a Relação de Pitágoras. A seguir,
apresentamos Problema Inicial (Quadro I):
Resolver a situação problema abaixo, aplicando a Relação de Pitágoras.
Problema Inicial: Um canteiro que tem a forma triangular e um ângulo reto vai ser cercado de tijolos. Nessas condições responda:
•
Qual é o valor de x?
•
Qual é o perímetro do canteiro?
•
Suponha que uma lajota tenha em média 19 cm de comprimento por 18 cm de altura, determine a quantidade de tijolos
necessários para contornar todo o jardim a uma altura de 1 metro. Despreze a distância entre cada um dos tijolos.
Quadro I: Roteiro do aluno
Fonte: Elaborado pelos autores
A partir de uma perspectiva histórica e reflexiva da sala de aula trabalhamos com
textos históricos e aplicativos. Utilizamos slides e filme de relevância ao estudo de
Pitágoras, além de suas utilidades e aplicações no cotidiano, desde inúmeras
aplicabilidades nas atividades humanas. Posteriormente, foram feitas discussões com
intervenções sobre a prática assim como as dificuldades que permeiam na sala de aula. A
seguir, apresentamos Roteiro do Aluno (Figura II) e algumas etapas descritas para
resolução do Problema Inicial.
2° MOMENTO
Roteiro do Aluno
1. Construa em folha de papel sulfite um triângulo retângulo qualquer (dois lados menores b e c e do lado maior por a).Sugestão: Consideremos o
lado b como sendo a região média;
2. Indique as medidas dos dois lados menores por b e c e a do lado maior por a;
3. Construa três regiões quadradas (uma de lado medindo a, outra de lado medindo b e outra de lado c);
4. Pinte a região quadrada de lados a, b e c de cores diferentes;
5. A partir do ponto médio do quadrado do lado b, construa e recorte 4 triângulos
6. Faça recortes e colagem com essas figuras de modo que a região pintada (área a2) seja totalmente coberta pelas regiões (área b2 e c2);
7. Sobreponha os 4 triângulos sobre o quadrado de lado a2.
8. Anotar as conclusões feitas por meio das áreas.
Quadro II: Roteiro do aluno
Fonte: Elaborado pelos autores
A partir do material concreto e prático para a sala de aula foi possível organizar-se
algumas diretrizes a cerca da elaboração dessas atividades. Usando a idéia de área e
construção, via manipulação de material concreto, chegamos a Relação de Pitágoras
seguindo algumas etapas: Partirmos de uma situação problema levando os alunos e
professores compreenderem a necessidade de adquirir o conhecimento temático. Foram
realizadas construções em folha de papel sulfite um triângulo retângulo qualquer (dois
lados menores b e c e do lado maior por a); de três regiões quadradas (uma de lado
medindo a, outra de lado medindo b e outra de lado c) e pintaram a região quadrada de
lados a, b e c de cores diferentes. Fizeram recortes e colagem com essas figuras de modo
que a região pintada (área a2) fosse totalmente coberta pelas regiões (área b2 e c2).
Anotaram as conclusões feitas por meio das áreas.Verificaram a veracidade da conclusão, a
partir de outros triângulos (obtusângulo ou acutângulo), completando a tabela de
observações. Finalmente foram feitas conjecturas das atividades propostas.
REFERÊNCIAS
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. 3. ed. São Paulo: Àtica, 2008. (8ª ano).
MODERNA (Org.). Projeto Araribá: matemática. São Paulo: Moderna, 2006 (7ª serie).
NUNES, Célia Barros. SOUZA, Analucia C. P. de. A Resolução de problemas como
metodologia de ensino-aprendizagem - avaliação de Matemática em sala de aula.
Disponivel em: www.sbem.com.br/files/ix_enem/.../MC65873300534T.doc. Arquivo
consultado em 10 de maio de 2010 às 14:00.
PCNS, Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática / Secretária de Educação
Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.
PIRES, C. M. C.; MANSUTTI, M. A. Idéias matemáticas: a construção a partir do
cotidiano. In: CENPEC. Oficinas de matemática e de leitura e escrita: escola
comprometida com a qualidade. 3. ed. São Paulo: Summus, 2002. p. 103-154.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução e adaptação Heitor Lisboa de
Araújo. Rio de Janeiro: interciência, 1995.
POLYA , George. Sobre a resolução de problemas de matemática na high school. In:
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SMOLE, K; DINIZ, M. Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre: Artmed, 2001.
SEMENOVITCH, L.V. Pensamento e Linguagem. Tradução Jefferson Luiz Camargo.
3.ed. São Paulo: Martins Fontes,2005.
VYGOTSKY, L.S. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 2008 a.
VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente. São Paulo: Martins Fontes, 2008 b.