COLÉGIO DE NOSSA SENHORA DA BOAVISTA
Prova Modelo de Matemática
11º ano de escolaridade
Exercícios retirados de Exames Nacionais
Novembro de 2007
_____________________________________________________________________________________
Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o
grupo I.
GRUPO I
•
•
•
•
•
•
As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.
Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para questão.
Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
Não apresente cálculos.
Cada resposta certa será cotada com + 9 pontos; cada resposta errada será cotada com zero pontos; cada questão não
respondida ou anulada será cotada com zero pontos.
1. Dadas as seguintes afirmações:
1ª - ∀α ∈ 2º Q : cos α . tg α < 0
2ª - ∀α ∈ 3º Q : cos α . sen α > 0
(A) a 1ª é verdadeira e a 2ª é falsa;
(B) a 1ª é falsa e a 2ª é verdadeira;
(C) ambas são verdadeiras;
(D) ambas são falsas.
3
, então podemos concluir que:
3
(A) sen α = 3 ∧ cos α = 3
2. Se tg α =
(C) α =
π
6
(B) α ∈ 1º Q
(D) α ∈ 2º Q
+ kπ , k ∈ Z
3. Considere, no universo das amplitudes, a seguinte função: f ( x ) =
senx
.
2 cos 2 x − 1
O domínio de f é:
⎧
⎩
⎧
(C) ⎨ x ∈ ℜ : x ≠
⎩
(A) ⎨ x ∈ ℜ : x ≠
π
⎫
+ kπ , k ∈ Z ⎬
4
⎭
π
4
+ 2kπ ∧ x ≠ −
⎧
⎩
⎧
(D) ⎨ x ∈ ℜ : x ≠
⎩
(B) ⎨ x ∈ ℜ : x ≠
π
⎫
+ 2kπ , k ∈ Z ⎬
4
⎭
π
kπ
⎫
, k ∈ Z⎬
4
2
⎭
π
⎫
+ 2kπ , k ∈ Z ⎬
4
⎭
+
4. Na figura está a representação gráfica da função f ,
definida no intervalo [ 0, 2π ] , por f ( x ) = cos x .
⎛ 7π ⎞
⎟
⎝ 12 ⎠
Tem-se f (k ) = f ⎜
Qual é o valor de k ?
(A)
11π
12
(B)
14 π
12
C)
17 π
12
(D)
19 π
12
1/3
5. Indique qual das seguintes figuras pode ser parte da representação gráfica da função definida por
1
s(x ) =
.
sen x
(A)
(B)
(C)
(D)
6. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma recta r . Um ponto P começa a
deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura. Inicialmente, o ponto P encontra-se á
distância de 2 unidades de recta r .
Seja d (α ) a distância de P a r , após uma rotação de amplitude α .
Qual da igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo α .
(A) d (α ) = 1 + cos α
(B) d (α ) = 2 + senα
(C) d (α ) = 1 − cos α
(D) d (α ) = 2 − senα
7. [ABC ] é um triângulo equilátero. Sabe-se que AB . AC = 8.
O perímetro do triângulo é:
(A) 6
(B) 9
(C) 12
(D) 15
GRUPO II
Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicado os cálculos que tiver de efectuar
e todas as justificações necessárias.
G
G G 5
π determine b , sem recorrer à calculadora, .
6
G
G G
G
G
2. Determine a . b sabendo que a = 2 e b = 3 a .
G
G G
1. Sabendo que a = 5 , a . b = -10 e a ˆ b =
G
G
G G
G G
3. Considerando os vectores u (2,-1) e v (1,3), determine cos ( u ˆ v ) e u ˆ v .
2/3
G
G
4. Determine m de modo que u (2,m) seja perpendicular a v (3,2).
5. Considere a função definida por h ( x ) = sen x . tg x .
5.1. Determine, no sistema circular, uma expressão geral dos zeros.
5.2. Determine as soluções da equação h ( x ) = 0 no intervalo [− π , 0 ] .
⎛5 ⎞
⎝4 ⎠
⎛ 17 ⎞
π⎟.
⎝ 3 ⎠
5.3. Calcule 4 h⎜ π ⎟ + 2 h⎜
6. Sabendo que o cos α = −
π⎡
2
⎤
e α ∈ ⎥ − π , ⎢, determine o valor exacto de
2⎣
3
⎦
⎛ 3π
⎞
cos ⎜ − α ⎟ + cos ( − π − α ) .
⎝ 2
⎠
7. A figura representa uma circunferência de centro O e raio r na qual está inscrito um triângulo, sendo α
um dos seus ângulos agudos.
Mostre que a área da região sombreada é dada por
⎤ π⎡
A (α ) = r 2 ( π − 2sen α cos α ); α ∈ ⎥ 0, ⎢ .
⎦ 2⎣
Suponha que r =1 . Recorra à calculadora e à alínea anterior para determinar α de
modo que a área do triângulo seja máxima. Apresente o valor de α arredondado às centésimas. Explique
como procedeu, indicando o gráfico (s) obtido (s) na calculadora.
8. No presente ano civil, em Lisboa, o tempo que decorre
entre o nascer e o pôr-do-sol, no dia de ordem n do ano, é
dado em horas, aproximadamente, por:
f (n ) = 12,2 + 2,64 sen
π (n − 81)
183
, n ∈ {1, 2, 3, ..., 366}
(o argumento da função seno está expresso em radianos).
Por exemplo: no dia 3 de Fevereiro, trigésimo quarto dia
do ano, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr-do-sol
foi de f (34 ) ≈ 10,3 horas.
8.1. No dia 24 de Março, Dia Nacional do Estudante, o Sol
nasceu às seis e meia da manhã. Em que instante ocorreu o pôr-do-sol? Apresente o resultado em horas e
minutos (minutos arredondados às unidades).
Notas:
ƒ
ƒ
Recorde que, no presente ano, o mês de Fevereiro teve 28 dias.
Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas
decimais.
8.2. Utilizando a calculadora gráfica determine em quantos dias do ano é que o tempo que decorre entre o
nascer e o pôr-do-sol é de 14,7 horas.
Faça um esboço de um ou mais gráficos com as coordenadas dos respectivos pontos que se devem
considerar, arredondados a uma casa decimal.
Professor: Carlos Manuel Lourenço
3/3