Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Root-Locus
Introdução
Equação característica; Condição de módulo e condição de argumento;
Regras para construção do root-locus para K  0
Regra 1: Número de ramos
Regra 2: Ponto de partida dos ramos
Regra 3: Ponto de chegada dos ramos
Regra 4: Troços sobre o eixo real
Regra 5: Simetria
Regra 6: Pontos de entrada/saída do eixo real
Regra 7: Ângulos de entrada e de saída do eixo real
Regra 8: Comportamento assimptótico
Regra 9: Soma dos polos da função de transferência em anel fechado
Regra 10: Ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero
Regras para construção do root-locus para K  0
Mapa polos/zeros da malha fechada
Zeros da malha fechada
Cancelamento polo/zero no root-locus
Root-locus em função de qualquer parâmetro
Projecto apoiado no root-locus
Isabel Lourtie
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Root-Locus
cadeia de acção
Introdução
Rs 

G s 
K
Y s 

H s 
O root-locus consiste na representação gráfica
dos polos de um sistema em cadeia fechada
como função de um parâmetro do sistema
(normalmente do ganho K )
Função de transferência em cadeia fechada:
KG s 
1  KG s H s 
cadeia de retroacção
função de transferência
em cadeia aberta
Polos da função de transferência em cadeia fechada: raízes de 1  KGs H s   0
equação característica
Isabel Lourtie
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Root-Locus
Introdução
Exemplo 1
Rs 
K
KG s H s  
ss  1

Y s 
1
s s  1
K

K 0
Equação característica:
K
 0  ss  1  K  0  s 2  s  K  0
ss  1
Ims 
1 1
Polos do sistema em cadeia fechada: s   
1  4K
2 2
s1
s2
0
0
1
14
1 2
1 2
1
1 2  j 3 2
1 2  j 3 2
Isabel Lourtie

j 3 2
<
K
K 1
K 0

1
>

K 0
<
K 1 4

Res 
<
1
K 1

j 3 2
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Introdução
Root-Locus
Equação característica: 1  KGs H s   0
Os pontos do plano complexo (plano s) que pertencem ao root-locus
são aqueles que verificam a condição
KGs H s   1

Condição de módulo: KGs H s   1
(permite calcular para cada ponto do root locus o correspondente valor de K )
Condição de argumento: argKGs H s   2k  1 ,
k  0,1, 2,
(permite determinar os pontos do plano complexo que pertencem ao root locus)
Isabel Lourtie
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Root-Locus
Introdução
Condição de argumento:
argKGs H s   2k  1 , k  0,1, 2,
Exemplo 1
argKGs H s   argK   args   args  1
KG s H s  
K
ss  1
0
Ims 
K 0
P

> 1 2
s
<
j 3 2
1

1   2  
Res 
j 3 2
Isabel Lourtie
args   1
args  1   2    1
<
1
2
<
s+1
 args   args  1  2k  1
Qualquer ponto do root locus satisfaz a
condição de argumento
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Root-Locus
Introdução
Condição de argumento:
argKGs H s   2k  1 , k  0,1, 2,
Exemplo 1
 args   args  1  2k  1
Ims 
K 0
P
2
<

> 1 2
<

1
j 3 2
Isabel Lourtie
 2    1
1   2  
Res 
<
1
j 3 2
Se o ponto P não pertencer ao root locus
a condição de argumento não é satisfeita
e, portanto, P não pode ser polo do
sistema em anel fechado
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Root-Locus
Introdução
Exemplo 1
KG s H s  
KGs H s  
K
ss  1
Ims 
K 0
KGs H s   1
Condição de módulo:
j 3 2
K  ss 1
K
1
ss  1
Qual o ganho K que conduz ao par de
polos complexos conjugados
1
s    j2
2
para o sistema em anel fechado?
<

<

Res 
<
1
> 1 2
j 3 2
K  s s  1 s   1  j 2
2
 1
 1

    j 2   j 2 
 2
 2


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1
17
4 
4
4
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Root-Locus
Introdução
Rs 

Exemplo 2
K' 0
Y s 
2
s s  1
K'

Rs 

2K '

1
s s  1
Y s 
Mesmo root-locus com K  2K '
Ims 
Apenas o ganho
se alterou
j 3 2
<

> 1 2
<

Res 
<
1
K 0
Exemplo 1
j 3 2
Rs 

K

1
s s  1
Y s 
17
K 17
1
Polos em s    j 2 : K   K '  
2
4
2 8
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Root-Locus
Caso geral
Root-Locus
m
N s 
G s H s  

Ds 
 s  z 
i
i 1
n
 s  p 
; mn
i
polinómios mónicos
i 1
m




s

z
i 
 
  2k  1
argKG s H s   arg K in1




s

p

i
 i 1

Condição de argumento:
m
n
i 1
i 1
arg K   args  zi    args  pi   2k  1
contribuição
dos zeros
Isabel Lourtie
contribuição
dos polos
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Root-Locus
Caso geral
Root-Locus
Condição de argumento:
m
n
i 1
i 1
arg K   args  zi    args  pi   2k  1
K 0 
m
n
 args  z    args  p   2k  1
i 1
i
i 1
i
nº ímpar de 
K 0 
m
n
 args  z    args  p   2k
i 1
i
i 1
i
nº par de 
A condição de argumento permite determinar os pontos do
plano que pertencem ao root-locus
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Root-Locus
Root-Locus
Caso geral
m
s  z 

N s 
G s H s  

;
Ds 
 s  p 
i
i 1
n
mn
i
i 1
Condição de módulo:
KG s H s   K
m
 sz
n
i
i 1
n
 s p
i
i 1
1
K 
 s p
i
i 1
m
 sz
i
i 1
A condição de módulo permite calcular o valor de K
correspondente a cada localização particular das raízes sobre o
root-locus
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
N s 
;
Ds 
n polos, m zeros, n  m
KG s H s   K
Equação característica:
1  KGs H s   0
Ds   KN s   0
polinómio de grau n
Regra 1 – Número de ramos
O número de ramos do root-locus é igual ao número de polos da função de
transferência em cadeia aberta.
Regra 2 – Ponto de partida dos ramos
Os ramos do root-locus começam nos polos da função de transferência em
cadeia aberta.
Equação característica para K  0 : Ds   0
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Equação característica do
sistema em cadeia aberta
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Condição de módulo:
KGs H s   1
Regra 3 – Ponto de chegada dos ramos
Os ramos do root-locus terminam (K   ) nos zeros da função de
transferência em cadeia aberta ou no infinito.
Gs H s  
1
K
lim Gs H s   lim
K 
K 
1
0
K
A função de transferência em cadeia aberta só se anula quando s toma o valor dos
zeros ou de infinito ( n  m )
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
m
Condição de argumento:
n
 args  z    args  p   2k  1
i
i 1
i
i 1
Regra 4 – Troços sobre o eixo real
Pertencem ao root-locus os pontos do eixo real que tenham à sua direita
um número ímpar de polos mais zeros.
Ims 
f1

f4
f3
s
f2

Res 
Contribuição do par de polos ou zeros
complexos conjugados: f1  f2  2  0
Contribuição de polos ou zeros reais:
 à direita do ponto s : f3  
 à esquerda do ponto s : f4  0
mz - nº zeros reais, n p- nº polos reais à direira de s
np
mz
 args  z    args  p   2k  1
i
i 1
mz  np é ímpar
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
i
i 1

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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Exemplo 1
Exemplo 2
Ims 
K
KG s H s  
s  10
KG s H s   K

 10
s3
ss  5
Ims 

5
Isabel Lourtie
Res 
3
0
Res 
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Regra 5 – Simetria
O root-locus é simétrico em relação ao eixo real.
Regra 6 – Pontos de entrada/saída do eixo real
Um ponto de saída do eixo real ocorre para um máximo relativo do ganho K
no domínio de s real. Um ponto de entrada no eixo real ocorre para um
mínimo relativo do ganho K no domínio de s real.
Ims 
Exemplo 3
KG s H s  
K
s  1s  5

5

1
Res 
Tem de haver um ponto
de saída do eixo real
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Exemplo 3 (cont.)
KG s H s  
Equação característica
K
s  1s  5
1
K
 0  s  1s  5  K  0
s  1s  5
 s  3  4  K
Ims 
No ponto de saída do eixo real
existe uma raiz real dupla.
O ponto de saída corresponde
ao maior valor de K para o
qual as raízes da equação
característica ainda são reais
Isabel Lourtie

5

1
Res 
s1, 2  3; K  4
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Equação característica: 1  K
N s 
Ds 
0 K 
Ds 
N s 
Os pontos de entrada/saída do eixo real satisfazem a equação:
dK
d  Ds  
 
0
ds
ds  N s 
condição necessária mas não suficiente
Ims 
Exemplo 3 (cont.)
KG s H s  
K
s  1s  5
K  s  1s  5

5
dK
 2s  6  0  s  3 (ponto de saída)
ds

1
Res 
s1, 2  3; K  4
Ganho no ponto de saída: K   s 1s  5
4
s 3
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Exemplo 4
KG s H s   K
Ims 
s  3
ss  2
3
K 

2
0
Res 
s s  2 
s3
Tem de haver um
ponto de entrada
no eixo real
Tem de haver um
ponto de saída do
eixo real
dK
2s  1s  3  ss  2

 0  s 2  6s  6  0  s1  3  3 ; s2  3  3
2
ds
s  3
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Exemplo 4 (cont.)
KG s H s   K
s  3
ss  2
3
 3 3
(ponto de entrada)
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Ims 
0

2
Res 
3 3
(ponto de saída)
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Quando a solução da equação dK ds  0 correspondente a um ponto
de entrada ou de saída do eixo real tem multiplicidade   1 , o
número de ramos que se cruzam nesse ponto é igual a  .
Exemplo 5
KG s H s  
K
ss  2s  1  j s  1  j 
Ims 
Ponto de saída do eixo real:
K  ss  2s  1  j s  1  j 


dK
 4 s 3  3s 2  3s  1  0
ds
s  1 (raiz tripla)
 1  3
Isabel Lourtie


2
1

j
0
Res 
j
4 ramos
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Regra 7 – Ângulos de entrada e de saída do eixo real
O ângulo entre dois ramos adjacentes que se aproximam (ou se afastam) do
mesmo ponto do eixo real é
2


O ângulo entre dois ramos adjacentes um chegando e outro partindo do
mesmo ponto do eixo real é

 

( - número de ramos que se cruzam num ponto do eixo real)
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Exemplo 5 (cont.)
KG s H s  
K
ss  2s  1  j s  1  j 
Ims 
 4


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2




2
 

 4

2
1

j


0
Res 
j
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Exemplo 6
KG s H s  
K
ss  1s  2
Ims 
1. Troços sobre eixo real
2. Ponto de saída do eixo real
K   s s  1s  2 
dK
  3s 2  6 s  2  0
ds
3
3
s1  1 
; s2  1 
3
3
s1   1,0 - ponto de saída do eixo real

s2   1,0
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
2
 2

0
1
Res 

3. Ângulo de saída do eixo real (2 ramos)


2
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Regra 8 – Comportamento assimptótico
 Quando K   , n  m ramos tendem para infinito.
 As assimptotas (rectas para que tendem os ramos do root-locus que
vão para infinito) cruzam-se num ponto do eixo real (centro
assimptótico)
A 
n
m
i 1
i 1
 polosde Gs H s   zerosde Gs H s 
nm
 O ângulo das assimptotas com o eixo real é dado por
fA 
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1  2k 
nm
; k  0,1, , n  m  1
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Exemplo 6 (cont.)
KG s H s  
K
ss  1s  2
n  m  3
4. Assimptotas
fA 
A  
1  2k    ;  ; 5
3
3
3
polos  zeros 0  1  2

 1
3
3
Ims 
assimptotas

2
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 1
0
Res 
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Exemplo 6 (cont.)
KG s H s  
K
ss  1s  2
Método 1: s  j verifica a condição de argumento:
Ims 
ponto de cruzamento
com o eixo imaginário

2
 arg j   arg j  1  arg j  2  

 1
0

2
 arctan   arctan
arctan   arctan
Res 

2

2
 


2
 2  s j 2



Kcrit   j 2 j 2 1 j 2  2  6
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Exemplo 6 (cont.)
KG s H s  
K
ss  1s  2
ponto de cruzamento
com o eixo imaginário
Método 2: s  j é solução da equação característica:
Ds   KN s   ss  1s  2  K  s3  3s 2  2s  K  0
Critério de Routh-Hurwitz
s3
s2
s1
s0
1
3
6K
3
K
2
K
linha de zeros
raízes imaginárias puras
6K
0
3
K 6
equação auxiliar: 3s 2  K  3s 2  6  0
sj 2
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Regra 9 – Soma dos polos da função de transferência em anel fechado
Se o excesso de polos-zeros da função de transferência da malha aberta for
maior ou igual a 2 (n  m  2 ), então a soma dos polos da função de
transferência da malha fechada é independente de K e igual à soma dos polos
da função de transferência da malha aberta
Exemplo 6 (cont.) KG s H s  
K
ss  1s  2
Ims 
K 6
s j 2
Para K  6 onde está o outro polo da f.t.c.f ?
3
3
i 1
i 1
 polosda f.t.c.a  polosda f.t.c.f

?

2

1
0
Res 
0 1  2  j 2  j 2  p3  p3  3
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
KG s H s   K
Exemplo 7
s 1
ss  1s  6
Ims 

6
Isabel Lourtie
2
1

1
Res 
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Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Regra 10 – Ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero
Determinados de modo a que a condição de argumento seja satisfeita.
m
Condição de argumento:
n
   
i
i 1
i 1
i
 2k  1
Ângulo de partida do polo j :
m
 j  2k  1    i 
i 1
Contribuição
angular dos zeros
Ângulo de chegada ao zero j :
m
i 1,i  j
i
1
1


n
  
Contribuição angular
dos restantes zeros
Isabel Lourtie

i
i 1,i  j
Contribuição angular
dos restantes polos
 j  2k  1 
Ims 
3  ?
n

ponto que se admite
pertencer ao root-locus
Res 
2
i
i 1
Contribuição angular
dos polos
 1  1   2  3  
 3    1  1   2
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Ims 
Exemplo 8 KG s H s   K
s4
ss  4  j 4s  4  j 4
1. Troço sobre eixo real
2. Assimptotas
 3
2k  1   ; 3
fA 
nm
A 
2
2
 polos  zeros
nm
0  4  j4  4  j4  4

 2
2
1
4

2
2
j4

1
Res 
 j4
3. Ângulo 3 de saída do polo complexo
 3     1   2  1   
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
2


2

3 

4
4
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus para K  0
Rs 
 Condição de módulo:
KGs H s   1
(não depende do sinal de K)
K 
1
Gs H s 

G s 
K
Y s 

H s 
 Condição de argumento:
argGs H s   2k , k  0,1, 2,
Apenas são alteradas as regras nas quais intervém a condição de argumento: regras 4
(troços sobre o eixo real), 8 (comportamento assimptótico) e 11 (ângulo de partida de
um polo ou ângulo de chegada a um zero).
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus
Regra
K 0
K 0
1
Nº ramos = Nº polos f.t.c.a. ( n )
2
Ponto de partida dos ramos = polos da f.t.c.a. (K  0 )
3
Ponto de chegada dos ramos = zeros da f.t.c.a. ou  ( K   )
4
5
Troços sobre o eixo real = pontos
do eixo real que tenham à sua
direita um número ímpar de polos
+ zeros.
Troços sobre o eixo real = pontos
do eixo real que tenham à sua
direita um número par de polos +
zeros.
Simetria = simétrico em relação ao eixo real

Pontos de entrada/saída do eixo real = pontos s  R tais que
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6
dK ds s  0
7
Ângulo entre dois ramos adjacentes que se cruzam no eixo real =
    (  nº ramos que se cruzam)
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus
K 0
Regra
K 0
Comportamento assimptótico =
fA 
8
1  2k 
fA 
nm
A  
9
10
2k
nm
polosf.t.c.a  zerosf.t.c.a
nm
Soma dos polos da f.t.c.f = soma dos polos da f.t.c.a ( n  m  2)
Ângulo de partida de um polo ou
ângulo de chegada a um zero =
Ângulo de partida de um polo ou
ângulo de chegada a um zero =
Polo:
Polo:
m
 j  2k  1    i 
i 1
Zero:
 j  2k  1 
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Comportamento assimptótico =
m
n

i 1,i  j
i 1,i  j
 j  2k    i 
i
i 1
Zero:
n
  
i
i 1
m
i
 j  2k 
m
n

i 1,i  j
i
n
   
i 1,i  j
i
i 1
i
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Regras para construção do Root-Locus
Exemplo 9
1
KG s H s   K
s s 2  2s  2

K 0

K 0
Ims 

1

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j

 j
Res 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Zeros da malha fechada
Root-Locus
Rs 

G s 
K
Y s 

Y s 
KG s 

Rs  1  KG s H s 
H s 
G s  
N G s 
D G s 
H s  
N H s 
D H s 
KN G s DH s 
Y s 

Rs  DG s DH s   KN G s N H s 
Os zeros da função de transferência em cadeia fechada são os zeros da função
de transferência da cadeia de acção e os polos da função de transferência da
cadeia de retroacção.
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Mapa polos/zeros da malha fechada
Rs 

K

Y s 
Rs 

K

s5
s 1
I
Rs 
1
ss  3
Exemplo
s5
ss  3
Y s 
1
s 1
II

K

s5
ss  1s  3
Y s 
mesma função de transferência em
cadeia aberta
KG s H s   K
s5
ss  1s  3
III
Mesmo Root-Locus
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Ims 
Mapa polos/zeros da malha fechada

Exemplo (cont.)
 3.4;  0.3  j1.7

 3 .4


1
I
Ims 
j1.7
 j1.7
Res 

1
II
 3 .4
5
III
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 3 .4


3
5

 3 .4
5
polos do anel fechado para K  2 :


1


j1.7

Res 
 j1.7
Ims 
j1.7
Res 
 j1.7


Ims 
j1.7
Res 
 j1.7
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Cancelamento polo/zero no root-locus
Rs  
1
s 1
K


Y s 
1
s
1
ss  1
K

Y s 
K

Rs  s  1s  K 
Y s 
 root-locus com 2 ramos
 1 dos polos não depende de K
s 1
KG s H s  
1
Y s 
s s  1

R s  1  K 1 s  1
s s  1
K

Rs  
Exemplo
K
s  1  K 1
ss  1
s
root-locus com apenas 1 ramo
pode cancelar-se?
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Cancelamento polo/zero no root-locus
Exemplo (cont.)
Zero de H(s)
KG s H s  
K
s  1
ss  1

pode cancelar-se?


1
Root-locus de KG s H s   K

Res 
ramo de dimensão nula,
i.e, polo da malha fechada
independente de K
Res 
1
s
Y s 
K

Rs  s  1s  K 
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1
Ims 
Polo fixo
Ims 
Polo de G(s)
NÃO
Rs  
K

1
s
1
s 1
Y s 
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Root-locus em função de qualquer parâmetro
Rs 

1
ss  3

Y s 
1  Gs H s   0
procurar escrevê-la na forma
1  W s   0
Equação característica:
s  1
s s  3
0
ss  3  1
s

0
ss  3
ss  3
1 
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Root-locus em função de :
1. Dada a equação característica do
sistema em cadeia fechada
 s 1
1
Exemplo

ss  3  1 
s
1


0
ss  3 
ss  3  1
s
0
s s  3  1
W s   
s
ss  3  1
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Root-locus em função de qualquer parâmetro
Exemplo
W s   
Root-locus em função de :
s
ss  3  1
2. Traçar o root-locus para o sistema
cuja função de transferência em
anel aberto é
ganho do
sistema
W s 
Polos do sistema em anel aberto: 
3
5

2 2
 0
 0
Pontos de cruzamento com o eixo imaginário:
s 2  3   s  1  0
Ims 
j
  3
  1
  3

sj
1
  5

1
Res 
Pontos singulares:
s 2  3s  1
 
s
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d s 2  1
 2 0
ds
s
s  1
j
  3
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs 
Objectivo 1: estabilidade absoluta

K s 

1ª tentativa: controlador proporcional
K s   K  0
G s  
Ims 
Y s 
1
s2
1
- sistema instável
s2
2 ramos; 2 assímptotas

A  
Res 
fA 
polosf.t.c.a  zerosf.t.c.a
1  2k 
nm
nm

0

2
Não resulta: polos sobre o eixo imaginário
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Objectivo 1: estabilidade absoluta
Rs 

K s 

2ª tentativa: controlador proporcional
derivativo
K s   K s  1
G s  
Ims 
Y s 
1
s2
1
- sistema instável
s2
2 ramos; 1 assímptota
1
Porção do diagrama
no eixo real
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
Res 
A  
fA 
polosf.t.c.a  zerosf.t.c.a
nm
1
1  2k   
nm
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Objectivo 1: estabilidade absoluta
Rs 
2ª tentativa: controlador proporcional
derivativo (cont.)
K s   K s  1

K s 

G s  
Y s 
1
s2
1
- sistema instável
2
s
pontos de entrada/saída do eixo real:
s2
dK
ss  2
K 


0
2
s 1
ds
s  1
Ims 
 s  0  s  2
ângulo entre 2 ramos adjacentes que
se cruzam no eixo real:    2
2
1

Res 
Sistema em malha fechada estável, mas…
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs 
Objectivo 1: estabilidade absoluta

K s 

2ª tentativa: controlador proporcional
derivativo (cont.)
G s  
K s   K s  1
Y s 
1
s2
1
- sistema instável
2
s
Sistema em malha fechada estável, mas … não é possível realizar
diferenciadores puros.
Ims 
Solução:
K s   K s  1
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p
;
s p
p  1

 10

Res 
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs 
Objectivo 2: estabilidade relativa

K s 

 Sobre-elevação: S  21 %
 Tempo de estabelecimento (5%): t s  0.75 seg
G s  
Ims 
Zona desejada
para os polos
dominantes em
malha fechada
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1
- sistema instável
2
s
Assumindo comportamento dominante de
2ª ordem:
27 º
4
Y s 
1
s2
Res 
S e


1 2
 0.21    0.45

  arcsin 0.45  27º
t s 5% 
3
n
 0.75  n  4
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs 
Objectivo 3: resposta dinâmica
especificada
 Sobre-elevação: S  21 %
 Tempo de estabelecimento (5%): t s  0.75 seg
1. Traduzir as especificações em polos de
2ª ordem considerados dominantes
S e


1
t s 5% 
2

K s 

G s  
j8
 0.21    0.45
3
n
 0.75  n  4
4

Y s 
1
- sistema instável
2
s
Ims 

1
s2
Polos dominantes
pretendidos para
sistema em anel
fechado
Res 
 j8
s1, 2   n  jn 1   2  4  j8
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DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs 
Objectivo 3: resposta dinâmica
especificada
Controlador: K s   K

K s 

s  z  ; p  z
G s  
s p
1
- sistema instável
2
s
Ims 
2. Dimensionamento preliminar apoiado no
root-locus – posicionamento de polos
f.t.c.a:
s  z 
K s G s   K 2
s s  p 


p
1
4
z 4
condição de argumento:
1  2  3   4  2k  1180º
8
4
 2   3  180º  arctan   117º
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Y s 
1
s2
1   4  180º234º  54º

j8

 2  3
Res 
 j8
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs 
Objectivo 3: resposta dinâmica
especificada
Controlador: K s   K
sz
; p  z
s p
G s  
1   4  54º
 4  90º 54º  36º
8
p  4
 15
tan36º 
K s   K
Isabel Lourtie
s4
s  15
Ims 

z  4  1  90º

p
4
K s 

2. Dimensionamento preliminar apoiado no
root-locus – posicionamento de polos (cont.)
tentativa:

4

j8
1

1
s2
Y s 
1
- sistema instável
s2
condição de módulo:
K s G s  s  4 j 8  1
117 º
Res 
 j8
K  136
K s   136
s4
s  15
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs 
Objectivo 3: resposta dinâmica
especificada
Controlador: K s   136

K s 
1
s2

s4
s  15
G s  
Y s 
1
- sistema instável
s2
3. Simulação
Y s 
s4
 136 3
Rs 
s  15s 2  136s  544
Sobre-elevação muito
superior à desejada!
1 .5
yt 
1
S  45 %
0 .5
0
0
0 .5
t
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1
1 .5
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
Rs 
Objectivo 3: resposta dinâmica
especificada

K s 

K s Gs   136
s4
s 2 s  15
Ims 


 15
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
7
4



j8
G s  
1
s2
Y s 
1
- sistema instável
s2
Polos em anel fechado:
Res 
  j8
s1, 2  4  j8; s3  7
Polos projectados não
são dominantes
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Ims 
Projecto apoiado no root-locus
Objectivo 3: resposta dinâmica especificada
Controlador: K s   K
s  z 
s p

 15
4

Res 
Para diminuir a sobre-elevação S:
“fechar” mais os ramos principais do root-locus
deslocar o polo do controlador para a esquerda e/ou o zero do controlador para a direita
variar consistentemente o ganho tendo em conta o correspondente deslocamento dos
polos da malha fechada
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus
tentativas:
z 3
Objectivo 3: resposta dinâmica especificada
Controlador: K s   K
p  25
K  250
Ims 
s  z 
s p


 10
 25

5


3

j7
  j7
Res 
1 .5
Polos em anel fechado:
yt 
s1,2  10  j7; s3  5
1
S  25%
0 .5
t s 5%  0.75 s
0
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
1 .2
Y s 
s3
 250 3
Rs 
s  25s 2  250s  750
t
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Fundamentos de Controlo
Root-Locus
Projecto apoiado no root-locus - síntese
Dados:
 Função de transferência do sistema G(s) (e dos sensores H(s) )
 Especificações de regime permanente
tipo
 Especificações dinâmicas
polos desejados da malha fechada (polos de 2ª ordem supostos
dominantes)
Projecto:
Estruturado controlador C(s) (sugerida pelo root-locus)
Dimensionamento do Controlador C(s)
Apoiado no root-locus: condições de argumento e de módulo
Via algébrica
Simulação e comparação com o desempenho desejado
Ajuste dos parâmetros de C(s) (ajuste guiado pelo root-locus)
simulação
Isabel Lourtie
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