5a : aula prática (1.30h) — 31-03 e 08-04/2010 Bases de subespaços
Instituto Superior Técnico
Álgebra Linear 1o ano
5-1
2010 –2o semestre
da Lics.em Engenharia Inform ática e de Com putadores e Engenharia Quím ica
Bases de subespaços
Seja K um corpo, considere-se o espaço vectorial K n e seja L K n um seu subespaço;
vamos considerar dois exemplos em que se pede para obter uma base de L.
*) L é de…nido através de um conjunto …nito de geradores: L = v1 ; : : : ; vk .
**) L é o conjunto das soluções de um sistema de equações lineares com
coe…cientes em K.
Frequentemente, porém, é conveniente saber escrever um sistema de equações lineares com
coe…cientes em K cujo conjunto de soluções seja um subespaço L do espaço vectorial K n , sendo L
dado através de um conjunto …nito de geradores: L = v1 ; : : : ; vk .
1) No R-espaço vectorial R4 considere-se L = v1 ; v2 ; v3
onde
v1 = (1; 2; 0; 3); v2 = (1; 1; 1; 4); v3 = (1; 0; 2; 5):
Como obter uma base para L?
Resposta:
Condensando (sem troca de linhas) a matriz cujas linhas correspondem às coordenadas dos três
vectores somos conduzidos a uma linha de zeros, o que signi…ca que o correspondente vector é
combinação linear dos restantes:
2
3
2
3
2
3
1
2 0 3
1
2 0 3
1
2 0 3
4 1
4 0 1
4 0 1
1 1 5
1
1 4 5
1 1 5
1 0
2 5
0 2
2 2
0 0
0 0
Uma base para L é pois fv1 ; v2 g.
2) Considere-se o espaço vectorial das soluções do sistema homogéneo
2x + y + z = 0
5x + y u = 0
.
Como obter uma base para L?
Resposta:
Resolvendo o sistema, através da condensação da matriz desse sistema obtém-se:
2
5
1
1
1
0
1
0
0
1
1
2
1
2
1
1
0
2
3
1
5
1
2
1
2
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
3
2
3
1
0
1
2
3
2
1
2
3
2
0
1
ou seja:
x 13 u = 0
y + z + 32 u = 0
ou ainda
x = 13 u
y = z 32 u
.
Para determinar uma base do conjunto das soluções do sistema basta por exemplo escolher z = 1 e
u = 0 obtendo-se v1 = (0; 1; 1; 0) e escolher z = 0 e u = 1 obtendo-se v2 = ( 13 ; 23 ; 0; 1); uma base
para L é pois fv1 ; v2 g.
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5-2
3) Determinar um conjunto de equações lineares cujo conjunto de soluções seja o subespaço L
de R4 dado por
L = v1 ; v2 ; v3
onde v1 = (1; 2; 0; 3); v2 = (1; 1; 1; 4); v3 = (1; 0; 2; 5).
Resposta:
Se for v = (x; y; z; u) 2 L este vector terá de ser uma combinação linear de v1 de v2 e de v3 e portanto
ao condensar
a matriz a3seguir
3 uma
2 indicada há-de poder obter-se
2
2 linha de zeros como última3linha:
1
2
0
3
1
2
0
3
1
2
0
3
7 6 0
6 0
6 1
1
1
1
1
1
1
1
1 4 7
7
7 4
7
6
6
5
5
4 0
4 1
0
0
0
0
2
2
2
0
2 5 5
0 2x + y
z
3x + u
0 2x + y
z
3x + u
x y
z
u
2
3
1
2
0
3
1
1
6 0 1
7
4 0 0
5
0
0
0
0
2x + y + z
5x y + u
As coordenadas do vector v = (x; y; z; u) terão de satisfazer portanto:
2x + y + z = 0
:
5x y + u = 0
Como obter uma base para a intersecção de dois sub-espaços vectoriais
Seja V um espaço vectorial de dimensão …nita e sejam dados dois subespaços L1 e L2 de V . Como
obter uma base para L1 \ L2 ?
1a maneira
Sendo L1 = ker T1 e L2 = ker T2 é claro que L1 \ L2 = ker T2 \ ker T2 e portanto basta obter uma base para
T1 (x) = 0
o sistema
.
T2 (x) = 0
2a maneira (referida a título informativo)
Sendo fv1 ; : : : ; vk g uma base de L1 e sendo fw1 ; : : : ; w` g uma base de L2 tem-se L1 +L2 = v1 ; : : : ; vk ; w1 ; : : : ; w`
partindo da base fv1 ; : : : ; vk g de L1 completemo-la numa base L1 +L2 acrescentando à base de L1 alguns dos
vectores w1 ; : : : ; w` que constituem uma base de L2 ; suponhamos que L1 +L2 = v1 ; : : : ; vk ; wi1 ; : : : ; wis
e sejam wis+1 ; : : : ; wi` os remanescentes vectores da base de L2 ali não utilizados; há-de ter-se:
wis+1 = s+1;1 v1 + : : : + s+1;k vk + s+1;1 wi1 + : : : + s+1;s wis
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
wi` = `;1 v1 + : : : + `;k vk + `;1 wi1 + : : : + `;s wis
e os vectores seguintes constituem uma base de L1 \ L2 :
us+1 =
s+1;1 v1 + : : : + s+1;k vk = wis+1
s+1;1 wi1 + : : : + s+1;s wis
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
u` = `;1 v1 + : : : + `;k vk = wi`
.
`;1 wi1 + : : : + `;s wis
Exemplo
No R-espaço vectorial R5 considere-se L1 = v1 ; v2
onde v1 = (1; 3; 2; 2; 3) e v2 = (1; 4; 3; 4; 2) e
L2 = w1 ; w2
onde w1 = (1; 3; 0; 2; 1) e w2 = (1; 5; 6; 6; 3).
1) Após algum cálculo obtém-se L1 = f 2 R5 : A1 = 0g e L2 = f 2 R5 : A2 = 0g onde
A1 =
"
1
4
6
1
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
#
e
A2 =
pelo que L1 \ L2 é o conjunto das soluções do sistema
A1 = 0
A2 = 0
"
9
4
2
3
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
#
;
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5-3
ou seja o sistema A = 0 de matriz
2
6
6
6
A=6
6
6
4
1
4
6
9
4
2
1
2
1
3
2
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
3
7
7
7
7
7
7
5
do qual uma base das soluções é constituída pelo vector (1; 4; 3; 4; 2) e portanto L1 \L2 =
2) Comece-se por obter uma base de L1 + L2 =
com vectores da base 3de L2
2 ; atendendo a que
2
3
1 3
2 2 3
1 3
2 2
3
6 1 4
6 0 1
3 4 2 7
1 2
1 7
6
7
6
7
4 1 3
5
4
0
2 1
0 0
2
0
2 5
1 5
6 6 3
0 2
4 4
0
vem L1 + L2 =
(1; 3; 2; 2; 3) +
0
1
6 0
6
4 0
0
3
1
0
0
2
1
2
2
;.
completando a base fv1 ; v2 g de L1
v1 ; v2 ; w1 ; w2
2
(1; 4; 3; 4; 2)
2
2
0
0
3
3
1 7
7
2 5
2
2
1
6 0
6
4 0
0
3
1
0
0
2
1
2
0
2
2
0
0
3
3
1 7
7
2 5
0
v1 ; v2 ; w1
e escrevendo w2 como combinação linear de v1 ; v2 ; w1 vem w2 =
(1; 4; 3; 4; 2) + (1; 3; 0; 2; 1) ou seja (1; 5; 6; 6; 3) = v1 + 0 v2 + w1 isto é
8
1= + 0+
>
>
>
0
>
< 5=3 +4 +3
6= 2
3 0
>
0
>
6=2 +4 +2
>
>
:
3=3 +2 0+
e o vector u = (1; 5; 6; 6; 3)
(1; 3; 0; 2; 1) constitui uma base de L1 \ L2 ; resolvendo o sistema obtém-se
= 0; 0 = 2; = 1 e portanto u = (1; 5; 6; 6; 3) ( 1)(1; 3; 0; 2; 1) = (2; 8; 6; 8; 4); naturalmente que
o vector v = (1; 4; 3; 4; 2) também se constitui numa base de L1 \ L2 .
5a : aula prática (1.30h) — 31-03 e 08-04/2010 Bases de subespaços
5-4
Problema
No R-espaço vectorial R5 considere L1 = ker T1 onde
T1 : R5 ! R3
x 7! A1 :x
2
3
1 1 1 0 0
A1 = 4 4
2 0 1 05
6 1 0 0 1
com
e L2 =
onde
v 1 ; v2
v1 = (1; 3; 0; 2; 1); v2 = (1; 5; 6; 6; 3)
e determine dimR (L1 \ L2 ):
Resolução
1a maneira
Vamos obter uma base para L1 \ L2 e contar o número de elementos dessa base.
Sabe-se que L1 = ker T1 e vamos escrever L2 na forma L2 = ker T2 sendo T2 2 LR (R5 ; Rm ) sendo
m um número natural; condensando a matriz seguinte cujas duas primeiras linhas correspondem às
coordenadas dos dois vectores v1 e v2 seremos conduzidos a uma última linha de zeros se e só se o
vector (x; y; z; u; v) de R5 pertencer a L2 , o que signi…caria que esse vector é combinação linear dos
restantes:
2
3
2
3
1 3 0 2 1
1
3
0
2
1
4 1 5
4 0
5
6 6 3 5
2
6
4
2
x y z u v
0
3x + y z
2x + u
x+v
2
3
2
3
1
3
0
2
1
1 3
0
2
1
4 0
5
4 0 1
5
3
2
1
1
3
2
1
0 0
9x + 3y + z 4x 2y + u 2x y + v
0
3x + y z
2x + u
x+v
Ter-se-á pois (x; y; z; u; v) 2 L2 se e só se
8
< 9x + 3y + z = 0
4x 2y + u = 0
:
2x y + v = 0
ou seja L2 = ker T2 onde
com
2
T 2 : R5 ! R3
x 7! A2 :x
9
A2 = 4 4
2
3
3 1 0 0
2 0 1 0 5 ;
1 0 0 1
.
5a : aula prática (1.30h) — 31-03 e 08-04/2010 Bases de subespaços
5-5
daí que L1 \ L2 seja o conjunto das soluções do sistema homogéneo
T1 (x) = 0
T2 (x) = 0
ou seja
A1 :x = 0
A2 :x = 0
uma base para o espaço das
2
1
6 4
6
6 6
6
6 9
6
4 4
2
;
soluções deste sistema obtém-se usando
2
3
1 1 1
1 1 0 0
6 0 2 4
2 0 1 0 7
6
7
6 0 0 4
1 0 0 1 7
6
7
6 0 0 0
3 1 0 0 7
6
7
4 0 0 0
2 0 1 0 5
1 0 0 1
0 0 0
o que conduz a uma base para o espaço das soluções dada por
o algoritmo de Gauss:
3
0 0
1 0 7
7
5
1 7
2
7
1
1 7
2
7
0 0 5
0 0
f(1; 4; 3; 4; 2)g
ou seja dimR (L1 \ L2 ) = 1.
2a maneira
Vamos obter uma base para L1 + L2 e contar o número de elementos dessa base.
Ora por um lado L1 é o espaço das soluções do sistema
T1 (x) = 0
ou seja
A1 :x = 0 ;
onde
2
1
A1 = 4 4
6
1
2
1
3
1 0 0
0 1 0 5
0 0 1
e esse espaço de soluções obtém-se usando o algoritmo (de condensação)
2
3
2
1 1 1 0 0
1 1 1 0
4 4
4 0 2 4 1
2 0 1 0 5
6 1 0 0 1
0 0 8 5
o que conduz a uma base para o espaço das soluções dada por
de Gauss:
3
0
0 5
2
f(1; 6; 5; 8; 0); (1; 2; 1; 0; 4)g
ou seja dimR L1 = 2.
Por outro lado como L2 = v1 ; v2
onde v1 = (1; 3; 0; 2; 1) e v2 = (1; 5; 6; 6; 3) e como estes
dois vectores de R5 são linearmente independentes, como mostra a condensação
1
1
resulta dimR L2 = 2.
3
5
0
6
2 1
6 3
1
0
3
2
0
6
2 1
4 2
5a : aula prática (1.30h) — 31-03 e 08-04/2010 Bases de subespaços
En…m como L1 + L2 = (1; 6; 5; 8; 0); (1; 2; 1; 0; 4); (1; 3; 0; 2; 1); (1; 5; 6; 6; 3)
vez mais usando o algoritmo (de condensação) de Gauss:
2
3
2
3
1 6
5 8
0
1 6
5 8 0
6 0
6 1 2
4 4
8 4 7
1 0 4 7
6
7
6
7
4 0 0
4 1 3 0 2 1 5
2
0
2 5
0 0
0
0
0
1 5
6 6 3
o que signi…ca que dimR (L1 + L2 ) = 3.
Por um corolário do teorema de Grassmann sabe-se que
dimR L1 + dimR L2 = dimR (L1 \ L2 ) + dimR (L1 + L2 )
e como se viu que dimR L1 = 2, dimR L2 = 2 e dimR (L1 + L2 ) = 3 tem-se
dimR (L1 \ L2 ) = 2 + 2
em conformidade com o que se obteve na 1a maneira.
3=1
5-6
vem uma