Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
7ª aula
ESPAÇOS VECTORIAIS
O que é preciso para ter um
espaço vectorial?
 Um conjunto não vazio V
 Uma operação de adição definida


nesse conjunto
Um produto de um número real por
um elemento desse conjunto
As “boas” propriedades destas
operações
O que são as “boas” propriedades?
 Fechado para a soma

u, vV, u + v  V
Fechado para o produto por um
escalar
, uV, u  V
O que são as “boas” propriedades?
Propriedades da soma
 Comutativa:
u, vV, u + v = v + u
 Associativa:
u, v, wV, (u + v) + w = u + (v + w)
 Elemento Neutro:
uV, u + 0 = u
Simétricos:
uV, u + (-u) = 0
O que são as “boas” propriedades?
Propriedades da soma e do produto
por um escalar:
 Distributiva:
u, vV, ,(u + v )= u + v
 Distributiva:
uV, , ,( + ) u = u + u
 “Associativa”
uV, , ,( ) u =  (u)
Elemento neutro
uV, 1u = u
Exemplos
 Vectores no plano com as operações
soma e produto por um número real
Exemplos
 Conjunto das matrizes mn com as
operações soma e produto por um número
real.
 Conjunto das matrizes linha com as
operações soma e produto por um número
real
 Conjunto das matrizes coluna com as
operações soma e produto por um número
real
Exemplos
  x1, x2 ,, xn  : x j  , j  1,, n
n
x1 , x2 ,, xn    y1, y2 ,, yn  
x1  y1, x2  y2 ,, xn  yn 
 x1, x2 ,, xn   x1,x2 ,,xn 
Casos particulares importantes:
  x, y  : x, y  
2
x, y  t, w  x  t, y  w
 x, y   x, y 
Casos particulares importantes:
  x, y, z  : x, y, z  
3
x, y, z   t, w, v  x  t, y  w, z  v
 x, y, z   x, y, z 
Propriedades dos espaços vectoriais
 O vector nulo é único
 O simétrico de cada vector de V é único
 Qualquer número real multiplicado
pelo vector nulo dá o vector nulo
 Zero multiplicado por qualquer vector
dá o vector nulo
 Se o produto de um número real por
um vector dá o vector nulo então ou o
número real é nulo ou o vector é nulo.
Combinações Lineares:
1 ,  2 ,,  k  
u1 , u2 ,, uk V
1u1   2u2     k uk  u
u diz-se combinação linear de
u1, u2, …, uk
Exemplo:
21,0,0  30,1,0   50,0,1  2,3,5
(2,3,-5) é combinação linear de
{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}
com coeficientes 2, 3 e -5
respectivamente
Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear
de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?
Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear
de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?
(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)
Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear
de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?
(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)
      2

    3
    5

Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear
de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?
(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)
      2

    3
    5

1 1 1 2


1 1 0 3
1 0 1  5
1 1 1 2


1 1 0 3
1 0 1  5
1 1 1
2


0
0

1
1


0  1 0  7
1 1 1
2


0  1 0  7 
0 0  1 1
1

0

0
1
1
0
2

0 7
1 1
1
1

0

0
1
1

0
0
0
1
0
1
0
2

0 7
1 1
1
0  4

0
7
1  1
1

0

0
1
1
0
3

0 7
1 1
0
  4

  7
  1

  4

  7
  1

(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)
(2,3,-5) = -4(1,1,1) + 7(1,1,0) - (1,0,1)
Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear
de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)
Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear
de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)
    2

    3
    3  5

Exemplo:
(2,3,-5) será combinação linear
de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)
    2

    3
    3  5

Sistema impossível
Exemplo:
Então (2,3,-5) não pode ser
combinação linear de
{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}
Exemplo:
Quais serão os vectores (a, b, c)
que podem ser combinação
linear de
{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
Exemplo:
(a, b, c) =
x(1,1,1) + y (1,1,2) + z(0,0,3)
Exemplo:
(a, b, c) =
x(1,1,1) + y (1,1,2) + z(0,0,3)
x  y  a

x  y  b
 x  2 y  3z  c

x  y  a

x  y  b
 x  2 y  3z  c

1 1 0 a 


1
1
0
b


1 2 3 c 
x  y  a

x  y  b
 x  2 y  3z  c

1 1 0 a 


1
1
0
b


1 2 3 c 
1 1 0 a 


0
0
0
b

a


0  1 3 c  a 
x  y  a

x  y  b
 x  2 y  3z  c

1

1

1
1

0

0
1 0 a

1 0 b
2 3 c 
1 1 0 a 


0
0
0
b

a


0  1 3 c  a 
1 0
a 

1  3 a  c
0 0 b  a 
x  y  a

x  y  b
 x  2 y  3z  c

1

1

1
1

0

0
1 0 a

1 0 b
2 3 c 
1 1

0
0

0  1
1 0
a  1

1  3 a  c  0
0 0 b  a  0
a 

0 b  a
3 c  a 
0 3
c 

1  3 a  c
0 0 b  a 
0
x  y  a

x  y  b
 x  2 y  3z  c

1

1

1
1

0

0
1 0 a

1 0 b
2 3 c 
1 1

0
0

0  1
1 0
a  1

1  3 a  c  0
0 0 b  a  0
a 

0 b  a
3 c  a 
0 3
c 

1  3 a  c
0 0 b  a 
0
ab
Exemplo:
Quais serão os vectores (a, b, c)
que podem ser combinação
linear de
{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
Resposta: vectores da forma
(a, a, c)
Exemplo:
(0, 0, 0) pode ser combinação
linear de
{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
Exemplo:
(0, 0, 0) pode ser combinação
linear de
{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
SIM
(0, 0, 0) =
0(1,1,1) + 0(1,1,2) + 0(0,0,3)
Propriedade
O vector nulo de qualquer
espaço vectorial pode ser
escrito como combinação linear
de qualquer conjunto de
vectores.
(O sistema homogéneo tem
sempre solução)
Exemplo:
(0, 0, 0) pode ser combinação
linear de
{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
SIM
(0, 0, 0) =
3(1,1,1) - 3(1,1,2) + 1(0,0,3)
Vectores linearmente independentes
Definição: Um conjunto de vectores de V
{v1, v2, … , vk}
diz-se linearmente independente se a única
combinação linear nula destes vectores é a
trivial.
Vectores linearmente independentes
Definição: Um conjunto de vectores de V
{v1, v2, … , vk}
diz-se linearmente independente se a única
combinação linear nula destes vectores é a
trivial.
1v1   2v2     k vk  0 
1   2     k  0
Vectores linearmente dependentes
Definição: Um conjunto de vectores de V
{v1, v2, … , vk}
diz-se linearmente dependente se não é
independente, isto é, se é possível obter o
vector nulo com uma combinação linear que
não tem os coeficientes todos nulos.
1v1  2v2   k vk  0  j :  j  0
Vectores linearmente independentes
Para que o conjunto de vectores de V
{v1, v2, … , vk}
seja linearmente independente é preciso que
o sistema
1v1   2v2    k vk  0
seja determinado, isto é, que a característica
da matriz do sistema seja k.
Um conjunto de vectores não pode ser
independente se:
• Contiver o vector nulo;
• Tiver dois vectores iguais;
• Tiver um vector múltiplo de outro;
• Se um dos vectores for combinação
linear de outros.
EXEMPLO:
Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}
linearmente independente?
a  2b  4c  d  0





EXEMPLO:
Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}
linearmente independente?
a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2)
= (0,0,0,0)
EXEMPLO:
Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}
linearmente independente?
a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2) =
(0,0,0,0)
a  2b  4c  d  0
2a  b  7c  8d  0


3a  3b  3c  3d  0
4a  5b  7c  2d  0
a  2b  4c  d  0
2a  b  7c  8d  0


3a  3b  3c  3d  0
4a  5b  7c  2d  0
car(A) = 3
4
1
1 2
2  1

7  8

A
 3 3  3  3


 4 5  7  2
sistema indeterminado
conjunto dependente
Subespaço Vectorial
Seja V um espaço vectorial. Um subconjunto
não vazio F de V é um subespaço vectorial de
V se e só se
u, v  F , u  v  F
  , u  F , u  F
ou seja: F é fechado para a soma e para o
produto por um escalar.
Exemplo de subespaço vectorial


F  x, y, z   : x  y e 2x  z
3
Exemplo de subespaço vectorial


F  x, y, z   : x  y e 2x  z
F é o conjunto das
soluções do sistema
3
 x y 0

2 x  z  0
Exemplo de subespaço vectorial


F  x, y, z   : x  y e 2x  z
F é o conjunto das
soluções do sistema
F é o núcleo da matriz
3
 x y 0

2 x  z  0
 1  1 0
2 0  1


Expansão linear e geradores
Considere-se W o conjunto de todas as
combinações lineares de {v1, v2, … , vk} vectores
de um espaço vectorial V
1. W é um subespaço vectorial
2. W é o menor subespaço vectorial de V que
contém {v1, v2, … , vk}
Expansão linear e geradores
W  1v1  2v2   k vk , j  
Chama-se expansão linear de {v1, v2, … , vk}
ou subespaço vectorial gerado pelos vectores
{v1, v2, … , vk}
e representa-se por
<v1, v2, … , vk>
Os vectores {v1, v2, … , vk} dizem-se um conjunto
de geradores de W
Exemplos
  1,0,0, 0,1,0, 0,0,1
3
Exemplos
  1,0,0, 0,1,0, 0,0,1
3
0,0,1,0, 0,0,0,1  1 0,0,1,0   2 0,0,0,1 : 1 ,  2   
0,0, 1 ,  2  : 1 ,  2    x1 , x2 , x3 , x4  4 : x1  x2  0
Bases e dimensão
• A um conjunto de geradores de um espaço
que seja linearmente independente chama-se
base desse espaço.
• Um espaço tem várias bases
• Todas as bases têm o mesmo número de
elementos
• A esse número de elementos chama-se
dimensão do espaço
Bases e dimensão
• Se um espaço vectorial tem dimensão n não
pode haver conjuntos de vectores
independentes com mais do que n elementos
• Se um espaço vectorial tem dimensão n não
pode haver conjuntos de vectores geradores
do espaço com menos do que n elementos
Exemplo:


F  x, y, z   : x  y e 2x  z
3
Exemplo:


F  x, y, z   : x  y e 2x  z
3
F  x, x,2 x  : x  
Exemplo:


F  x, y, z   : x  y e 2x  z
3
F   x, x,2 x  : x  
F  2,2,1
Exemplo:


F  x, y, z   : x  y e 2x  z
3
F   x, x,2 x  : x  
F  1,1,2  ou F  5,5,10
dimF = 1
ou 
Como saber se um vector pertence a
um subespaço?
1. Encontra-se uma base para o subespaço
2. Verifica-se se o vector pode ser combinação
linear dos elementos da base.
Exemplo:
F  1,2,3,4, 5,6,7,8
Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?
Exemplo:
F  1,2,3,4, 5,6,7,8
Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?
Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma
combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?
Exemplo:
F  1,2,3,4, 5,6,7,8
Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?
Isto é, será que (3, -2, -7, 12) é uma
combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?
(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
a  5b  3
2a  6b  2


3
a

7
b


7

4a  8b  12
(3, -2, -7, 12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
a  5b  3
2a  6b  2


3
a

7
b


7

4a  8b  12
1

2
3

4
5
3

6  2
7  7

8  12
1

2
3

4
5
3

6  2
7  7

8  12
1

0
0

0
0  7

1 2
0 0

0 0
1
5
3


 0  4  8
0  8  16


0  12  24
1

0
0

0
5 3

1 2
0 0

0 0
1

2
3

4
5
3

6  2
7  7

8  12
1

0
0

0
0  7

1 2
0 0

0 0
1
5
3


 0  4  8
0  8  16


0  12  24
a  7

b  2
1

0
0

0
5 3

1 2
0 0

0 0
O mesmo exemplo, outra abordagem:
F  1,2,3,4, 5,6,7,8
Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?
Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma
combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?
O mesmo exemplo, outra abordagem:
F  1,2,3,4, 5,6,7,8
Será que (3, -2, -7, 12) é um elemento de F?
Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de
(1,2,3,4) e (5,6,7,8)?
Se tal se verificar a característica da matriz 34 que tem
estes 3 vectores nas suas linhas terá que ser 2.
O mesmo exemplo, outra abordagem:
2
3
4
1
5

6
7
8


3  2  7  12
2
3
4
1
0  4  8  12


0  8  16  24
O mesmo exemplo, outra abordagem:
2
3
4
1
5

6
7
8


3  2  7  12
2
3
4
1
0  4  8  12


0  8  16  24
2
3
4
1
0  4  8  12 car( A)  2


0
0
0
0
Como saber qual o espaço gerado por
um conjunto de vectores?
F  1,2,3,4, 5,6,7,8
Como saber qual o espaço gerado por
um conjunto de vectores?
 1 2 3 4
 5 6 7 8


 x y z w
Agora ver quais as condições sobre x, y, z e
w para que a última linha da matriz em
escada seja nula
Como saber qual o espaço gerado por
um conjunto de vectores?
 1 2 3 4
 5 6 7 8


 x y z w
2
3
4
1
0  4


8

12


0
0 x  2 y  z 2 x  3 y  w
Como saber qual o espaço gerado por
um conjunto de vectores?
 1 2 3 4
 5 6 7 8


 x y z w
2
3
4
1
0  4


8

12


0
0 x  2 y  z 2 x  3 y  w
 x  2y  z  0

2 x  3 y  w  0
 z  x  2 y

w  2 x  3 y
Como a última linha ficou nula pode-se
concluir que é combinação linear das
anteriores.
(Só não se sabe quais são os
coeficientes da combinação linear, para
o saber é preciso resolver o sistema
como se fez antes)
Os coeficientes da combinação linear de
um vector em relação a uma base
chamam-se coordenadas do vector