Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 19
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne
Santos de Assis
Aula 19

Introdução a intervalos de confiança

Margem de Erro e Erro Padrão da Média

Cálculo do tamanho da amostra para
Média
Introdução a intervalos de confiança
Vimos pelo teorema central do limite  se tomarmos
amostras de tamanho n grande  surge uma
_
distribuição amostral das médias e X ~ N (m, s2/n)
No caso dos alunos, cada amostra de 5 alunos (n = 5)
é uma estimativa pontual do valor da população (N =
87 alunos)
Mais longe de m
Mais perto de m
X1
X2
X3
Média das médias =
X4
X5
X6
X7
X8
X9
mX = 1,7098  m, quando n  ∞
X10
Introdução a intervalos de confiança
_
X ~ N (m, s2/n)
cada média amostral é
uma estimativa
pontual
μX s X
μX  1,7098
X10  1,68
X4  1,78
Introdução a intervalos de confiança
Vamos falar agora de outra abordagem  estimativa
intervalar ou intervalo de confiança (IC)
Valor da população = Valor da amostra + Faixa
Estimativa pontual
Parâmetro
X E  m  X E
IC
IC
Margem de erro
m  X E
Introdução a intervalos de confiança
Nível de
confiança
X
-E m
IC
X
+E
Introdução a intervalos de confiança
Interpretação do IC
Se um no infinito de amostras aleatórias for coletado
e um IC de 95% (ou 90% ou 80% ...) para q for
calculado a partir de cada amostra, então 95% (ou
90% ou 80% ...) desses intervalos conterão o valor
verdadeiro de q (nosso caso m)
q
Na prática, tomamos uma
amostra de tamanho
conveniente e dizemos há
95% de chance de que o IC
de nossa amostra conter q
(m em nosso caso)
Introdução a intervalos de confiança
NC = 1 - a
a/2
a/2
Estamos confiantes 100.(1 – a)% de
que m estará no IC
Margem de erro e erro padrão da média
Nível de confiança (NC)  probabilidade que nos diz
o quanto estamos confiantes de que m estará no IC
Se NC for de 95%  estamos confiantes 95 % de
que m estará na faixa
X E  m  X E
X  scores X  m  X  scores X
_
X ~ N (m, s2/n)
μX s X
E  score  s X
Erro Padrão da Média
Margem de erro e erro padrão da média
O que é o score?
Vimos que A Distribuição amostral das médias se
aproxima da curva normal para n suficientemente
_
grande (n > 30), da forma seguinte X ~ N (m, s2/n)
Logo podemos utilizar a curva normal
padrão com a variável reduzida z
X μ
z
~ N (0,1)
σ/ n
μX s X
score = z ou ainda score = zc
E  zc s X
σ
E  zc 
n
Margem de erro e erro padrão da média
NC = 1 - a
a/2
a/2
σ
zc 
n
-zc
Estamos confiantes
100.(1–a)% de que m
estará no IC
zc
NC
90%
95%
99%
zc
1,645
1,960
2,575
Margem de erro e erro padrão da média
Exemplo: uma pesquisa foi realizada para se estimar
a renda média familiar, em uma população com desvio
padrão de R$ 50,00.
Para isto tomou uma amostra de 80 famílias. A média
nesta amostra foi de R$ 500,00. Adotou-se 95% de
NC. Pergunta-se:
a)Qual a estimativa pontual da média populacional?
b) Qual a margem de erro da pesquisa?
c) Qual o IC?
Margem de erro e erro padrão da média
a) X  500 reais
σ
50
 1,96
 10,96
b) E  zc 
n
80
c) X - E < µ < X + E
500 - 10,96 < µ < 500 + 10,96
489,04 < µ < 510,96
Com 95% de confiança
Margem de erro e erro padrão da média
Exemplo: Se o desvio padrão da estatura dos alunos
do Ctec é de 0,09 m, qual a média populacional com o
NC de 90%, tomando uma amostra de 30 alunos e
média amostral de 1,71?
Estimação da média para s desconhecido
Atenção
Preciso de
Para m
Para s
Preciso de s
Então substituo s por s (desvio padrão amostral)
s
E  zc 
n
Esta troca gera problemas se a
amostra for pequena  n pequeno
Estimação da média para s desconhecido
X μ
X μ
por outro t c 
Se substituirmos zc 
σ/ n
s/ n
o efeito será uma má estimação de m para n pequeno
Usaremos para compensar amostras pequenas a
Distribuição t de Student
Como é esta distribuição (comparando com a
curva normal padrão) ...
Distribuição t de Student
Ela é diferente para tamanhos de
amostras diferentes
Ela tem a mesma forma geral da DN padrão, mas é
mais larga com pequenas amostras
Distribuição t de Student
À medida que n aumenta, a ela se
aproxima da DN padrão
Ela também
tem uma
média de t = 0
Mas o desvio padrão da distribuição t de Student
varia com o tamanho amostral e é maior que 1
Distribuição t de Student
Uso da tabela da curva t
1) Tem que ser dado o valor de n e o NC
2) Em seguida calcula-se o número de graus de
liberdade  gl = n - 1
3) Pegar o valor de tc
Estimação da média para s desconhecido
Exemplo: pesquisa para se estimar a renda média
familiar. Tomou-se uma amostra de 80 famílias. A
média nesta amostra foi de R$ 800,00 e o desvio
padrão foi de R$ 100,00. Adotou-se 95% de NC.
Pergunta-se:
a)Qual a estimativa pontual da média populacional?
b) Qual a margem de erro da pesquisa?
c) Qual o IC?
Estimação da média para s desconhecido
a) X  800 reais
s
100
 tc 
b) E  t c 
n
80
Número de graus de liberdade:
gl = n – 1 = 79  curva t: 2 caudas 0,05, tc = 1,99
s
100
E  tc 
 1,99 
 22,25
n
80
c) 800 – 22,25 < µ < 800 + 22,25
777,75 < µ < 822,25
Com 95% de confiança
Tabela da distribuição t de Student
Tabela da distribuição t de Student
Tabela da distribuição t de Student
Cálculo do tamanho da amostra n
Quando planejamos uma pesquisa, fazemos o inverso:
Adotamos E e calculamos n
População Infinita
População Finita  n ≤ 5% N
n
2
 zα/2  σ 
n  

 E 
N  σ  zc 
N  1  E
2
2
2
 σ  zc 
2
Pode-se adotar o desvio padrão amostral para se
determinar n  depois, deve-se calcular a E
verdadeira
2
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