Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
2a Prova de Cálculo III - MAA- 2009/02
1a Questão: (2,0 pontos)
³ 3´
R
Determine o valor da integral dupla D sen πy
16 dA, onde D é a região do plano xy limitada
√
pelas retas x = 0, x = 4, y = 2, e pela curva y = x.
2a Questão: (1,0 ponto)
Determine uma parametrização para a superfı́cie de revolução obtida girando-se a curva z = ey ,
0 ≤ y ≤ 1, em torno do eixo y.
3a Questão: (2,0 pontos)
R p
Calcule o valor da integral tripla Ω x2 + y 2 + z 2 dV , utilizando uma mudança de variáveis
conveniente, sendo Ω = {(x, y, z) ∈ IR3 ; z ≥ 0 ; x2 + y 2 + z 2 ≤ 16 ; x2 + y 2 + z 2 ≥ 4z}.
4a Questão: (2,5 pontos)
2
2
Seja F~ (x, y) = (y 2 − 3y − 2xey sen (x2 ), 2xy + 2yey cos (x2 )) e considere a curva C = C1 ∪ C2 ,
√
2
2
y
onde C1 é a porção da elipse xπ + 4π
= 1, situada no primeiro quadrante, ligando P1 ( π, 0) a
√
√
P2 (0, 2 π) e C2 é o segmento de reta ligando P2 (0, 2 π) a P3 (0, 0).
(a) Determine o trabalho realizado por F~ para mover um objeto ao longo de C, do ponto P1 até
o ponto P3 .
(b) O campo F~ é conservativo em alguma região de IR2 ?
5a Questão: (2,5 pontos)
Seja S a porção do parabolóide y = x2 + z 2 , limitada pelos planos y = 0 e y + 2z = 3.
R
dS
(a) Determine o valor da integral de superfı́cie escalar S √1+4x
.
2 +4z 2
(b) Determine o fluxo do campo F~ (x, y, z) = (−yz, 0, xy), para fora de S.
LEMBRETES:
1−cos (2α)
2
π
sen ( 6 ) = cos ( π3 ) = 12
área circ=πr2
cos2 α =
área elipse= πa b
área esf=4π r2
área cilindro= 2π r h
vol esfera= 43 π r3
vol cilindro= π r2 h
sen 2 α =
sen ( π4 )
1+cos (2α)
2
√
= cos ( π4 ) = 22
sen ( π3 ) = cos ( π6 ) =
√
3
2