LEIC - FEUP 2001/2002
Diagonalização - 1
Diagonalização
D-1 Determine os valores próprios de
1
0
A
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1 3 3
e
B
1 3 3
2 1 6
1
As matrizes são diagonalizáveis? Justifique convenientemente.
D-2 Calcule os valores próprios e os vectores próprios das matrizes
3
A
1
1
e
1
B
1
2
1
1
considerando que elas estão definidas sobre:
a) o corpo dos números reais;
b) o corpo dos números complexos.
D-3 Seja A
4 0
0 1
2
0
.
5 1 3
a) Determine os seus valores próprios e subespaços próprios.
b) Analise as condições de diagonalizabilidade da matriz.
c) Caso conclua pela não possibilidade de diagonalização, verifique se é possível
determinar uma matriz triangular superior que seja semelhante à matriz dada.
3 0 3
D-4 A matriz A
tem valores próprios 1, 1, 3.
0 1 0
0 0 1
a) A matriz é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
b) Determine uma matriz triangular inferior semelhante à matriz A.
D-5 Sabe-se que os valores e vectores próprios de uma transformação linear T são
1
1
1
1 , respectivamente,
1, 2 0, 3 1, w 1
1 , w2
0 , w3
1
0
1
2
estando os vectores próprios expressos na base canónica.
a) Qual é a representação da transformação T na base constituída pelos vectores
próprios?
b) E na base canónica?
D-6 Seja T a transformação linear T : P 2 R P 2 R definida por T f x
f x xf x .
Determinar os valores próprios de T e uma base para T tal que T seja uma matriz
diagonal.
Álgebra
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D-7 Considere que a matriz A
Diagonalização - 2
a b
está definida sobre R. Encontre condições
c d
necessárias e suficientes em a, b, c e d de modo que A seja diagonalizável, isto é, possua dois
vectores próprios linearmente independentes. Repita o problema considerando que a matriz está
definida sobre C (a, b, c e d são números complexos).
D-8 Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n
os mesmos valores próprios.
n, não singulares. Mostre que AB e BA têm
D-9 Considere uma transformação linear T de R 3 em R 3 representada pela matriz
1 0 2
M
Verifique que W
x, 0, z
0 1 0
1 0 1
é um subespaço invariante sob T.
D-10 Considere uma transformação linear T de R 3 em R 3 representada pela matriz
1 1
A
1
0 2
4
0 0
3
a)Verifique que R 3 é a soma directa dos subespaços U, V e W com:
U {(x, 0, 0)}; V {(y, y, 0); W {(1.5z, 4z, z)}.
b) Verifique se R 3 é a soma directa invariante sob T dos subespaços U, V e W.
D-11 Considere a matriz sobre o corpo dos complexos que representa uma transformação linear
na base canónica
A
5
12
4
4
2
3 0
8
1
a) Calcule os valores próprios de A (reais e complexos).
b) Calcule os vectores próprios de A associados a valores próprios reais.
1
0
c) Considere os vectores v 1
e v2
1
1 . Verifique se são vectores
1
1
próprios da transformação e se o subespaço por eles definido é invariante sob a transformação.
D-12 Recorrendo ao teorema de Cayley-Hamilton, obtenha a matriz inversa de A,
2 0 0
A
0 1 0 , como combinação linear dela própria, do seu quadrado e da matriz
0 1 1
identidade (de ordem 3).
Álgebra
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Diagonalização - 3
D-13 Calcule a potência de grau 20 da matriz A A 20 recorrendo ao conceito de matrizes
semelhantes.
A
1 0
0
1 2
0
0 2
1
D-14 Classifique cada uma das afirmações seguintes como verdadeira ou falsa e escreva uma
justificação sucinta da resposta.
1. Todo o operador linear num espaço vectorial n-dimensional tem n valores próprios
distintos.
2. Se uma matriz real tem um vector próprio, então tem uma infinidade de vectores
próprios.
3. A soma de dois valores próprios de um operador linear T também é um valor próprio
de T.
4. Matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios.
5. Um operador linear num espaço vectorial n-dimensional com um número de valores
próprios distintos inferior a n não é diagonalizável.
6. Existe um operador linear T sem subespaços invariantes sob T.
7. Se T é um operador linear num espaço vectorial finito V e W é um subespaço de V
invariante sob T, então o polinómio característico de T w divide o polinómio característico de T.
Álgebra
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Diagonalização - 4
Soluções
D–1 a) A e B são diagonalizáveis
D–2 a) A: 1
2; v 1 k, k
k R; B: não tem valores próprios
2
b) A: 1
2;
v
k,
k
k
C;
2
1
1 1
B: 1
j; v 1 2
j k, k ;
j; v 2 12 12 j k, k
k C;
2
2
2
D–3 a) 1
1; v 1 5 k, 0, k
2; v 3 k, 0, k
k R;
2
3
b) não diagonalizável
c) sim
1 0 0
D–4 a) Sim
b)
1 0 0
ou
0 1 0
0 1 0
3 0 3
D–5 a) A
1 0 0
0 0 0
0 0 3
b) A 0 0 1
4
4
2
5
5
2
2
2
1
D–6 valores próprios 1, 2, 3;
base canónica de P 2 R
2
D–7 A M 2 2 R : a d 4cb 0 ou a d e b
A M 2 2 C : a d 2 4cb 0 ou a d e b
1
D–12 A 1
A 2 4A 5I
2 c
c
0
0
D–13 A
20
20
QD Q
1
com D
1 0
0
0 2
0
0 0
1
Álgebra
eQ
1 0 0
1 3 0
1 2 1