Nova School of Business and Economics
Prática Álgebra Linear
6 – Valores e Vectores Próprios
de Transformações Lineares
1
Valor próprio de uma transformação linear
Definição
(
)
Número real (ou complexo) que, ao ser multiplicado por pelo menos um objecto não nulo de
, gera a sua imagem.
̅
Ex.:
(
)
(
( )
)
porque, por exemplo, (
porque, por exemplo, (
)
)
(
)
(
)
(
(
).
).
porque não existe nenhum vector (
não é um valor próprio de
) de
).
imagem segundo
seja 5(
2
Definição
Vector próprio associado a
Vector
de
(ou de
) cuja direcção se mantém, quando é transformado segundo .
(ou de
não nulo cuja
) cuja imagem segundo
de uma transformação linear
é um múltiplo de ,
. Vector
de
( )
Ex.:
(
(
)
(
)
) é um vector próprio de
(
porque
(
)
(
)
(
).
)
).
(
) é um vector próprio de
(
) não é um vector próprio de
(
).
3
associado a
Definição
Polinómio de grau
associado a
porque (
porque (
)
(
)
)e(
(
) não é um múltiplo de
Polinómio característico de uma transformação linear
em , |
|.
1
Prática Álgebra Linear
6 – Valores e Vectores Próprios de Transformações Lineares
Ex.:
(
)
0
(
)
1
0
1
|
4
|
.0
1
0
1/
|
|
Valores próprios e polinómio característico de uma transformação
Facto
linear
Os valores próprios de uma transformação linear são as raízes reais (ou complexas) do seu
polinómio característico.
|
Ex.:
(
(|
)
|
(
)
|
5
)
Multiplicidade algébrica de um valor próprio
Definição
transformação linear
Multiplicidade de
Ex.:
(
)
[
(|
(
(
]
))
como raíz do polinómio característico de .
(
)
[
]
|
)
*
+
|
*
+
|
|
2
{
*
+
(
|
)
(
)
de uma
Prática Álgebra Linear
6 – Valores e Vectores Próprios de Transformações Lineares
6
Subespaço próprio associado um valor próprio
Definição
transformação linear
(
Subespaço vectorial de
*
Ex.:
(
)
{
{
7
)
que contém todos os vectores próprios de
( )
(
.
)
((
)
) (
)
(
)
((
)
)
(
)
(
)
((
)
) (
)
(
)
((
)
)
(
)
(
)
*(
*(
)
+
)
+
Subespaços próprios e sistemas de equações lineares homogéneos:
Facto
de uma transformação linear
é o conjunto de soluções do sistema de equações lineares homogéneo
̅ .
)
(
(
(
(
)
(
(
*(
(
[
]0 1
)
0 1
{
{
+
̅
0
)
Definição
)
(
)
)
̅
)
)
̅
)
*(
8
associados a
+
O subespaço próprio associado a um valor próprio
Ex.:
de uma
10 1
0 1
{
{
+
Multiplicidade geométrica de um valor próprio
transformação linear
(
(
de uma
))
Dimensão do subespaço próprio associado a
,
.
3
Prática Álgebra Linear
6 – Valores e Vectores Próprios de Transformações Lineares
( )
Ex.:
(
(
)
(
)
(
)
̅
)
[
][ ]
[ ]
{
{
*(
(
)
)
(
(
̅
)
*(
(
*(
[
][ ]
+
(
)(
*(
[ ]
)+
)
, é o produto dos valores próprios de
multiplicidades algébricas.
*
(
|
(
[
|
4
|
{
uma transformação linear. O determinante da sua matriz de
transformação,
Ex. :
{
Valores próprios e determinante
Facto
Seja
|
)+
)
)
)
9
+
+
)
)
(
*
(
)
(
]
+
)
)
(
)
(
)
elevados às respectivas
Prática Álgebra Linear
6 – Valores e Vectores Próprios de Transformações Lineares
10
Valores próprios e potências de matrizes
Facto
Seja
uma transformação linear, cuja matriz de transformação é
(
) , com
for um valor próprio de
e cada
outra transformação linear, cuja matriz de transformação é
. Então,
é um valor próprio de
vector próprio de
Ex. :
(
)
(
)
associado a é vector próprio de
{
*(
)
*
+
[
)
{
)
}
*
+
2(
) (
)
]
(
(
)
) 3
+
)
+
.
(
)
(
/
[
+
*(
*(
]
+
*(
*(
[
+
(
*
+
+
)
*(
+
*
*
}
.
+
+
)
*
{
)
*
(
+
)
*(
associado a
)
+
(
*
(
*
*(
se e só se
e
{
}
)
)
{
)
]
}
2(
)
(
)
(
) 3
+
+
)
+
5
Prática Álgebra Linear
6 – Valores e Vectores Próprios de Transformações Lineares
11
Valores próprios e produto de matrizes
Facto
Sejam
uma transformação linear, cuja matriz de transformação é
uma transformação linear, cuja matriz de transformação é
matrizes (
). Então,
*
+
Ex. :
(
)
*
)
{
(
0
+
*
}
{
}
1
0
10
10
1
1
+
0
)
*
12
+
)
+
e
têm os mesmos valores próprios.
(
*
(
e
, sendo
e
1
*
0
+
Subespaços próprios diferentes e independência linear
Facto
Se extrairmos de cada um dos subespaços próprios de uma transformação linear um
conjunto de vectores linearmente independente e reunirmos os conjuntos obtidos, obtemos
um conjunto linearmente independente.
*
+
{
}
*
+
{
}
{
}
{
Ex. :
(
)
(
)
*(
{
{
*(
6
}
*(
)(
)+
*(
*(
)(
*(
)+
)+
)(
)+
)(
)+
]
*(
*(
)+
[
)(
)+
)+
Prática Álgebra Linear
6 – Valores e Vectores Próprios de Transformações Lineares
13
Matriz
Definição
diagonalizável
Matriz de transformação de uma transformação linear
, de
, na qual a matriz de transformação de
*
0
Ex.:
, tal que existe uma base
é diagonal.
+ {
1
é diagonalizável porque é a matriz de transformação de
*(
sendo
)(
)+ uma base de
0
e
(
)
(
1,
)
0
e,
1é
uma matriz diagonal.
14
Matrizes diagonalizáveis, vectores e valores próprios
Facto
Seja
a matriz de transformação de uma transformação linear
com
valores próprios distintos. As seguintes afirmações são equivalentes:
é diagonalizável
Existe uma base de
*
Ex. 1:
+
(
)
Ex. 2:
(
)
(
)
*(
(
)
*(
)(
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
[
)
(
(
)
(
*(
{
constituída apenas por vectores próprios de
)(
)+
)+
(
]
(
)
)
)+
(
[
)
(
)
*(
(
)
*(
)+
)+
(
(
]
)
)
7
Prática Álgebra Linear
6 – Valores e Vectores Próprios de Transformações Lineares
(
)
(
*
)
+ {
15
Facto
Seja
, a matriz de transformação de uma transformação linear
Matrizes diagonalizáveis e matriz diagonal
diagonalizável. Então,
é uma base de
, uma matriz
constituída por vectores próprios de
se e só se
é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são os valores próprios de
, repetidos e ordenados de acordo com a ordenação dos vectores de .
*
,
+
-
*
[
]
*
Ex.:
+
(
)
(
(
(
)
*(
(
)
*(
(
)(
)+
(
*
* +
)
+
+
[
]
[
]
[
]
16
Facto
Seja
, a matriz de transformação de uma transformação linear
Matrizes reais e simétricas e diagonalização de matrizes
real (cujos elementos são números reais) e simétrica. Então:
8
]
)+
)
+
*
[
)
)
*
{
+
, uma matriz
Prática Álgebra Linear
6 – Valores e Vectores Próprios de Transformações Lineares
Todos os valores próprios de
são reais.
Quaisquer 2 vectores de subespaços próprios diferentes de
são ortogonais.
é diagonalizável.
Ex.:
(
)
(
(
)
*(
(
)
*(
*
+
(
{
[
)
)
*
(
+
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
)+
*
〈(
)+
(
]
(
)
)
+
)(
)〉
(
)
(
)
9