Inferência
estatística
Estimação de Parâmetros
Estimação de
parâmetros
universo do estudo (população)
dados observados
O raciocínio indutivo da estimação
de parâmetros
Estimação de Parâmetros
População

Amostra
pˆ

X
2
S2
p
pˆ
(parâmetros: números
reais desconhecidos)
(estatísticas / estimadores:
variáveis aleatórias)
Estimação de Parâmetros
Pontual  Estima-se apenas um valor
para o parâmetro.
(p = pˆ )
Intervalar  Estima-se um intervalo de
valores onde deve-se encontrar o
parâmetro (intervalo de confiança).
(p = pˆ ± erro amostral)
Estimação de uma proporção p
Estimador pontual:
pˆ
Relação entre o parâmetro
p e a estatísticapˆ
Relação entre p e pˆ
População
30%
contrários
Amostra aleatória com
n = 400 indivíduos
70%
favoráveis
Calcula-se pˆ
Simulou-se 100 amostras desta forma
f reqüência
ˆ
Relação
entre
p
e
p
20
15
10
5
0
0,64
0,66
0,68
0,70
0,7 0,72
0,74
0,76
v alor calculado de P
Em geral, erro amostral < 0,05
Em geral, o intervalo pˆ  0,05 contém p
Relação entre p e pˆ
Desde que a amostra seja aleatória e
razoavelmente grande (n > 30), tem-se:
possíveis valores de pˆ seguem uma
distribuição (aproximada) normal com
média e desvio padrão dados por
 Os
pˆ = p
p.(1 p)
 pˆ =
n
Distribuição de pˆ
 95%
p
p  2pˆ
No exemplo distribuição de pˆ
 95%
pˆ
= 0,70
 = 0,024
pˆ
0,70
 0,65
0,70  0,048
p  2pˆ
 0,75
p.(1 p)
 pˆ =
n
Estimação de uma proporção p
Na prática, estima-se o erro padrão da proporção
por
pˆ .(1 pˆ )
S Pˆ =
n
Estimação de uma proporção p
Intervalo de 95% de confiança
para p:
Ex.
p  2Sp
pˆ .(1 pˆ )
onde: S ˆ =
P
n
n = 400 acusando 268 favoráveis ==>
0,67.(1 0,67)
SPˆ =
 0,0235
400
pˆ = 0,67
I. C.: 0,67  0,047
ou: 67,0%  4,7%
Estimação de p (exemplo)
Com 95% de confiança a
verdadeira proporção de
favoráveis está no intervalo
67,0%  4,7%
(ou de 62,3% a 71,7%)
 95%
População
30%
contrários
70%
favoráveis
0,70
0,67
0,70  0,048
p  2p
Pela teoria:
possíveis
valores de p
Nível de confiança
área interna =
= nível de
confiança
desejado
-Z
0
Z
PARTE DE UMA TABELA NORMAL PADRÃO
Área
0,800 0,900 0,950 0,980 0,990 0.995 0,998
z
1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090
Intervalo
de conf.
pˆ ± z . Spˆ
Estimação de uma proporção p
Tamanho N da população conhecido
Faz-se a seguinte correção no
cálculo do erro padrão:
pˆ .(1 pˆ ) N  n
SPˆ =
n
N 1
Se N >> n, pode-se usar a expressão anterior.
Exercício
Numa amostra aleatória simples de 120
domicílios, realizada num certo bairro da cidade,
observou-se que apenas 33,3% possuíam
instalações sanitárias adequadas. Considerando
que existam 460 domicílios no bairro, encontre um
intervalo de 95% de confiança para a proporção
de domicílios com instalações sanitárias
adequadas.
Solução
pˆ .(1 pˆ ) N  n
SPˆ =
n
N 1
pˆ ± z . Spˆ
 (0,0430)(0,8607)  0,037
120
460

1
S Pˆ =

0,333.(1 0,333) 460  120
2S = 2(0,037) = 0,074
Intervalo de 95% de confiança para :
33,3%  7,4%
Estimação de uma média 
Estimador pontual:
X
Relação entre o parâmetro 
e a estatística X
Relação entre  e X
Desde que a amostra seja aleatória e
razoavelmente grande (n > 30), tem-se:
possíveis valores de X seguem uma
distribuição (aproximada) normal com
média e desvio padrão dados por
 Os
X = 
X =

n
Distribuição de X
 95%

  2X
Estimação do erro padrão
da média
SX =
SX =
S
n
S
n
para N desconhecido
ou muito grande
Nn
N 1
para N conhecido
e não muito grande
Intervalo de confiança
para a média 
X  t.SX
X
média da amostra
SX
t
erro padrão da média
abscissa da distrib. t com gl = n - 1
A distribuição t de Student
normal
t

0
t
A distribuição t de Student
Distribuição t com gl = 1
gl
Área cauda sup.
0,025
2,5%
95%
0
2,5%
t
1
12,706
===> t = 12,706
Tamanho da amostra para
estimar uma Média
Considere o intervalo de confiança para :
X  z. X
onde  X 

n
erro máximo (E) E : erro amostral
0
máximo especificado
a priori.
Tamanho da amostra para
estimar uma Média
z .
2
Cálculo inicial:
n = n0
n0 =
E0
2
2
se N é muito grande ou desconhecido
N . n0
n=
se N não for muito grande e
N +n 0
for conhecido
Tamanho de Amostras
Avaliação “a priori” do desvio padrão:
 Estudos
passados
 Amostra
piloto
 Fixando-se
um valor teórico
Tamanho da amostra para
estimar uma Proporção
n0 =
n = n0
z .p(1  p)
2
Cálculo inicial:
E0
2
se N é muito grande ou desconhecido
N . n0
n=
se N não for muito grande e
N +n 0
for conhecido
Tamanho da amostra para
estimar uma Proporção
Estimação “a priori” da proporção p:
 Estudos
passados
 Amostra
piloto
 Fixando-se
um valor teórico (0,5)