Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
SINAIS E SISTEMAS
• Sinais
O que são sinais?
Transformações lineares da variável independente
Reflexão em relação à origem; Mudança de escala; Translação no tempo.
Propriedades dos sinais
Paridades; Periodicidade.
Sinais contínuos básicos
Impulso unitário de Dirac; Escalão unitário; Exponencial complexa.
Sinais discretos básicos
Impulso unitário; Escalão unitário; Exponencial complexa.
• Sistemas
Sistema físico, modelo, representação matemática.
Propriedades dos sistemas
Sistemas com e sem memória; Invertibilidade e sistema inverso;
Causalidade; Estabilidade; Invariância temporal; Linearidade.
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais e Sistemas
automóvel
circuito elétrico
sinal de entrada: posição do acelerador
sinal de saída: velocidade do veículo
sinais: tensões e correntes
máquina fotográfica
microfone
luz
sinal de entrada: luz
sinal de saída: fotografia
DEEC/ IST
sinal de entrada: fala (pressão acústica)
sinal de saída: corrente eléctrica
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais e Sistemas
Sismologia
Sinal contínuo: domínio real
Electrocardiograma
Fala
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
DEEC/ IST
Sinais e Sistemas
Sinal discreto: domínio inteiro
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais e Sistemas
Sinal discreto: domínio inteiro
Amostragem de sinal analógico
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independente
O sinal y relaciona-se com o sinal x através de uma
transformação linear da variável independente quando
DEEC/ IST
y t   x  at  b 
a , b  R 
- sinal contínuo
y  n   x  an  b 
a , b  Z 
- sinal discreto
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independente
Inversão temporal (ou reflexão em relação à origem)
y n   x  n 
y t   x   t 
Exemplo: passagem de fita magnética em sentido inverso ao de gravação mas à mesma velocidade
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independente
Mudança de escala
Sinal contínuo: y t   x at 
a  R 

Exemplo: passagem de fita magnética a uma velocidade diferente da original
DEEC/ IST
 a  1 : fita tocada a velocidade superior
compressão temporal
 a  1 : fita tocada a velocidade inferior
expansão temporal
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independente
Mudança de escala
Sinal discreto:
y n   x an 
a  Z 

 No caso discreto só faz sentido falar em compressão temporal  a  1  ;
 Na compressão temporal de um sinal discreto há sempre perda de informação.
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independente
Translação no tempo
y n   x n  b 
b  Z 
b  0 : atraso
y t   x t  b 
b  R 
b  0 : avanço
Exemplo: propagação de um sinal entre dois pontos distantes no espaço
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independente
 1

y t   x   t  2 
 2

z t   x t  2 
x t 
w t   z   t   x   t  2 
z(t)
x(t)
1 --
w(t)
1 -1
t
-2
1 --
-1
1
t
t
1 
y t   w  t 
2 
y(t)
1 -2
DEEC/ IST
2
4
t
 1

 x  t  2 
 2

Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independente
y(t)
x(t)
1
1--
-2
2
1. Compressão temporal: z t   x  2 t 
t
3
1
2. Inversão temporal: w t   z   t 
w(t)
z(t)
1
1
-1
3. Translação no tempo:
DEEC/ IST
1
t
t
-1
1
t
y  t   w ( t  2 )  z   t  2    x   2  t  2    x   2 t  4 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sinais: Paridades
Um sinal diz-se par quando
x t   x   t 
x n   x  n 
Um sinal par é simétrico em relação à origem
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sinais: Paridades
Um sinal diz-se ímpar quando
x t    x   t 
x n    x  n 
Se um sinal ímpar estiver definido para o instante t=0 então x(0)=0
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sinais: Paridades
Qualquer sinal x pode ser decomposto na soma de um sinal par com um sinal ímpar
x t   x p t   x i t 
x p t  
em que
1
2
 x t   x  t 
x i t  
e
1
2
 x t   x   t 
x(t)
2 -1 -1
2
t
xi(t)
2
t
--
--
1
2 -1 --
--
--
-1
-1
--
--
-2
--
-2
-DEEC/ IST
--
2 -1 --
--
xp(t)
-- -1 1
2
t
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sinais: Periodicidade
Sinal periódico sse
T, N - periodo
 t  R,  T  0 : x t   x t  T 
T  R 
 n  Z,  N  0 : x  n   x n  N 

N  Z 

x t 
…
…
2
1
0
1
2
3
t
 Um sinal periódico é um sinal bilateral;
 Se x(t) é periódico com periodo T, também é periódico com periodo 2T, 3T, 4T…
 Periodo fundamental T0 é o menor valor positivo do periodo.
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: escalão unitário
discreto
contínuo
0
u 1 t   
1
;
t0
;
t0
0
u 1  n   
1
;
n0
;
n0
u  1 t 
…
1
u 1  n 
…
t
DEEC/ IST
…
…
1
0
2
4
6
8
10 12 14
n
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: impulso unitário de Dirac
Função generalizada definida de forma explicita por
 t  
d
u  1 t 
dt
ou de forma implícita por
u  1 t  

t

   d 
O impulso unitário de Dirac é nulo para  t  0 ;
 Em t  0 o impulso unitário de Dirac tem amplitude infinita;
 O impulso unitário de Dirac é caracterizado por ter área unitária, i.e.,



DEEC/ IST
 t  dt  1
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: impulso unitário de Dirac
representação gráfica
 t 
propriedades
1
x(t)
t
0
(t-t0)
(t)
aproximação
0
t0
t
x t  t   x  0  t 
x t  t  t 0   x t 0  t  t 0 
área=1
área=1
x t  
DEEC/ IST



x   t    d 
área=1
área =1
0
t
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: impulso unitário discreto
0
 n   
1
;
n0
;
n0
relação com o escalão unitário
  n   u 1  n   u 1  n  1 
u 1  n  
n
  k 
k  
…
 n 
…
1
0
n
propriedades

  n   1
n  
x  n   n   x 0   n 
x n  n  n 0   x n 0  n  n 0 
x n  

 x k  n  k 
k  
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa contínua
x t   Ce
at
x t   C e
DEEC/ IST
j
 Ce e
rt
 r  j  0 t
cos  0 t    
 Ce e
rt
j  0 t  

j sin  0 t   
C  Ce
j
a  r  j 0
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa contínua
x t   Ce
I.  0
C  Ce
 0,   0

C  C  0, a  r
x t   C e
DEEC/ IST
rt
at
j
a  r  j 0
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa contínua
II.
r 0
x t   C e
DEEC/ IST

j  0 t  
C  Ce

j
, a  j 0
 C cos  0 t     j sin  0 t   
x t   Ce
C  Ce
at
j
a  r  j 0
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa contínua
O sinal x t   e
x t   e
j 0 t
j 0 t
e
 cos  0 t   j sin  0 t  é periódico?
j 0  t  T

 x t  T 

e
j 0T
 1   0T   2 k , k  Z   T 
O sinal x t   e j
0t
2 k
0
,kZ

é sempre periódico;
O período fundamental é T 0 
2
0
;
Quanto maior for  0 , menor é T 0 e maior é a rapidez de oscilação.
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discreta
x  n   Ce
an
x n   C e
DEEC/ IST
j
 Ce e
rn
r 
j 0 n
 Ce e
cos  0 n    
rn
j  0 n 

j sin  0 n   
C  Ce
j
a  r  j 0
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discreta
I.
 0  2 k ,   0

x n   C e e
j 2  kn
rn
x  n   Ce
an
j
C  C  0 , a  r  j 2 k
C  Ce
 x n   C e
a  r  j 0
rn
1
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discreta
II.
 0   2 k  1  ,   0  C  C  0 , a  r  j  2 k  1 
x n   C e e
rn
j  2 k  1  n
 Ce e
rn
j 2 kn
1
DEEC/ IST
e
 j n
  1
x  n   Ce
C  Ce
an
j
a  r  j 0
 x  n     1 C e
n
rn
n
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discreta
III.
r 0
x n   C e
DEEC/ IST

j  0 n 
C  Ce

j
, a  j 0
x  n   Ce
C  Ce
an
j
a  r  j 0
 C cos  0 n     j sin  0 n   
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discreta
As exponenciais complexas x1 n   e j 0 n e x 2 n   e j   0  2  k n k  Z 
representam o mesmo sinal.
x 2 n   e
j   0  2 k n
e
j 0 n
e
j 2  kn
e
j 0 n
 x1  n 
1
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discreta
Quando
j 0 n
0
aumenta, a rapidez de oscilação de e
2 k    0   2 k  1  , e diminui para  2 k  1    0
Exemplo: x  n   Re e j
0n
aumenta para
 2 k   k inteiro  .
  cos  n 
0
 0  0 , 2 ...
0 
 3 5
,
2
0   ,
DEEC/ IST
,
2
...
2
3 ...
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discreta
O sinal x  n   e j
x n   e
j 0 n
e

e
j 0 N
0n
 cos  0 n   j sin  0 n  é periódico?
j 0  n  N

 x n  N 
 1   0 N  2 k , k  Z 
O sinal x n   e
j 0 n
é periódico sse
0
2
0
2

k
,kZ
N
é um número racional;
O período fundamental é o menor inteiro positivo tal que N 0 
2
2 k
0
;

A frequência fundamental é
 0 , em que k e N 0 não têm
N0
k
factores comuns.
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sistemas
sinal entrada
sistema
sinal saída
 Sistema contínuo: transforma sinais de entrada contínuos em sinais de saída contínuos;
 Sistema discreto: transforma sinais de entrada discretos em sinais de saída discretos.
Diagrama de blocos
paralelo
x
S1
S2
DEEC/ IST
série
+
S3
realimentação
S4
+
S5
y
S6
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
1. Memória
Um sistema diz-se sem memória quando a saída num dado instante de tempo
depende apenas da entrada nesse instante de tempo.
Exemplos:


i t 

i t 
DEEC/ IST
v t 

i t 
v t   Ri t 
R
i t 
v t  
y n   x n  1
sistema com memória
sistema sem memória
v t 
 
x n 
1
C
 i  d 
t

C
sistema com memória
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
2. Causalidade
Um sistema diz-se causal quando a saída num dado instante de tempo depende
apenas da entrada nesse instante de tempo e/ou de instantes anteriores.
Exemplos:


i t 

i t 
v t 

i t 
R
v t 
 
DEEC/ IST
C
v t   Ri t 
Todos os sistemas sem memória
são causais.
sistema causal
i t 
v t  
1
C

t

i  d 
sistema causal
x n 
y n   x n  1
sistema não causal
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
3. Invertibilidade e sistema inverso
Um sistema diz-se invertível quando sinais de entrada distintos conduzem a
sinais de saída distintos.
Exemplos:
y  t   2 x t 
x t 
1


w
t

y t   x t 
sistema
2
inverso
x n 
y t  
x t 


2
sistema não invertível
sistema invertível
t
y n   x n 
x n   
x  d 
y n 
d
y t   x t 
sistema w t  
dt
inverso
sistema invertível
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
4. Estabilidade
Um sistema diz-se estável (de entrada limitada/saída limitada) quando qualquer
entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e.,
 t ,  B x  0 : x  t   B x   t ,  B y  0 : y t   B y
x n 
Exemplos:
y  n   nx  n 
n
1
y n     x n 
2
x n 
x n   1  n  y n   n
limitado
sistema
instável
não limitado
sistema estável
x n   B x
1
 y n    
2
1
n
x n   B x
 Bx
x t 

t

x t   u  1 t   y t  
limitado
DEEC/ IST
y t  
x  d 

t

sistema
instável
u 1  d   tu 1 t 
não limitado
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
5. Invariância temporal
Um sistema diz-se invariante no tempo quando uma translação temporal no sinal
de entrada conduz à mesma translação temporal no sinal de saída, i.e.,
x t   y t   x t  t 0   y t  t 0 
Exemplo:
x t 
y t  
x 1 t   y 1 t  

x 2 t   y 2 t  
 x1 t  t 0 
DEEC/ IST
t



t

x  d 
Sistema invariante no tempo
x1  d   y1 t  t 0  
t

x 2  d  
 x1   t 0 

t


t  t0

x1  d 
x1   t 0 d  

t  t0

y 2 t   y1 t  t 0 
x1  d 

Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
5. Invariância temporal
Um sistema diz-se invariante no tempo quando uma translação temporal no sinal
De entrada conduz à mesma translação temporal no sinal de saída, i.e.,
x n   y n   x n  n 0   y n  n 0 
Exemplo:
n
x n 
1
y n     x n 
2
sistema variante no tempo
n
1
1
x1  n   y 1  n     x1  n   y 1  n  n 0    
2
2
n
1
1
x 2 n   y 2 n     x 2 n    
2
2
 x1 n  n 0 
DEEC/ IST
n  n0
x1  n  n 0 
y 2  n   y1  n  n 0 
n
x1  n  n 0 
 x1 n  n 0 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
6. Linearidade
Um sistema linear é aquele que possui a propriedade da sobreposição, i.e.,
x t  
x k t   y k t 
k
x k t   y t  
K
K
a
k
k 1
 1, 2 ,  , K 
a
k
y k t 
k 1
Exemplos:
n
1
y n     x n 
2
x n 
x  n   a 1 x1  n   a 2 x 2  n 
sistema não linear
x t   a 1 x 1 t   a 2 x 2 t 
x t 
y t   sin  x t 
y t   sin  a 1 x1 t   a 2 x 2 t 
a 1 y 1 t   a 2 y 2 t   a 1 sin  x1 t   a 2 sin  x 2 t 
n
1
y  n     a 1 x1  n   a 2 x 2  n 
sistema linear
2
n
n
1
1
 a 1   x1  n   a 2   x 2  n   a 1 y 1  n   a 2 y 2  n 
2
2
DEEC/ IST
y t   a 1 y 1 t   a 2 y 2 t 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
6. Linearidade
Um sistema linear é aquele que possui a propriedade da sobreposição, i.e.,
x t  
K
a
k
x k t   y k t 
k
x k t   y t  
K
k 1
Propriedade: sistema
 1, 2 ,  , K 
a
k
y k t 
k 1
linear   x ( t )  0
t

y t   0
Exemplo:
x t 
w t   3
y t   2 x t   3
x t   0  t  y t   3  t
sistema não linear
DEEC/ IST
t 

x t 
sistema
linear
z t   2 x t 
 y t  
t
2 x t   3

sistema incrementalmente linear
Isabel Lourtie