MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL
Avaliação 2 - MA13 - 2015.2
Questão 01
[ 2,00 pts ]
Considere um cilindro sólido de altura 2R, cujas bases são dois cı́rculos de raio R, do qual são retirados dois cones
sólidos de altura R e que têm por base as bases do cilindro, formando-se assim um sólido S. Considere ainda uma
esfera de raio R, e que, assim como o sólido S, está sobre um plano.
(a) Prove que, intersectando a esfera e o sólido S por um plano paralelo ao plano que apoia estes sólidos, como na
figura, obtém-se seções com mesma área.
(b) Supondo conhecidas as expressões do volume do cone e do cilindro, prove que o volume de uma esfera de raio
4
R é dado por πR3 .
3
Questão 02
[ 2,00 pts ]
Em um tetraedro ABCD, AB = x, CD = y e as demais arestas medem z. Determine a distância entre as arestas
AB e CD em função de x, y e z.
Questão 03
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BE
1 CF
1
= e
= . Os segmentos
BC
3 BC
4
AF e ED intersectam-se em P . Determine a que fração da área do quadrado ABCD corresponde a área do triângulo
Sobre o lado BC de um quadrado ABCD marcam-se os pontos E e F tais que
BP E.
Questão 04
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Um poliedro convexo com 32 vértices possui apenas faces triangulares. Determine o número de arestas e faces deste
poliedro.
Questão 05
[ 2,00 pts ]
(a) Usando apenas a identidade fundamental da trigonometria e as fórmulas de arcos duplos prove que: cos(2x) =
2 cos2 (x) − 1, para todo x real.
(b) Sabendo que cos x2 = 13 , calcule cos(x).