INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
8a LISTA DE PROBLEMAS E EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE
o
1 semestre 2006/07 - aulas práticas de 2006-12-11 e 2006-12-13
1. Considere os seguintes conjuntos de vectores. Diga quais os que são L. I. e geram R3 .
Em caso de não gerarem R3 , indique a dimensão do subespaço gerado.
(a) {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}
(c) {(1, 2, 4), (0, 0, 0), (−2, −4, −8)}
(e) {(3, 1, 4), (2, −3, 5), (5, −2, 9), (1, 4, −1)}
(b) {(2, 2, 2), (0, 0, 0), (0, 1, 1)}
(d) {(2, −1, 3), (4, 1, 2), (8, −1, 3)}
(f) {(1, 2, 6), (3, 4, 1), (4, 3, 1), (3, 3, 1)}
Resposta: apena o conjunto da alı́nea (d) é simultaneamente L.I. e gerador de R3 .
Os conjuntos das alı́neas (a), (b) e (e) são geradores de planos em R3 (subespaços
lineares de dimensão 2). O conjunto da alı́nea (c) gera uma recta em R3 (subespaço
linear de dimensão 1). O conjunto da alı́nea (f ) não é L.I. mas é gerador de R3 .
2. Sejam os vectores v1 = (2, 1, 0, 3), v2 = (3, −1, 5, 2) e v3 = (−1, 0, 2, 1). Quais dos
vectores seguintes pertencem à expansão linear L {v1 , v2 , v3 }?
(a) (2, 3, −7, 3)
(b) (0, 0, 0, 0)
(c) (1, 1, 1, 1)
(d) (−4, 6, −13, 4)
Resposta: os vectores das alı́neas (a), (b) e (d) pertencem à expansão linear L {v1 , v2 , v3 }.
3. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos constituem bases:
I. de R2 :
a)
b)
c)
d)
e)
S1
S2
S3
S4
S5
= {(2, 1), (3, 0)}
= {(4, 1)}
= {(0, 0), (2, 6)}
= {(3, 9), (−4, −12)}
= {(1, 0), (0, −1), (−1, 1)}
Resposta: apenas o conjunto da alı́nea (a) constitui uma base de R2 .
II. de R3 :
a)
b)
c)
d)
e)
S1
S2
S3
S4
S5
= {(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)}
= {(2, 2, 0), (3, 3, 3)}
= {(3, 1, −4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)}
= {(3, 1, −4), (2, 5, 6), (1, 4, 8), (3, 3, 3)}
= {(1, 6, 4), (2, 4, −1), (−1, 2, 5)}
Resposta: apenas os conjuntos das alı́neas (a) e (c) constituem bases de R3 .
III. de R4 :
a) S1 = {(1, 0, 0, 0), (2, 2, 0, 0), (3, 3, 3, 0), (4, 4, 4, 4)}
b) S2 = {(1, 0, 0, 0), (2, 2, 0, 0), (3, 3, 3, 0)}
c) S3 = {(3, 1, −4, 1), (6, 5, −3, −1), (1, 1, −2, 4), (−3, 2, 9, 0)}
Resposta: os conjuntos das alı́neas (a) e (c) constituem bases de R4 .
4. Acrescente um vector da base canónica de R3 ao conjunto B = {v1 , v2 } de modo a
produzir uma base de R3 .
(a) v1 = (−1, 2, 3), v2 = (1, −2, −2).
(b) v1 = (1, −1, 0), v2 = (3, 1, −2).
Solução: (a) (1, 0, 0) ou (0, 1, 0); (b) (1, 0, 0), (0, 1, 0) ou (0, 0, 1)
5. Acrescente vectores da base canónica de R4 ao conjunto S = {v1 , v2 } de modo a
produzir uma base de R4 .
v1 = (1, −4, 2, −3) , v2 = (−3, 8, −4, 6)
Solução: o vector (1, 0, 0, 0) não serve, porque é combinação linear de v1 e v2 , mas os
vectores (0, 1, 0, 0) e (0, 0, 0, 1) da base canónica de R4 podem ser acrescentados.
6. Seja B = {v1 , v2 , v3 } uma base de W . Mostre que {u1 , u2 , u3 }, com u1 = v1 ,
u2 = v1 + v2 e u3 = v1 + v2 + v3 , é também uma base de W .
7. Seja W o espaço constituido pela expansão linear dos vectores u = (1, 0, 0, 0), v =
(2, 2, 0, 0) e w = (0, −2, 0, 0).
(a) Mostre que S = {u, v, w} não é uma base de W .
(b) Determine a dimensão e uma base de W .
Resposta: (a) S não constitui uma base de W porque é L.D. (apesar de gerar W ).
Temos, p. ex., w = 2u − v; (b) dim W = 2, uma base poderá ser o conjunto {u, v},
outra poderá ser dada por {u, w}.
8. Determine uma base para os seguintes subespaços de R3 .
a) O plano 3x − 2y + 5z = 0
b) O plano x − y = 0
c) A recta x = 2t, y = −t, z = 4t
d) Todos os vectores da forma (a, b, c), em que b = a + c
e) W = {(x, y, z) ∈ R3 : 3x − 2y + 5z = 0}
f) W = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y = 0}
g) W = {(x, y, z) ∈ R3 : x = −2y ∧ z = −4y}
Solução: (a) {(2, 3, 0), (−5, 0, 3)}; (b) {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}; (c) {(2, −1, 4)}; (d) {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)}
9. Determine uma base e indique a dimensão dos seguintes subespaços de R4 .
a) Todos os vectores da forma (a, b, c, 0)
b) Todos os vectores da forma (a, b, c, d), em que d = a + b e c = a − b
c) Todos os vectores da forma (a, b, c, d), em que a = b = c = d
d) W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : 3x − 2y + 5z − w = 0}
e) W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x − y + z − w = 0 ∧ −4y + z = 0 ∧ x − w = 0}
f) W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : −4y + w = 0 ∧ 2y − 12 w = 0}
Solução: (a) {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}; (b) {(1, −1, 2, 0), (1, 1, 0, 2)}; (c) {(1, 1, 1, 1)}
10. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos constituem bases
I. de M(2 × 2, R):
a) O conjunto das matrizes
"
3 6
3 −6
#
"
,
0 −1
−1 0
#
"
,
0 −8
−12 −4
#
"
,
1 0
−1 2
#
b) O conjunto das primeiras três matrizes
"
#
2 0
c) O conjunto formado pelas matrizes da alı́nea a) e a matriz
3 −1
Resposta: (a) é base de M(2 × 2, R), (b) não gera M(2 × 2, R), (c) não é
base porque L.D.
II. de P2 :
a)
b)
c)
d)
B1
B2
B3
B4
= {1 − 3x + 2x2 , 1 + x + 4x2 , 1 − 7x}
= {1 − 3x + 2x2 , 1 + x + 4x2 , 1 − 7x, 2 + x − 3x2 }
= {1 + x + x2 , x + x2 , x2 }
= {−4 + x + 3x2 , 6 + 5x + 2x2 , 8 + 4x + x2 }
Resposta: (a) e (b) não são bases porque L.D. (no primeiro caso nem geram P2 ),
(c) e (d) s ão bases deP2 .
11. Seja V o espaço constituido pela expansão linear dos vectores u = cos2 x, v = sin2 x e
w = cos(2x).
(a) Mostre que S = {u, v, w} não é uma base de V . (b) Encontre uma base para V.
Solução: (a) de facto, temos w = u − v; (b) por exemplo {u, v}.
12. Escreva o vector de coordenadas (v)Bi , i.e., determine as coordenadas de v nas seguintes
bases Bi :
I. de subespaços de R3 :
a) v = (2, −1, 0); B1 = {v1 , v2 }, com v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0)
b) v = (2, −1, 0); B2 = {v1 , v2 }, com v1 = (1, 0, 0), v2 = (2, 2, 0)
c) v = (4, −12, 3); B3 = {v1 } com v1 = (1, −3, 43 )
Solução: (a) (v)B1 = (2, −1); (b) (v)B2 = (3, − 21 ); (c) (v)B3 = (4)
II. de subespaços de R4 :
a) v = (1, 0, 2, −1); B1 = {v1 , v2 , v3 }, com v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 0),
v3 = (0, 0, 0, 1)
b) v = (1, −2, 0, −1); B2 = {v1 , v2 , v3 }, com v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (1, 1, 0, 0),
v4 = (1, 1, 0, 1)
c) v = (0, −2, 3, 2); B3 = {v1 , v2 }, com v1 = (0, 0, −1, 0), v2 = (0, 1, 0, −1).
Solução: (a) (v)B1 = (1, 2, −1); (b) (v)B2 = (3, −1, −1); (c) (v)B3 = (−3, −2)
13. Escreva o vector v nas seguintes bases B = {v1 , v2 , v3 } de P2 :
a) v = 4 − 3x + x2 ; v1 = 1, v2 = x, v3 = x2
b) v = 2 − x + x2 ; v1 = 1 + x, v2 = 1 + x2 , v3 = x + x2
Solução: (a) (v)B = (4, −3, 1); (b)(v)B = (0, 2, −1).
14. Exprima as coordenadas do vector A relativamente às seguintes bases B = {A1 , A2 , A3 , A4 }.
"
a) A =
"
0 0
0 1
"
2 0
−1 3
#
"
; A1 =
−1 1
0 0
#
"
1 1
0 0
#
0 −1
−1 0
#
, A2 =
"
, A3 =
0 0
1 0
#
, A4 =
#
1 0
b) A =
0 1
"
#
1 0
−1 2
#
"
; A1 =
3 6
3 −6
Solução: (a) (v)B = (− 12 , 12 , −1, 3).
#
"
, A2 =
"
, A3 =
0 −8
−12 −4
#
, A4 =