A teoria antropológica do
didático
Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud
PUC/SP
Rupturas provocadas pelas teoria
das situações
• uma primeira ruptura: matemática como a essência dos
fenômenos didáticos
• Segunda ruptura:O desejo de elaborar uma ciência
desses fenômenos, o que levou a explicitar os modelos
utilizados e submetê-los às leis de uma “epistemologia
experimental;
• Terceira ruptura epistemológica fundamental: Ela
supõe, de fato, que os conhecimentos matemáticos só
podem ser compreendidos através das atividades que
eles permitem realizar, ou então através dos problemas
que permitem resolver
Rupturas provocadas pela teoria
das situações(Cont.)
• Além disso, trata-se de uma atividade
estruturada, na qual se pode destacar diferentes
fases: ação, formulação e validação, bem como
a devolução e a institucionalização.
Transposição didática
• Nesse sentido, a noção de transposição didática, deve
ser interpretada como desenvolvendo a dupla ruptura
epistemológica provocada pela teoria das situações, pois,
essa noção mostra que o saber matemático (saber
científico, ensinado ou a ensinar) está no centro de toda
problematização didática.
• A conseqüência desse fato é que esse saber jamais pode
ser considerado algo inquestionável e que as pesquisas
em Didática da Matemática serão condicionadas pelo tipo
de modelização escolhida.
A modelização antropológica da
matemática
• A “ antropologia Didática da Matemática” estudo do
homem frente a situações matemáticas.
• No inicio a teoria da transposição didática situa o saber
matemático num projeto de uma análise epistemológica
do saber do ponto de vista didático.
• Essa análise se enuncia essencialmente em termos de
objetos de saber, os quais são divididos simplesmente
em objetos matemáticos, protomatemáticos e
paramatemáticos.
Didática da matemática sob o ponto
de vista antropológico
• considera o seguinte: tudo é objeto, fazendo a distinção dos
tipos de objetos particulares: as instituições, os indivíduos e as
posições que os indivíduos ocupam nas instituições. Os
indivíduos são os sujeitos das instituições.
•
O conhecimento - e o saber como sendo uma certa forma
de organização de conhecimentos- entra então em jogo com a
noção de “rapport”: um objeto existe se um sujeito ou uma
instituição o reconhece.
• A noção de “rapport” trata das práticas sociais que se realizam
na instituição e que envolvem o objeto em questão.
Chevallard Postula
• As noções de (tipo de) tarefa, (tipo de) técnica,
tecnologia e teoria, vão permitir modelizar as práticas
sociais em geral e, em particular, a atividade
matemática. Para usar essa teorização, baseia-se em
três postulados:
• 1- “Toda prática institucional pode ser analisada, de
diferentes pontos de vista e de diferentes maneiras, em
um sistema de tarefas relativamente bem
delineadas....”.
Postulado 2
2“O cumprimento de toda tarefa decorre do
desenvolvimento de uma técnica”
A palavra técnica sendo usada como uma “maneira de
fazer” particular e não sendo um procedimento estruturado e
metódico, ou algoritmo, caso particular de uma técnica.
O “rapport” institucional a um objeto, para uma dada posição
institucional, depende do conjunto de tarefas que as
pessoas, ocupando essa posição, devem cumprir pelo uso
de determinadas técnicas.
Postulado 3
• “a ecologia das tarefas, quer dizer, as condições e
entraves que permitem sua produção e sua utilização
nas instituições”.
• Supõe-se que, para existir numa instituição, uma
técnica deve ser pelo menos compreensível, legível e
justificada. Trata-se aqui de uma condição mínima para
permitir o seu controle e garantir a eficácia das tarefas
feitas, que são geralmente tarefas supondo a
colaboração de vários atores.
Postulado 3(cont.)
• Essa condição (exigências) ecológica implica
então a existência de um discurso descritivo e
justificativo das tarefas e técnicas que Bosch
e Chevallard chamam a tecnologia da técnica.
• Toda tecnologia precisa também de uma
justificação, que os autores chamam a teoria da
técnica.
Noção de praxeologia
Um conjunto de técnicas, de tecnologia e de
teorias organizadas para um tipo de tarefa,
forma uma organização “praxeológica” (ou
praxeologia) pontual.
Exemplo de organização praxeológica
Por exemplo, no Ensino Médio, pode-se falar:
• de uma organização praxeológica pontual no que diz respeito à
resolução de um dado tipo de problema de proporcionalidade organização que responderia à seguinte questão “como
resolver um problema desse tipo?”;
• de uma organização local no que diz respeito à resolução de
diferentes tipos de problemas de proporcionalidade;
• enfim, de uma organização regional, no que diz respeito, por
exemplo, à noção de função numérica (que envolve todo um
campo da Matemática ensinada no Ensino Médio).
O problema da natureza dos objetos
• O problema da “natureza” dos objetos matemáticos e o de seu
funcionamento na atividade matemática, levou a distinguir dois
tipos de objetos: os objetos ostensivos, e os objetos nãoostensivos.
• objetos ostensivos, para se referir a todo objeto tendo uma
natureza sensível, uma certa materialidade, e que, desse fato,
tem para o sujeito uma realidade perceptível.
• Os objetos não-ostensivos são todos esses “objetos” que, como
as idéias, as instituições ou os conceitos, existem
institucionalmente sem que, no entanto, eles sejam vistos, ditos,
escutados, percebidos ou mostrados por conta própria.
Objetos não-ostensivos
Eles só podem ser evocados (interpretados) ou invocados
pela manipulação adequada de certos objetos
ostensivos associados (uma palavra, uma frase, um
gráfico, uma escrita, um gesto, ou um discurso).
Assim os objetos “função” e “primitiva de uma função” são
objetos não-ostensivos que apreendemos a identificar e
a ativar por meio de certas expressões, escritas, e
gráficos colocados em jogo nas práticas e situações
específicas.
A dialética do ostensivo e do nãoostensivo
• Bosch e Chevellard (1999) usam o termo genérico
“manipulação” para designar os diversos usos possíveis dos
objetos ostensivos pelo sujeito.
• A diferença entre “objetos ostensivos” e “objetos não-ostensivos”
reside no fato dos objetos ostensivos podem ser manipulados.
• A notação de log e a palavra “logaritmo” são objetos ostensivos.
Mas a noção de logaritmo é um objeto não-ostensivo, é
impossível manipulá-la (no sentido acima). Pode-se torná-la
presente - apresentá-la - pela manipulação de certos objetos
ostensivos associados, tal que a notação log, por exemplo.
Voltando à abordagem
antropológica
• dizemos que o desenvolvimento de uma técnica se
traduz pela manipulação de objetos ostensivos
regulados pelos objetos não-ostensivos.
• Os objetos ostensivos constituem a parte perceptível da
atividade.
• A percepção dos ostensivos é natural explica, na
maioria dos casos,  a teoria das situações
evidenciou sob o nome de estratégias didáticas de
ostensão.
Co-ativação dos objetos ostensivos
e não-ostensivos
• A co-ativação de objetos não-ostensivos e de objetos
ostensivos é sempre presente e aparece em todos os
níveis da atividade, bem como em nível da técnica e de
seu ambiente tecno-teórico.
• A técnica que conduz a escrever (x3 + x + 1) + (x2 + 4x 2) = -1+ 5x +x2(1 +x) supõe uma manipulação de
objetos ostensivos escritos (parênteses, letras, cifras,
etc.), orais (pequenos discursos do tipo “x mais 4x,
5x....”) e gestuais (por exemplo para agrupar os termos
de mesmo grau e verificar que não se esqueceu de
nenhum).
Continuação
• Essa manipulação é monitorada por objetos
não-ostensivos, dentre dos quais a noção de
arranjos de termos por ordem decrescente dos
expoentes, a noção de “termos (ou monômios)
de mesmo grau, a noção de “fatoração por x2”,
ou ainda a noção de “resto de ordem 2”, etc.
Cont.
• Na análise da atividade matemática, a dialética
ostensivo/não-ostensivo é geralmente concebida em
termos de signos e de significação: os objetos
ostensivos são signos de objetos não-ostensivos que
constituem o sentido ou a significação.
• Os autores caracterizam os diferentes objetos
ostensivos pelo registro (oral, da escrita, gráfico,
gestual, material).
A dimensão ostensiva da atividade
matemática
• A noção de registro ostensivo bem como a importância
da articulação dos registros ativados no
desenvolvimento de uma praxeologia matemática
devem ser relacionadas à noção de registro de
representação semiótica proposta por Raymond Duval
na sua abordagem cognitiva da aprendizagem da
Matemática e do princípio segundo o qual a
mobilização de uma pluralidade de registros tem um
papel fundamental em Matemática.
Diferença entre as duas abordagens
• Duval o objeto de estudo o “funcionamento cognitivo
decorrendo da aquisição de conhecimentos
matemáticos”;
• Faz uma distinção clara entre a descrição da atividade
matemática e a do funcionamento cognitivo dos sujeitos
que realizam essa atividade;
• Questão essencial: o estudo das operações cognitivas
necessárias ao desenvolvimento dos diferentes tipos de
tarefas matemáticas
Diferença entre as duas
abordagens(continuação)
• Critica de Chevallard: Ora, no estudo desse
funcionamento cognitivo, considera-se a tarefa
como sendo evidente, como se as tarefas
matemáticas em si fossem já descritas e bem
decompostas como tarefas matemáticas.
Continuação
• É nesse ponto que as duas teorizações se diferenciam.
• O que é apresentado como sendo uma mudança de
registros que só dependeria do funcionamento cognitivo
do sujeito, é visto na teorização de Chevallard como
sendo uma prática cuja realização efetiva deve ser
ligada à existência de uma praxeologia matemática
local construída em torno de um dado tipo de problema
e cujos erros de execução não podem ser entendidos
sem, de antemão, conhecer os elementos dessa
praxeologia que foram disponibilizados aos alunos
observados.
Estudo comparativo entre três abordagens
teóricas: teoria das situações, a teoria
antropológica e a dialética ferramenta-objeto
• Perrin-Gloriam (1999), fez um estudo
comparativo entre três abordagens teóricas: a
teoria das situações (Brousseau) a teoria
antropológica (Chevallard) e a dialética
ferramenta-objeto (Douady). Ela apresenta uma
tabela resumindo os pontos comuns e as
diferenças entre essas teorizações.
Momentos na teoria antropológica
Primeiro encontro:
A obra ou a organização praxeológica
começa a existir para o aluno, mais
freqüentemente pela emergência de
um campo de problemas, de um tipo
de tarefas.
Exploração do tipo de tarefas e
elaboração de uma técnica:
Fazer conjecturas, resolver problemas
particulares do campo, utilizar uma
técnica matemática para resolvê-los.
Constituição
do
ambiente
tecnologia-teoria relativo ao tipo de
tarefa.
Este momento está em inter-relação
estreita com cada um dos outros
momentos. Em geral, a primeira etapa
nas estratégias de direção de estudo
tradicional.
Fases da dialética ferramenta-objeto
a) antigo: o enunciado do problema tem sentido para
os alunos. Eles podem mobilizar objetos conhecidos
do saber como ferramentas explícitas para engajar
um procedimento de resolução ou resolver
efetivamente uma parte do problema.
Trabalho técnico: melhorar a técnica
para torná-la mais eficaz e mais
eficiente e aumentar sua dominação.
Institucionalização: explicitar
exatamente o que é a organização
matemática elaborada.
e) Institucionalização: o mestre dá um estatuto de
objeto a alguns dos conhecimentos explicitados.
b) Pesquisa: o problema não pode ser resolvido
totalmente pelos conhecimentos antigos. O objeto do
ensino é a ferramenta adequada para resolver o
problema.
c) Explicitação-institucionalização local:
confrontação das produções e justificação das
declarações. Certos elementos que tiveram um papel
importante na etapa anterior estão formulados, seja
em termos de objeto, seja em termos de prática com
suas condição de emprego do momento. A
despersonalização está engajada, mas não a
descontextualização.
f) Familiarização-reinvestimento: exercícios
usando como ferramenta o saber institucionalizado
Teoria das situações didáticas
Tipos de situações
Devolução de um problema: o professor deve
continuamente ajudar o aluno a tirar da situação
todos os artifícios didáticos. Estratégia básica
que permitirá compreender o problema e
reconhecer uma resposta ao problema.
Situação adidática de ação:
O conhecimento serve a tomar decisões para
tentar ganhar (a situação é modelizada por um
jogo).
Ele funciona como um modelo implícito da
ação.
Situação didática de formulação: a
comunicação é necessária para a ação sobre o
meio para ganhar.
Situação adidática de validação:
As mensagens trocadas com o meio são
asserções, teoremas, demonstrações.
Institucionalização: o professor define as
relações que podem existir entre as produções
dos alunos e o saber cultural ou científico e o
projeto didático: ele faz uma leitura de suas
atividades e lhes dá um estatuto.
Estatuto do conhecimento
Aspecto didático: conhecimento implícito no
problema a resolver. O professor sabe o
conhecimento envolvido, e poderá usá-lo para
negociar a relação didática.
Saber disponível para o professor, mas ainda não
para o aluno.
Modelo implícito:
O aluno precisa desse conhecimento para resolver
o problema, mas ele não precisa tomar consciência
disso.
O conhecimento funciona como uma noção
protomatemática.
Conhecimento formulado:
Existe uma linguagem para falar do conhecimento,
o que permite ao professor identificar o objeto e
torná-lo explícito. Para o aluno, é um
conhecimento paramatemático ainda não analisado.
Conhecimentos estruturados, com provas,
tomados como objeto de conhecimento com outros
conhecimentos. Ele toma para o aluno o estatuto de
conhecimento matemático.
Conhecimento institucionalizado: considerado
como adquirido e que é tratado como objeto. Se
retomarmos este conhecimento, será para aplicá-lo
ou tomá-lo como ponto de partida para a
construção de novos conhecimentos.
Comentários
• O processo pára na institucionalização na teoria das
situações,
• enquanto a dialética ferramenta-objeto prevê uma fase
de familiarização depois da institucionalização,
• a teoria antropológica prevê um momento de trabalho
da técnica antes da institucionalização. Além disso, a
teoria antropológica identifica a avaliação como um
momento a parte, mas ligado à institucionalização.
Comentários (cont.)
1. Na teoria das situações, tem-se:
• de um lado, características das situações que
determinam relações do aluno com o saber
• e por outro lado, características sobre o estado do
conhecimento em jogo dos alunos.
• A ação do mestre, para realizar as condições, só é
explícita no momento da devolução e da
institucionalização.
Comentários(continuação)
2. Na dialética ferramenta-objeto, percebe-se:
• transparecer o jogo do professor nas diferentes fases
que correspondem às ações diferentes do professor, bem
como às atividades diferentes do aluno, ao mesmo tempo
em que as condições sobre o problema correspondem a
características das situações concernentes o saber.
3. Na teoria antropológica, não se distinguem os papéis do
professor e do aluno nos diferentes momentos. Os
papéis do professor e do aluno estão presentes na teoria
antropológica, mas suas posições institucionais
diferentes correspondem a “rapports” diferentes ao saber.