IST - 1o Semestre de 2014/15
LEIC - A
1
EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
FICHA 5 - Vectores e valores próprios
1
Vectores e valores próprios de transformações lineares
Dada uma transformação linear T : V ! V do espaço vectorial V nele próprio, se com
v 2 V n f0g e escalar se tem
T (v) = v;
diremos que v é um vector próprio de T e
um seu valor próprio.
Designando por I : V ! V a transformação linear identidade, ou seja a transformação
tal que I (x) = x; qualquer que seja x 2 V; temos que
T (v) = v , (T
Assim, se
e só se
I) (v) = 0:
é um valor próprio de T; então v será um vector próprio de T associado a
v 2 Nuc (T
se
I) n f0g :
Como tal, podemos a…rmar que é um valor próprio de T se e só se Nuc (T
I) 6= f0g ;
sendo qualquer elemento não nulo de Nuc (T
I) um vector próprio de T associado a :
O subespaço de V; Nuc (T
representaremos por E ( ):
I) ; é chamado de subespaço próprio associado a ; que
E ( ) = Nuc (T
1.1
I) :
Vectores e valores próprios de matrizes
Analogamente, podem de…nir-se os conceitos de valor próprio e vector próprio de uma
matriz A (n n) : Nesse sentido, um vector v 6= 0 e um escalar são, respectivamente, um
vector próprio de A e um valor próprio de A; se
Av = v:
O conjunto dos valores próprios de A é designado por espectro da matriz A e representado por (A) : Ao contrário do que sucede para uma transformação linear qualquer,
1
Coligidos por: João Ferreira Alves, Ricardo Coutinho e José M. Ferreira.
1
para uma matriz podemos obter uma caracterização dos seus valores próprios. Na verdade,
atendendo a que
Av = v , (A
I) v = 0;
se v é um vector próprio associado ao valor próprio ; podemos a…rmar que v é uma solução
não nula do sistema homogéneo (A
I) x = 0; e portanto concluir que
2
(A) , det (A
I) = 0:
Facilmente se veri…ca que det (A
I) é um polinómio em de grau n; chamado de polinómio
característico de A: Logo o conjunto dos valores próprios de uma matriz A é analiticamente
identi…cado pelas raízes de um polinómio:
(A) = f : det (A
I) = 0g :
O conjunto dos vectores próprios associados a um mesmo valor próprio de A; é constituído por todos os vectores não nulos que são solução do sistema homogéneo (A
I) x = 0;
n
ou seja Nul(A
I) n f0g : O subespaço de R ; Nul (A
I) ; é chamado de subespaço
próprio associado a ; que representaremos por E ( ):
E ( ) = Nul (A
1.2
I) :
Vectores e valores próprios de transformações lineares em espaços de dimensão …nita
Seja T : V ! V uma transformação linear. Se o espaço V é de dimensão …nita e
A = [T ]B;B é a matriz que representa T relativamente a uma dada base B de V; de
[T (v)]B = A [v]B ;
podemos concluir que a relação
T (v) = v
é equivalente a
A [v]B =
[v]B :
Deste modo, é um valor próprio de T se e só se 2 (A) : O espaço próprio associado a
um valor próprio ; pode também ser caracterizado através da matriz A:
E ( ) = Nuc (T
I) = fv 2 V : [v]B 2 Nul (A
I)g :
No caso de ser V = Rn ou Cn como há uma identi…cação entre vectores e coordenadas
na base canónica temos que
E( ) = Nuc (T
I) = Nul (A
I) ;
onde A é a representação matricial de T na base canónica de Rn ou Cn .
2
1.3
Diagonalização de matrizes
Uma matriz D (n n) diz-se uma matriz diagonal
de D que estão fora da diagonal principal:
2
d1 0 0 ::: 0
6 0 d2 0 ::: 0
6
D=6
6 0 0 d3 ::: 0
4 ::: ::: ::: ::: :::
0 0 0 ::: dn
Por exemplo, a matriz identidade é uma matriz diagonal.
se forem nulos todos os elementos
3
7
7
7:
7
5
Uma matriz A (n n) é dita diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal
D: Ou seja, se existir uma matriz invertível, S; dita matriz de semelhança, tal que
D=S
1
AS:
Teorema da diagonalização. Seja A uma matriz (n
As seguintes a…rmações são equivalentes :
n) com valores próprios
1 ; :::;
k:
1) A matriz A é diagonalizável.
2) Existe uma base de Rn , B = fv1 ; v2 ; :::; vn g, formada por vectores próprios de A.
3) O conjunto B 1 [ B 2 [
[B
k
(onde B
i
designa uma base de E( i )) é uma base de Rn .
4) As dimensões dos espaços próprios de A, dim E( i ), veri…cam a igualdade
dim E( 1 ) + dim E( 2 ) +
+ dim E( k ) = n.
Note que para uma matriz diagonalizável A, uma matriz de semelhança, S, terá como colunas
as coordenadas de n vectores próprios linearmente independentes v1 ;v2 ; :::;vn :
S = [v1 v2 :::vn ] :
A matriz diagonal
2
6
6
D=6
6
4
d1 0 0
0 d2 0
0 0 d3
::: ::: :::
0 0 0
::: 0
::: 0
::: 0
::: :::
::: dn
3
7
7
7
7
5
será formada de maneira que dj é um valor próprio associado a vj ; para j = 1; :::; n:
Corolário. Se A tiver n valores próprios distintos então A é diagonalizável.
Com V um espaço de dimensão …nita (dim V = n) seja T : V ! V uma transformação
linear representada por uma matriz A diagonalizável. Nestas condições, aos n vectores
próprios de A linearmente independentes, associamos n vectores próprios de T também
linearmente independentes que desse modo constituirão uma base B do espaço V: A matriz
diagonal D semelhante a A será a representação de T relativamente à base B:
3
1.4
Exercícios
Exercício 1 Seja T : R2 ! R2 a transformação linear de…nida por
T (x1 ; x2 ) = (x1 + 2x2 ; 2x1 + x2 )
e considere os vectores v1 = (2; 1); v2 = ( 1; 1); v3 = (2; 3) e v4 = (4; 4): Identi…que os que
são vectores próprios de T: Nos casos a…rmativos, indique os respectivos valores próprios de
T:
Exercício 2 Considere a transformação linear de…nida por
T (x1 ; x2 ; x3 ) = (0; x2 + 3x3 ; 3x2 + x3 ) :
Dentre os vectores v1 = (2; 1; 1); v2 = (0; 1; 1); v3 = (1; 0; 0); v4 = ( 1; 1; 3) e v5 = (0; 3; 3);
quais são vectores próprios de T ? E que valores próprios de T que lhes estão associados?
Exercício 3 T é a transformação linear de…nida por:
T (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 + 2x2 + 2x3 ; 2x1 + x2 + 2x3 ; 2x1 + 2x2 + x3 ) :
Veri…que se alguns dos vectores v1 = (2; 1; 1); v2 = (1; 1; 1); v3 = ( 2; 0; 2); v4 = ( 1; 1; 3)
e v5 = ( 1; 1; 0) são vectores próprios de T: A que valores próprios de T estão associados?
Exercício 4 Seja T : R2 ! R2 a transformação linear de…nida por
T (x1 ; x2 ) = (x1 + x2 ; x1 + x2 ) :
Mostre que os vectores v1 = (1; 1) e v2 = (1; 1) determinam uma base de R2 constituída
por vectores próprios de T: Nesta base, determine a representação matricial de T:
Exercício 5 T : R3 ! R3 é a transformação linear dada por:
T (x1 ; x2 ; x3 ) = (x2 ; x2 ; x2 ) :
Justi…que que os vectores v1 = (1; 0; 0), v2 = (1; 1; 1) e v3 = (0; 0; 1) determinam uma base
de R3 constituída por vectores próprios de T . Qual a representação matricial de T nesta
base?
Exercício 6 T é a transformação linear de…nida por T (x1 ; x2 ) = (x1 + 2x2 ; 3x2 ) :
a) Indique o polinómio característico da matriz que na base canónica representa T:
b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T que lhes estão associados.
c) Determine uma base de R2 constituída por vectores próprios de T: Qual a representação
matricial de T nesta base?
4
Exercício 7 Seja T : R2 ! R2 a transformação linear que na base canónica de R2 é representada pela matriz
2 3
A=
:
3 2
a) Especi…que
(A) :
b) Calcule os subespaços próprios de T:
c) Determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que
D=P
1
AP:
Exercício 8 Na base canónica de R2 a transformação linear T é representada pela matriz
A=
a) Determine
2 1
0 2
:
(A) :
b) Calcule os subespaços próprios de T:
c) Mostre que não existe uma base de R2 constituída por vectores próprios de T:
Exercício 9 Seja T : R3 ! R3 a transformação linear de…nida por
T (x1 ; x2 ; x3 ) = (x2 + x3 ; 2x2 + x3 ; x2 + 2x3 ) :
a) Indique o polinómio característico da matriz que na base canónica representa T:
b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T:
c) Determine uma base de R3 constituída por vectores próprios de T . Qual é a representação
matricial de T nesta base?
d) Designando por A a matriz que representa T na base canónica de R3 ; determine uma
matriz P e uma matriz diagonal D tais que D = P 1 AP:
Exercício 10 T : R3 ! R3 é a transformação linear dada por
T (x1 ; x2 ; x3 ) = (3x1 ; 2x2 + x3 ; 2x3 ) :
a) Qual o polinómio característico da matriz que na base canónica representa T:?
b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T:
c) Mostre que não existe uma base de R3 constituída por vectores próprios de T:
Exercício 11 Seja T : R3 ! R3 a transformação linear que na base canónica de R3 é
representada pela matriz
2
3
9 0
0
1 5:
A=4 3 7
3
2 8
a) Determine
(A) :
b) Calcule os subespaços próprios de T:
c) Determine uma matriz P e uma matriz diagonal D tais que D = P
5
1
AP:
Exercício 12 T : P1 ! P1 é uma transformação linear que na base canónica de P1 é
representada pela matriz
1
3
A=
:
2
4
a) Determine
(A) :
b) Calcule os subespaços próprios de T:
c) Indique uma base de P1 tal que a representação matricial de T nessa base seja diagonal.
Exercício 13 Considere a transformação linear T : P2 ! P2 dada por
T (p (t)) = p0 (t) + p (t) :
a) Relativamente à base canónica de P2 ; que matriz representa T ?
b) Qual o polinómio característico da matriz que representa T ?
c) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T:
d) Pode T ser representada por uma matriz diagonal? Justi…que.
Exercício 14 Duas matrizes quadradas A e B dizem-se semelhantes se existe uma matriz
P invertível tal que B = P 1 AP: Mostre que:
a) Qualquer matriz quadrada é semelhante a ela própria (A é semelhante a A).
b) Se A e B são semelhantes, então também B e A são semelhantes.
c) Se A e B são semelhantes e se B e C são semelhantes, então A e C são semelhantes.
d) Se A e B são semelhantes e A é diagonalizável, então B é diagonalizável.
e) Se A e B são semelhantes, então têm o mesmo polinómio característico.
2
Valores próprios complexos
Mesmo que A seja uma matriz real (n n) ; A pode admitir valores próprios complexos.
Nestas condições, se 2 C é um valor próprio de A então um vector próprio v que lhe esteja
associado será necessariamente um vector de Cn : v = (v1 ; :::; vn ) ; com v1 ; :::; vn 2 C: Numa
circunstância destas é possível então concluir que ; o complexo conjugado de ; é igualmente
um valor próprio de A e que o chamado vector conjugado de v;
v = (v 1 ; :::; v n ) ;
é vector próprio de A associado a :
6
2.1
Exercícios
Exercício 15 Resolva as seguintes equações na variável complexa z:
a) z 4
1 = 0: b) z 3 + 8 = 0: c) z 4 + 1 = 0: d) z (z
3)2 + 16z = 0:
Exercício 16 Seja T : C2 ! C2 a transformação linear de…nida por T (z1 ; z2 ) = ( z2 ; z1 ) :
a) Calcule o polinómio da matriz que representa T:
b) Quais os valores próprios e os subespaços próprios de T ?
c) Determine uma base de C2 constituída por vectores próprios de T: Qual é a representação
matricial de T nesta base?
Exercício 17 T : C2 ! C2 é a transformação linear que na base canónica de C2 é representada pela matriz
0 2
A=
:
2 0
a) Indique o polinómio característico de A:
b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T:
c) Determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D =
P 1 AP:
Exercício 18 Seja T : C3 ! C3 a transformação linear de…nida por
T (z1 ; z2 ; z3 ) = (z1 + z2
z3 ; z2 ; z1
z2 + z3 ) :
a) Calcule o polinómio característico da matriz que representa T:
b) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T:
c) Determine uma base de C3 constituída por vectores próprios de T: Qual é a representação
matricial de T nesta base?
d) Designando por A a matriz que representa T na base canónica de C3 , determine uma
matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D = P 1 AP:
Exercício 19 Considere as matrizes:
A=
1 1
0 2
; B=
1 2
4 5
eC=
10
24
4
10
:
Mostre que todas são diagonalizáveis e calcule An , B n e C n , para n 2 N:
Exercício 20 Considere as matrizes:
A=
1 1
1 1
eB=
2 1
4 2
:
Mostre que as matrizes A e B (não sendo diagonalizáveis enquanto matrizes reais) são
diagonalizáveis enquanto matrizes complexas. Calcule An e B n , para n 2 N:
7
Exercício 21 A matriz
A=
a
b
b
a
com a; b 2 R; b 6= 0; tem valores próprios complexos = a ib: Mostre que transformação
linear que A representa consiste na composição de uma rotação seguida de uma mudança de
escala. Ou seja, que
0
cos
sin
A=
:
0
sin
cos
Exercício 22 Com base no exercício anterior calcule An ; onde
A=
1
1
1
1
:
Particularize para o cálculo de A10 e A12 :
3
Formas quadráticas
Uma forma quadrática é uma função Q : Rn ! R cuja expressão analítica do seguinte
tipo:
X
Q (x1 ; :::; xn ) =
aij xi xj ;
i:j=1
onde aij 2 R; i; j = 1; :::; n:
Com
2
3
x1
x = 4 ::: 5
xn
qualquer forma quadrática pode assumir a forma
Q (x1 ; :::; xn ) = xT A x;
com A matriz real, n n e simétrica (AT = A). Por exemplo, a forma quadrática Q : R2 ! R;
Q (x1 ; x2 ) = 2x21
= [x1
3.1
3x1 x2 + 4x22
2
3=2
x2 ]
3=2
4
x1
x2
:
Classi…cação das formas quadráticas
Pondo x = (x1 ; :::; xn ) ; uma forma quadrática Q (x) e as matrizes simétricas que lhe
estão associadas são classi…cadas em:
1. De…nidas positivas se Q (x) > 0; 8x 2 Rn n f0g :
2. De…nidas negativas se Q (x) < 0; 8x 2 Rn n f0g :
8
3. Semide…nidas positivas se Q (x) > 0; 8x 2 Rn :
4. Semide…nidas negativas se Q (x) 6 0; 8x 2 Rn :
5. Inde…nidas se Q (x) tomar valores positivos e negativos.
3.2
Formas quadráticas e valores próprios
Uma matriz invertível P é dita ortogonal se P 1 = P T . Uma matriz A; real e n n; dizse uma matriz ortogonalmente diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal,
D; cuja matriz de semelhança, P; seja ortogonal. Isto é, se
A = P DP
com P
1
1
= PT:
Facilmente se veri…ca que uma matriz ortogonalmente diagonalizável, A é necessariamente uma matriz simétrica: O inverso também sucede como se estabelece no seguinte
teorema:
Teorema espectral das matrizes simétricas. Seja A uma matriz real, n
Então:
1) Todos os valores próprios de A são reais ( (A)
n e simétrica.
R):
2) A é ortogonalmente diagonalizável.
A partir da relação
Q (x1 ; :::; xn ) = xT A x;
com A matriz real, n
n e simétrica, como A é ortogonalmente diagonalizável temos que
xT A x = xT P DP T x
em que D é uma matriz diagonal, n
yT = y1 ::: yn , fazendo então
n; e P uma matriz ortogonal também n
n: Com
y = PTx
temos que
xT A x = yT D y:
Isto signi…ca que através da mudança de variável x = P y; a forma quadrática Q pode ser
descrita, na nova variável, através da expressão
Q (y1 ; :::; yn ) = yT D y =
onde 1 ; :::;
próprios.
n;
2
1 y1
+ ::: +
2
n yn ;
são os números reais que constituem o espectro de A; ou seja os seus valores
Este facto permite-nos então concluir:
1. Q é uma forma de…nida positiva se e só se todos os valores próprios de A são positivos.
9
2. Q é uma forma de…nida negativa se e só se todos os valores próprios de A são negativos.
3. Q é uma forma semide…nida positiva se e só se todos os valores próprios de A são não
negativos.
4. Q é uma forma semide…nida negativa se e só se todos os valores próprios de A são não
positivos.
5. Q é uma forma inde…nida se e só se A tiver valores próprios positivos e negativos.
3.3
Exercícios
Exercício 23 Classi…que as seguintes matrizes simétricas.
a)
d)
1 1
1 1
3 2
2 0
2 1
1 2
: b)
:
2
c)
3
1
3
2
1 2 0
2
: e) 4 2 1 0 5 : f) 4 0
0 0 3
1
1
2
:
3
0 1
2 0 5:
0 2
Exercício 24 Com base no exercício anterior classi…que as seguintes formas quadráticas.
a) Q(x1 ; x2 ) = x21 + x22 + 2x1 x2 :
b) Q(x1 ; x2 ) = 2x21 + 2x22 + 2x1 x2 :
c) Q(x1 ; x2 ) =
3x21 + 2x2 x1
2x22 :
d) Q(x1 ; x2 ) = 3x21 + 4x2 x1 :
e) Q(x1 ; x2 ; x3 ) = x21 + x22 + 3x23 + 4x2 x1 :
f) Q(x1 ; x2 ; x3 ) = 2x21
4
2x22 + 2x23 + 2x3 x1 :
Soluções
1) v1 e v3 não são vectores próprios de T ; v2 é vector próprio de T associado ao valor próprio
1; v4 é vector próprio de T associado ao valor próprio 3:
2) v2 ; v3 e v5 são vectores próprios de T ;
2; 0 e 4 são os respectivos valores próprios.
3) v2 é vector próprio de T associado ao valor próprio 5, v3 e v5 são vectores próprios
associados ao valor próprio 1.
0 0
0 2
4)
:
2
3
0 0 0
5) 4 0 1 0 5 :
0 0 0
10
6) a) P ( ) = (
1) (
3) :
b) 1 e 3 são os valores próprios de T: Os subespaços próprios de T são:
E (1) = L f(1; 0)g e E (3) = L f(1; 1)g :
c)
7) a)
1 0
0 3
:
(A) = f 1; 5g
b) E ( 1) = L f( 1; 1)g e E (5) = L f(1; 1)g :
c) D =
8 a)
1 0
0 5
1 1
1 1
eP =
:
(A) = f2g :
b) E (2) = L f(1; 0)g :
c) dim E (2) = 1 6= dim R2 = 2:
9) a) P ( ) =
(3
)(
1) :
b) 0; 1 e 3 são os valores próprios de T: Os subespaços próprios são:
E (0) = L f(1; 0; 0)g ; E (1) = L f(0; 1; 1)g e E (3) = L f(2; 3; 3)g :
c) f(1; 0; 0) ; (0;
2
0 0
4
d) D = 0 1
0 0
10) a) P ( ) = (3
1; 1) ; (2; 3; 3)g :
3
2
3
0
1 0 2
0 5eP =4 0
1 3 5:
3
0 1 3
)(
2)2 :
b) 2 e 3 são os valores próprios de T: Os subespaços próprios são:
E (2) = L f(0; 1; 0)g e E (3) = L f(1; 0; 0)g :
c) Não existe uma base de R3 formada por vectores próprios de T porque
dim E (2) + dim E (3) = 2 6= dim R3 :
11) a)
(A) = f6; 9g :
b) E (6) = L f(0; 1; 1)g e E (9) = L f(2; 3; 0) ; (1; 0; 3)g :
2
3
2
3
0 2 1
6 0 0
c) P = 4 1 3 0 5 e D = 4 0 9 0 5 :
1 0 3
0 0 9
12) a)
(A) = f1; 2g :
b) E (1) = L (ft
3=2g) ; E (2) = L (ft
c) T é representada por D =
1 0
0 2
1g) :
na base ft
11
3=2; t
1g :
2
3
1 1 0
13) a) A = 4 0 1 2 5 : b) (1
0 0 1
)3 :
c) 1 é valor próprio de T: E (1) = L f1g :
d) Não: dim E (1) = 1 6= 3 = dim P2 :
p
15) a) z = 1 e z = i: b) z = 1 i 3 e z = 2:
p
p
p
p
c) z =
2 i 2 =2 e z =
2 i 2 =2: d) z = 0 e z = 3
16) a) P (z) = z 2 + 1: b)
E ( i) = L f( i; 1)g :
i são os valores próprios de T ; E (i) = L f(i; 1)g e
i
0
c) f(i; 1) ; ( i; 1)g é base de C2 ; D =
17) a) P (z) = z 2 + 4: b)
E ( 2i) = L f(i; 1)g :
0
i
:
2i são os valores próprios de T ; E (2i) = L f( i; 1)g e
2i 0
0 2i
c) f(i; 1) ; ( i; 1)g é base de C2 ; D =
18) a) P (z) = (1
4i:
z) (1
z)2 + 1 : b) 1 e 1
; P =
i
1
i
1
:
i são os valores próprios de T ;
E (1) = L f(1; 1; 1)g ; E (1 + i) = L f(i; 0; 1)g e E (1
i) = L f( i; 0; 1)g :
2
3
1
0
0
0 5:
c) f(1; 1; 1) ; (i; 0; 1) ; ( i; 0; 1)g é base de C2 ; D = 4 0 1 + i
0
0
1 i
2
3
1 i
i
d) P = 4 1 0 0 5 e D:
1 1 1
1 2n 1
0
2n
19 An =
Cn =
3 (2n )
6 (2n )
20) An =
p
22) An =
A10 =
0
32
; Bn =
2
2
2 ( 2)n
( 2)n
n
6 ( 2) 3 ( 2)n
3n
3n 1
n
2 (3 ) 2 (3n ) 1
(2n )
2 (2n )
cos(n =4) sin(n =4)
sin(n =4) cos(n =4)
2n
2n=2 cos (n =4)
2n=2 sin (n =4)
32
0
; A12 =
:
e Bn =
2n=2 sin (n =4)
2n=2 cos (n =4)
64 0
0 64
e
p
8n
cos( n=4)
2 sin( n=4)
1
2
sin( n=4)
cos( n=4)
:
:
23) a) Os valores próprios da matriz são 0 e 2, logo é semide…nida positiva.
12
:
b) Os valores próprios da matriz são 1 e 3, logo é de…nida positiva.
p
p
c) Os valores próprios da matriz são 21 5 52 e 12 5 52 (ambos negativos), logo é de…nida
negativa.
d) Os valores próprios da matriz são
1 e 4, logo é inde…nida.
e) Os valores próprios da matriz são
1 e 3, logo é inde…nida.
f) Os valores próprios da matriz são
2, 1 e 3, logo é inde…nida.
24) a) Semide…nida positiva. b) De…nida positiva. c) De…nida negativa. d) Inde…nida.
e) Inde…nida. f) Inde…nida.
13