Capítulo
1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
NOÇÕES GERAIS - VECTORES
DISCIPLINA DE FÍSICA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CAPÍTULO 1 - NOÇÕES GERAIS - VECTORES
1.2 Com base na Figura 1.2, determine:
1.2.1 As componentes escalares e o módulo do vector v .
1.2.2 O coseno, o seno, a tangente e a cotangente do ângulo α .
Resolução:
1.2.1 Componente escalares: vx = 5 − 2 = 3
v
3
1.2.2 Coseno: cos α= x ⇔ cos α=
v
5
Tangente: tgα =
vy
vx
⇔ tgα =
−4
3
v = vx 2 + v y 2 =
v y = 3 − 7 = −4
2
( 3) + ( −4 )
2
=5
v
-4
Seno: sen α = y ⇔ sen α =
v
5
Co-tangente: cotg α =
vx
3
⇔ cotg α =
vy
-4
Figura 1.2
1.6 Dois vectores r e s estão no plano XY, os seus módulos são respectivamente 4,5 e 7,3 unidades e as suas direcções são de 320º (α) e 85º (β)
medidos no sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo dos x.
1.6.1 Determine as componentes escalares.
1.6.2 Qual o valor de r ⋅ s .
Resolução:
1.6.1 Componentes escalares:
s x = s × cos85º = 7,3 × cos85º = 0,64
rx = r × cos320º = 4,5 × cos320º = 3,45
UAlg / EST / ADEC
s y = s × sen85º = 7,3 × sen85º = 7,27
ry = r × sen320º = 4,5 × sen320º = -2,89
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r ⋅ s = rx × s x + ry × s y = 3,45 × 0,64 + ( -2,89 ) × 7,27 = -18,8
1.6.2 Produto interno:
ou pode ser calculado por,
r ⋅ s= r × s × cosθ = 4,5 × 7,3 × cos125º = -18,8
1.7 Considere os vectores F1 , F2 , r1 e r2 :
F1 = 4 ⋅ iˆ − 2 ⋅ ˆj + 1 ⋅ kˆ
r1 = −2 ⋅ iˆ + 1 ⋅ ˆj
F2 = 3 ⋅ iˆ − 1 ⋅ ˆj + 1 ⋅ kˆ
r2 = 2 ⋅ ˆj + 1 ⋅ kˆ
Sendo o vector M dado por r1 × F1 + r2 × F2 e Fr por F1 + F2 , verifique se M ⊥ FR .
Resolução:
î
M = r1 × F1 + r2 × F2 = -2
4
ˆj kˆ
î ˆj
1 0 + 0 2
-2 1
3 -1
kˆ
1
1
Figura 1.6 – Representação dos
vectores e dos ângulos α, β e θ.
, calculando em separado cada um dos determinantes,
vem:
î ˆj kˆ
-2 1 0 =
4 -2 1
î ˆj
0 2
3 -1
kˆ
1 =
1
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( (1 × 1) - ( 0 × ( -2) ) ) ˆi - ( ( -2 × 1) - ( 0 × 4 ) ) ˆj + ( ( -2 × ( -2) ) - (1 × 4 ) ) kˆ = 1iˆ + 2jˆ + 0kˆ
( ( 2 × 1) - (1 × ( -1) ) ) ˆi - ( ( 0 × 1) - (1 × 3) ) ˆj + ( ( 0 × ( -1) ) - ( 2 × 3) ) kˆ = 3iˆ + 3jˆ + ( -6) kˆ
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UAlg / EST / ADEC
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(
) (
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)
Finalmente a soma de ambos é igual a: 1iˆ + 2jˆ + 0kˆ + 3iˆ + 3jˆ + ( -6 ) kˆ = (1 + 3) ˆi + ( 2 + 3) ˆj + (0 - 6)kˆ = 4iˆ + 5jˆ - 6kˆ
(
) (
)
FR = F1 + F2 = 4iˆ - 2jˆ + 1kˆ + 3iˆ - 1jˆ + 1kˆ = ( 4 + 3) ˆi + ( -2 + ( -1) ) ˆj + (1 + 1) kˆ = 7iˆ - 3jˆ + 2kˆ
Para verificar se M ⊥ FR , ou seja, se o vector M é perpendicular ao vector FR , o produto interno M ⋅ F terá de ser igual a zero.
M ⋅ F = ( 4 × 7 ) + ( 5 × ( -3) ) + ( -6 × 2 ) = 1 , de onde se conclui que os dois vectores não são perpendiculares.
UAlg / EST / ADEC
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