Sistemas e Sinais
SLITs
Representação no Domínio do Tempo de
Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLITs)
Resposta Impulsional
Definição;
Resposta no tempo de um SLIT descrito pela resposta impulsional:
soma e integral de convolução;
Propriedades dos SLITs e sua relação com a resposta impulsional
Sistema com e sem memória; Causalidade; Estabilidade;
Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional.
Equações Diferenciais e às Diferenças.
Resolução de equações diferenciais e às diferenças;
Diagrama de blocos.
Modelo de Estado
Definição;
Transformações de semelhança;
Diagonalização;
Solução da equação de estado;
Cálculo da matriz de transição;
Resposta impulsional.
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resposta impulsional
resposta no tempo do SLIT quando a
entrada é um impulso unitário
impulso unitário discreto
resposta impulsional
 n
 t 
SLIT
hn
SLIT discreto
ht 
SLIT contínuo
resposta impulsional
impulso unitário de Dirac
Exemplo
xn
SLIT
yn  xn  xn 1
hn   n   n 1
…
4
DEEC/ IST
…
1
2
0
2
4
n
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resposta no tempo
xn
hn
SLIT discreto
yn  ?
O SLIT é linear
 k n  hk n
xn  

k inteiro

 a  n  yn   a h n
k  
k
k
k  
k k
O SLIT é invariante no tempo
 n  hn   n  k   hn  k 
 k n   n  k   hk n  hn  k 
Mas
xn  
xn  

 xk  n  k 

 a  n  k   yn   a hn  k 
k  
k  
yn  

k
k  
k

 xk hn  k   xn hn
(soma de convolução)
k  
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
yn   xn   hn  
Resposta no tempo

 xk hn  k 
k  
Exemplo
xn  u1 n 
hn
…
 3  2 1 0 1 2 3
n  2
…
k  

n
yn    hn  k  
k 0

n
  
; n  2
; n  1
; n0
; n 1
0
1

2

3
3
yn 
2
…
n 1
1
 h 
h
1
 3  2 1 0 1 2 3
DEEC/ IST
 u k  hn  k 
1 ; k  0

0 ; k  1
hn
1
…
yn  ?
yn   u1 n   hn  


…
1
 3  2 1 0 1 2 3
…
n
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
yn   xn   hn  
Resposta no tempo

 xk hn  k 
k  
Exemplo
xn  u1 n 
yn  ?
hn
yn    hn  k  
k 0
h
n  1
 3  2 1 0 1 2 3
n0
DEEC/ IST

 u k  hn  k 
k  
1
1 ; k  0

0 ; k  1

n
1
hn     u1 n 
 2
1
yn   u1 n   hn  



 n

  0

0

1
 
2
1
1  
2
  
1
1
2
n
n
  
  
 h   

1
  u1  
 2
; n  1
;
 n  1  
     u1 n 
n0
  0  2  
n 1
  1  n 1 
u1 n   21     u1 n 
  2  
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Propriedades da soma de convolução
Comutativa: xn hn  hn xn
xn   hn  

 xk hn  k 
k  




  
  
 xn  h   hxn    hn xn
Associativa: xn h1 n h2 n  xn h1 n h2 n
xn   h1 n   h2 n  

 xk h n  k  h n  k 
k  
1
2
 

  xk    h1  h2 n  k  
k  

m 


 

  xk    h1 m  k h2 n  m  
k  
m
 m


 xk  h m  k  h n  m
k  
1
2

 xm h mh n  m  xn h n h n
m  
DEEC/ IST

1
2
1
2
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Propriedades da soma de convolução
xn
h1 n 
wn 
h2 n 
yn
SLITs em série
yn  wn h2 n  xn h1 n h2 n
A convolução é associativa
xn
yn
h1 n h2 n
yn  xn h1 n h2 n
A convolução é comutativa
xn
xn
h2 n 
h2 n h1 n
zn
yn
h1 n 
yn  xn h2 n h1 n
yn
A convolução é associativa
yn  xn h2 n h1 n
zn
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Propriedades da soma de convolução
Distributiva em relação à adição:
xn   h1 n   h2 n  
xn h1 n  h2 n  xn h1 n  xn h2 n


 xk h n  k   h n  k    xk h n  k    xk h n  k 
k  
1
2
 xn   h1 n   xn   h2 n 
h1 n 
xn
h2 n 
DEEC/ IST
y1 n 

xn

h1 n  h2 n
y2 n 
yn
k  
1
k  
2
SLITs em paralelo
yn
yn  y1 n  y2 n  xn h1 n  xn h2 n
A convolução é distributiva
yn  xn h1 n  h2 n
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resposta no tempo
xt 
ht 
SLIT contínuo
yt   ?
integral de convolução
xt    x  t   d  yt    x ht   d  xt  ht 




O integral de convolução é:
 comutativo;
 associativo;
 distributivo em relação à adição.
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs

yt   xt  ht    x ht    d
Resposta no tempo


yt   u1 t  ht    u1   ht   d
Exemplo
xt   u1 t 
yt   ?
ht 
ht   e

1 ;   0

0 ;   0
t

yt    ht   d  
0
e
1

t0
DEEC/ IST

t
d
h  d   h d

d
 e d

  0
t


e
d


e

0 d

e-
0
t
t
h 
t0

 et

t
2  e
 1
; t0
; t 0
; t0
; t0


 et u1  t   2  et u1 t 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs

yt   xt  ht    x ht    d
Resposta no tempo


yt   xt  ht    x  ht   d
Exemplo
xt   e u1 t 
t

yt   ?
ht 
 
 e
0
ht   e2t u1  t 
yt   

0
 e
e u1   
3
t0

0
t0
DEEC/ IST

1

e ht   d   e t  h 


t
;  0
;  0
t  
t
h  d  e
 e u1   
2
d
d
d
 1
t

t

e3 u1    d
 1 3t
 t e3 d ; t  0
e
t   
t  3
e  0
e 
3
1
e d ; t  0

3
1 2t
1 t
 e u1  t   e u1 t 
3
3
; t0
; t 0
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
y  h x
x
Propriedades dos SLITs
h
1. Memória
Um sistema diz-se sem memória quando a saída num dado instante de tempo
depende apenas da entrada nesse instante de tempo.
0
SLIT discreto sem memória
yn   hn   xn  

1

k  
k  
k 1
 hk xn  k    hk xn  k   h0xn   hk xn  k 
SLIT contínuo sem memória


it 
vt 
ht   K t 

i t 
vt   Ri t 
R
it    t   ht   R t 
DEEC/ IST
0
futuro
da entrada
presente
da entrada
passado
da entrada
k  0, hk xn  k   0  k  0, hk   0
K ; n  0
hn  
 K n
0 ; n  0
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Propriedades dos SLITs
y  h x
x
h
2. Causalidade
Um sistema diz-se causal quando a saída num dado instante de tempo depende
apenas da entrada nesse instante de tempo e/ou de instantes anteriores.
0
SLIT discreto causal
yn   hn   xn  

1

k  
k  
k 1
 hk xn  k    hk xn  k   h0xn   hk xn  k 
futuro
da entrada
SLIT contínuo causal
vt 
 

i t  C
t  0, ht   0
i t 
v t  
passado
da entrada
k  0, hk xn  k   0
1 t
i   d



C
1 t
1
it    t   ht      d  u1 t 
C 
C
DEEC/ IST
presente
da entrada
n  0, hn  0
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Propriedades dos SLITs
y  h x
x
h
3. Estabilidade
Um sistema diz-se estável (de entrada limitada/saída limitada) quando qualquer
entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e.,
n, Bx  0 : xn  Bx  n, By  0 : yn  By
SLIT discreto estável
xn  Bx  yn 


 hk xn  k 
k  
 Bx

 hk  xn  k 
k  
 Bx
DEEC/ IST

 hk   By
k  
A resposta impulsional de
um SLIT discreto estável é
uma função absolutamente
somável, i.e.

 hn  
n  
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Propriedades dos SLITs
SLIT discreto estável 

 hn  
n  
Exemplo
xn
hn
hn  a nu1 n
yn



 hn   a u n   a
n
n  
n  
 1



h
n

1  a

n  
 


1
n 0
;
a 1
;
a 1

n
  | a |n
n 0
O SLIT é estável quando |a|<1 porque h(n) é absolutamente somável.
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Propriedades dos SLITs
y  h x
x
h
3. Estabilidade
A resposta impulsional de um SLIT contínuo estável é uma função
absolutamente integrável, i.e.

 ht  dt  



t
 ht  dt   e u1 t  dt  
Exemplo

0
xt 
ht 
ht   et u1 t 
yt 
e t



0

e t dt   et dt
0
 ;  0

1

t

lim e  1   1
;  0
  t 




O SLIT é estável quando  > 0 porque
h(t) é absolutamente integrável.
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Exemplos
Propriedades dos SLITs
xt 
yt 
ht 
ht   e3t u1 t  1
 Com memória porque ht   K t  ;
 Causal porque ht   0 para t  1;
Estável porque




ht  dt   e 3t dt 
1
ht   2 t  1
3t 
3
e
e

 .
3 1
3
ht   e u1  t  1
Com memória porque ht 
não é um Dirac na origem;
Causal porque só é diferente
de zero para t  1 ;
 Estável porque
3t

 ht  dt  2   .

Com memória porque ht   K t  ;
 Não causal porque existe t  0 para o qual ht   0 , p. ex. h 1  e3 ;
e  3t
 3t
 Instável porque  ht  dt   e dt 


3

DEEC/ IST
1
1

e 3

   .
3
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional
resposta ao escalão unitário
SLIT discreto
u1 n
yn
hn  ?
 n  u1 n  u1 n 1
hn  yn  yn 1
Exemplo
y(n-1)
…
…
1
1 1
-3 -2 -1 0 1
DEEC/ IST
h(n)
y(n)
2 2
1
…
…
2 3
…
n
1
1
…
1 2
-3 -2 -1 0
-1 -1
3
n
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional
resposta ao escalão unitário
u1 t 
Exemplo
ht  
yt 
ht   ?
 t  
SLIT contínuo
d
u1 t 
dt
ht  
d
y t 
dt
u1 t   yt   5e2t u1 t 


d
d
d
y t  
5e 2t u1 t   10 e 2t u 1 t   5e 2t u1 t   10e2t u1 t   5e2t t 
dt
dt
dt
 e0 t 
  t 
ht   10e2t u1 t   5 t 
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Equações diferenciais
iC t   C
d
vC t 
dt
vR t   R iC t   RC
vR t   vC t   xt 
DEEC/ IST
d
vC t 
dt
Sistema de 1ª ordem
d
1
1
vC t  
vC t  
x(t )
dt
RC
RC
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações diferenciais
xt 
Sistema
contínuo
Sinal de entrada:
Modelo:
Condição inicial:
DEEC/ IST
yt 
?
x(t )
d
y t   a y t   x(t )
dt
y0  y0
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações diferenciais
yt   yh t   y p t 
Solução particular
Solução homogénea
?
d
yh t   ay h t   0
dt
?
yh t   Aest
?
DEEC/ IST
xt   u1 t 
y p t   Yp u1 t 
?
xt   et u1 t 
xt   K cos 0t  u 1 t 

 Re Ke
j 0 t
 u t 
y p t   Yp et u1 t 
?


y p t   Re Ype j0t u1 t 
1
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações diferenciais
yh t   Ae
d
yh t   ay h t   0
dt
st

?
yh t   Ae
Solução homogénea

d
Ae st  aAe st  Asest  aAest
dt
 s  aAest  0
 at
sa 0
s  a
equação característica
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações diferenciais
Solução particular
xt   K cos 0t u 1 t 




 Re Ke j0t u 1 t 
d
y p t   ay p t   xt 
dt
y p t   Re Ype j0t u1 t 
t  0


d
Yp e j0t  aY p e j0t  Ke j0t
dt
K
Yp 
 j0  a 
DEEC/ IST
 j0  aYp  K
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações diferenciais
Solução particular

K
Yp 
 j0  a 

Yp 
K
a 
2
2
0
e
 
 j arctan 0 
 a 

y p t   Re Ype j0t u1 t 
y p t  
K
a 
2
2
0
cos0t  u1 t 


K

j 0t   
y p t   Re
e
u1 t 
2
2


 a  0

DEEC/ IST
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Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações diferenciais
yt   yh t   y p t   Ae
 at
?

Resposta completa
K
a 
2
2
0
cos0t  u1 t 
Condição inicial + continuidade da solução
 

y 0  A
K
a 2  02
cos   y0
K

cos
 y0  2
2
A
a  0

y0

DEEC/ IST
y0   A  y0
; t 0
; t0
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Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações diferenciais
devido
a y0
y t   y0 e

 at
devido a x(t)
K

a 
2
K
a 
2
Resposta completa
2
0
2
0
cos e  at u1 t 
cos0t  u1 t 
regime transitório
regime estacionário
 0 
  arctan 
 a 
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações diferenciais
yt   y0eat 
K
a 
2
2
0
cos eat u1 t 
K
a 
2
2
0
cos0t  u1 t 
0  1 rad/s; a  0.1; y0  1 .
yt 
t
DEEC/ IST
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Sistemas e Sinais
SLITs
Sistema contínuo de ordem N
M
dk
dk
ak k yt    bk k xt 

dt
dt
k 0
k 0
N
Condições iniciais:
Solução:
yt   yh t   y p t 
N
yh t    Ak e sk t
k 1
N
k
a
s
 k 0
k 0
DEEC/ IST
mesma forma do
sinal de entrada
Equação característica
d
d N 1
y0, yt  ,..., N 1 yt 
dt
dt
t 0
t 0
Propriedades
 N  M - sistema invariante no tempo
e causal
 Condições iniciais:
 nulas – sistema linear
 não nulas – sistema
incrementalmente linear
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Equações às diferenças
y n  
xn
Sistema
discreto
yn
1
1
y n  1  y n  2  xn   2 xn  1
4
8
Sistema de 2ª ordem
Cálculo de yn para n  0 :
Condições iniciais
y 0  x0  2 x 1 
1
1
y  1  y  2
4
8
1
1
y 1  x1  2 x0   y 0   y  1
4
8
1
1








y 2  x 2  2 x 1  y 1  y 0
4
8
etc
DEEC/ IST
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Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações às diferenças
xn
Sistema
discreto
yn
Sinal de entrada: x(n)
1
1
Modelo: y n   y n  1  y n  2  xn   2 xn  1
4
8
Condição inicial:
DEEC/ IST
y1  y 2  0
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações às diferenças
yn  yh n  y p n
Solução homogénea
yh n  
1
1
yh n  1  yh n  2  0
4
8
?
yh n  A1z1n  A2 z2n
Equação característica:
DEEC/ IST
Solução particular
z2 
1
1
z 0
4
8
?
xn   n
y p n  Yp n
xn  u1 n
y p n  Yp u1 n
xn   nu1 n
1
1
z1  ; z 2  
4
2
?
y p n  Yp  nu1 n
?
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Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações às diferenças
xn  u1 n
y p n  Ypu1 n
Solução particular
1
1
y n   y n  1  y n  2  xn   2 xn  1
4
8
n  2
1
1
Yp  Yp  Yp  1  2
4
8
8
y p n   u 1 n 
3
DEEC/ IST
Yp 
8
3
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações às diferenças
n
Resposta completa
n
1
 1 8
yn  yh n  y p n  A1    A2     ; n  0
 4
 2 3
y 0   A1  A2 
y 1 
8
3
1
11
1
1
8

A1  A2 
4
4
2
3
A1  1
2
A2  
3
1
1
y n   y n  1  y n  2  xn   2 xn  1
4
8
xn   u1 n ; y  1  y 2  0
DEEC/ IST
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Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações às diferenças
  1 n 2  1 n 8 
y n           u1 n 
  4  3  2  3 
y n
n
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações às diferenças: resposta impulsional
xn
Sinal de entrada:
Modelo:
y n  
Condição inicial:
Sistema
discreto
yn
x(n)   n
1
1
y n  1  y n  2  xn   2 xn  1
4
8
y1  y 2  0
Solução particular: y p n  Yp n
y p n  0 n
n  2
1
1
Yp 2  Yp 1  Yp 0   2  2 1
4
8
DEEC/ IST
Yp  0
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Sistemas e Sinais
SLITs
Resolução de equações às diferenças: resposta impulsional
y n  
1
1
y n  1  y n  2  xn   2 xn  1
4
8
n
Equação característica:
z2 
n
1
 1
hn  yn n  A z  A z  A1    A2    ; n  0
 4
 2
n
1 1
n
2 2
1
1
z 0
4
8
1
1
z1  ; z 2  
4
2
Da equação às diferenças com x(n)   n e y(1)  y 2  0 e da expressão de h(n):
A1  A2  h0  y 0  
1
1
y  1  y  2  x0  2 x 1  1
4
8
1
1
1
1
7
A1  A2  h1  y 1   y 0  y  1  x1  2 x0 
4
2
4
8
4
A1  3
A2  2
  1 n  1 n 
hn   3   2    u1 n 
 2  
  4 
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Sistema discreto de ordem N
N
M
 a yn  k    b xn  k 
k 0
k
Condições iniciais:
Solução:
yn  yh n  y p n
N
yh n    Ak zkn
k 1
N
a z
k 0
k
DEEC/ IST
N k
0
mesma forma do
sinal de entrada
Equação característica
k 0
k
y 1,..., y N 
Propriedades
 N, M - sistema invariante no tempo
e causal
 Condições iniciais:
 nulas – sistema linear
 não nulas – sistema
incrementalmente linear
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Diagrama de blocos
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
wn 
Diagrama de blocos
y n   
1
1
y n  1  y n  2  xn   2 xn  1
4
8
xn

wn 

A
xn 1
2
yn

1
A
yn 1
4
A
1
8
yn  2
Forma directa I
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Diagrama de blocos
xn



1
A
4
yn
A
2
A
1
DEEC/ IST
8
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Diagrama de blocos
xn



1
A
yn
A
2
4
A
1
8
Forma directa II
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Modelo de Estado
xn
s1 n  1


Equações de estado:
1
1
s1 n  1   s1 n   s2 n   xn 
4
8
s2 n  1  s1 n
yn  2s1 n s1 n  1
7
1
y n   s1 n   s2 n   xn 
4
8
DEEC/ IST

1
A
2
4
s1 n   s2 n  1
A
1
yn
8
s2 n 
Variáveis
de estado
Equação de saída
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Modelo de Estado
SLITs
 s1 n 


s
n

Vector de estado:
 s n 
 2 
Equações de estado:
1
1
s1 n  1   s1 n   s2 n   xn 
4
8
s2 n  1  s1 n
A
 1

sn  1   4
 1

CT
Equação de saída:
7
1
y n   s1 n   s2 n   xn 
4
8
DEEC/ IST
7
yn  
4
B
1
1

8 sn     xn 
0 
0 
DT
1
sn  1xn 

8
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Diagrama de blocos
v 0  t   vt 
v
n 
t    vn1  d , n  1,2,3,
t
d2
d
d






y t  3 y t  2 y t  2 xt   xt 
2
dt
dt
dt
d
y t   3 y t   2 y 1 t   2 xt   x 1 t 
dt
yt   3 y 1 t   2 y 2 t   2x1 t   x2 t 
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
v n 1 t 
Diagrama de blocos
vn  t 

wt 
yt   3 y 1 t   2 y 2 t   2x1 t   x2 t 
xt 
wt 
x t 
1
x
DEEC/ IST
2 
t 

2

Forma directa I
yt 


3



2
y 1 t 
y 2  t 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Diagrama de blocos
Forma directa II
xt 
yt 


3



2


2
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
dst  dt
Modelo de Estado
Equações de estado:
xt 
d
s1 t   3s1 t   2s2 t   xt 
dt
d
s2 t   s1 t 
dt

DEEC/ IST
yt 
d
s1 t 
dt


s1 t  2
3
d
s2 t 
dt


Equação de saída
yt   2s1 t   s2 t 

s t 
2
s2 t 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Modelo de Estado
SLITs
 s1 t 


s
t

Vector de estado:
 s t 
 2 
Equações de estado:
d
s1 t   3s1 t   2s2 t   xt 
dt
d
s2 t   s1 t 
dt
Equação de saída:
yt   2s1 t   s2 t 
DEEC/ IST
A
B
 3  2
1
d
st   
st     xt 

0
dt
 1
0
CT
DT
yt   2 1st   0xt 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
N estados, M entradas, L saídas.
Modelo de Estado
Equação de Estado
Contínuo
sn 1  Asn  Bxn
Equação de Saída
yt   C st   D xt 
T
A N  N 
B N  M 
yn  C T sn  DT xn
- matriz da dinâmica
C T L  N 
- matriz de entrada
D T L  M 
A, B, C , D
DEEC/ IST
T
constantes
Discreto
d
s t   As t   Bx t 
dt
- matriz de saída
Sistema invariante no tempo
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Modelo de Estado
xt 

z1 t 

z1 t 
1

1
1

z2 t 

yt 
3
z2 t 
2
Vector de estado
 z1 t 
z t   

 z 2 t 
DEEC/ IST
 1 0 
 1
d
zt   
zt     xt 

dt
 0  2
 1
yt    1  3zt 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Equação diferencial
d
z1 t    z1 t   xt 
dt
d
z 2 t   2 z 2 t   xt 
dt
 1 0 
 1
d
zt   
zt     xt 

dt
 0  2
 1
yt    1  3zt 
1º passo: Obter as
variáveis de estado em
função de y(t) e das suas
derivadas.
yt    z1 t   3z2 t 
d
d
d
y t    z1 t   3 z2 t   z1 t   6 z2 t   2 xt 
dt
dt
dt
z1 t   2 y t  
DEEC/ IST
d
y t   2 xt 
dt
1
d

z2 t    yt   yt   2 xt 
3
dt

Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Equação diferencial
SLITs
d2
yt   ?
dt2
d
y t   z1 t   6 z2 t   2 xt 
dt
Sistema de 2ª ordem
d
z1 t    z1 t   xt 
dt
d
z 2 t   2 z 2 t   xt 
dt
d2
d
d
d
d








y
t

z
t

6
z
t

2
x
t






z
t

12
z
t

2
xt   5 xt 
1
2
1
2
dt 2
dt
dt
dt
dt
d2
d
d
yt   3 yt   2 yt   2 xt   xt 
2
dt
dt
dt
DEEC/ IST
z1 t   2 y t  
d
y t   2 xt 
dt
1
d

z2 t    yt   yt   2 xt 
3
dt

Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Equação Diferencial vs. Modelo de Estado
d2
d
d






y
t


3
y
t

2
y
t

2
xt   xt 
2
dt
dt
dt
 3  2
1
d
st   
st     xt 

0
dt
 1
0
yt   2 1st 
 1 0 
 1
d
zt   
zt     xt 

dt
 0  2
 1
yt   1  3zt 
O modelo de estado de um sistema não é único
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Modelo de Estado
xn
1
2
3

z1 n  1
A
1
3
DEEC/ IST

2
z2 n  1
A
1
 z n 
z n    1 
 z2 n 
yn
9

Vector de estado
3
z1 n   2
z 2 n 
4
4
 1
 2
z n  1  
 0

 3
yn  
 2
 2

0
  3
z n   
xn 
1
1 



4
 3 
9
z n   xn 
4 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Equação às diferenças
 1
 2
z n  1  
 0

 3
yn  
 2
 2

0
  3
z n   
xn 
1
1 



4
 3 
9
z n   xn 
4 
1
2
z1 n  1   z1 n   xn 
2
3
1
1
z 2 n  1  z 2 n   xn 
4
3
1º passo: Obter as
variáveis de estado em
função de y(n), y(n+1)...
3
9
y n    z1 n   z 2 n   xn 
2
4
3
9
7
3
9
y n  1   z1 n  1  z2 n  1  xn  1  z1 n   z 2 n   xn  1  xn 
4
16
4
2
4
z1 n  
8
2
8
4
y n  1  y n   xn  1  xn 
9
9
9
3
16
8
16
4
z2 n  
y n  1 
y n  
xn  1  xn 
27
27
27
3
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Equação às diferenças
y n  1 
3
9
7
z1 n   z2 n   xn  1  xn 
4
16
4
yn  2  ?
Sistema de 2ª ordem
1
2
z1 n  1   z1 n   xn 
2
3
1
1
z 2 n  1  z 2 n   xn 
4
3
y n  2 
3
9
7
z1 n  1  z2 n  1  xn  2  xn  1
4
16
4
3
9
5
7
  z1 n  
z 2 n   xn   xn  2  xn  1
8
64
16
4
8
2
8
4
z1 n   y n  1  y n   xn  1  xn 
9
9
9
3
16
8
16
4
z2 n  
y n  1 
y n  
xn  1  xn 
27
27
27
3
1
1
y n  2   y n  1  y n   xn  2  2 xn  1
4
8
y n  
DEEC/ IST
1
1
y n  1  y n  2  xn   2 xn  1
4
8
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Equação às Diferenças vs. Modelo de Estado
1
1
y n   y n  1  y n  2  xn   2 xn  1
4
8
 1

sn  1   4
 1

7
y n   
4
1
1
8  sn   0 xn 
 
0 
1
sn   xn 

8
 1
 2
z n  1  
 0

 3
yn  
 2
 2

0
 3 
z n    xn
1
1
 

4
 3
9
z n   xn 

4
O modelo de estado de um sistema não é único
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Transformação de semelhança
y
x
Modelo I
Modelo II
d
st   A1s t   B1 xt 
dt
yt   C1T st   D1T xt 
d
z t   A2 z t   B2 xt 
dt
yt   C2T zt   D2T xt 
T N  N  : st   Tz t 
sn   Tz n 
não singular
sn  1  A1sn  B1 xn
yn  C1T sn  D1T xn
DEEC/ IST
zn  1  A2 zn  B2 xn
yn  C2T zn  D2T xn
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformação de semelhança
zt   T 1st 
d
1 d
z t   T
st 
dt
dt
 T 1 A1st   T 1B1 xt 
 T 1 A1Tzt   T 1B1 xt 
yt   C1T st   D1T xt 
 C1T Tzt   D1T xt 
yt   C2T zt   D2T xt 
DEEC/ IST
SLITs
st   Tz t 
d
st   A1s t   B1 xt 
dt
d
z t   A2 z t   B2 xt 
dt
A2  T 1 A1T
B2  T 1B1
C2T  C1T T ; D2T  D1T
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Transformação de semelhança
T
1
C
yt   2 1st 
C C T
T
2
T
1
T12 
z t 

T22 
C2T
yt   1  3zt 
T11 T12 
 2T11  T21 2T12  T22 
 1  3  2 1 

T21 T22 
T12 
 T11
T 


2
T

1

2
T

3
11
12


DEEC/ IST
T11
s t   
T21
 2T11  T21  1

2T12  T22  3
 T21  2T11  1

T22  2T12  3
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Transformação de semelhança
T12 
 T11
T 


2
T

1

2
T

3
11
12


B2
B1
 3  2
1
d
st   
st     xt 

0
dt
 1
0
1
B2  T B1
TB2  B1
T12
 T12  1

T 
 2T12  3  2T12  3
 1 0 
 1
d
zt   
zt     xt 

dt
 0  2
 1
T12   1  1
 T11
 2T  1  2T  3  1  0
11
12

   
T11  T12

 1
 2T  2T  2  0
11
12

  
T11  T12  1
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
T12
 T 1

T   12
 2T12  3  2T12  3
Transformação de semelhança
A2
A1
 3  2
1
d
st   
st     xt 

0
dt
 1
0
A2  T 1 A1T
 1 0 
 1
d
zt   
zt     xt 

dt
 0  2
 1
TA2  A1T
T12   1 0   3  2  T12  1
T12 
 T12  1

 2T12  3  2T12  3  0  2  1
0   2T12  3  2T12  3
 T12  1  2T12  T12  3 T12  6
 2T12  3 4T12  6  T12  1
T12 
T12  2
DEEC/ IST
  1  2
T 

1
1


Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
  1  2
T 

1
1


Transformação de semelhança
 3  2
1
d
st   
st     xt 

0
dt
 1
0
st   Tz t 
 1 0 
 1
d
zt   
zt     xt 

dt
 0  2
 1
 s1 t   1  2  z1 t 
 s t    1
  z t 
1
 2 
 2  
s1 t    z1 t   2 z2 t 
s2 t   z1 t   z2 t 
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformação de semelhança
zn  T 1sn
zn  1  T 1sn  1
SLITs
sn  Tzn
sn  1  A1sn  B1 xn
zn  1  A2 zn  B2 xn
 T 1 A1sn  T 1B1 xn
 T 1 A1Tzn  T 1B1 xn
yn  C1T sn  D1T xn
 C1T Tzn  D1T xn
yn  C2T zn  D2T xn
DEEC/ IST
A2  T 1 A1T
B2  T 1B1
C2T  C1T T ; D2T  D1T
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Transformação de semelhança
C1T
7
yn  
4
C2T  C1T T
1
sn   xn 

8
T
sn    11
T21
T12 
z n 
T22 
C2T
 3 9
yn  
zn  xn

 2 4
 3 9   7 1  T11 T12    7 T  1 T 7 T  1 T 
 2 4    4 8  T21 T22   4 11 8 21 4 12 8 22 
T11
T12


T 
 14T11  12  14T12  18
1
3
7
T

T


11
21
4
8
2
7
1
9
 T12  T22 
8
4
4
T21  14T11  12
T  14T  18
12
 22
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
T11
T12


T 
 14T11  12  14T12  18
Transformação de semelhança
B2
 1

sn  1   4
 1

B2  T 1B1
B1
1
1 xn 



s
n

8
0
0


 14T12  18
T12
T11 
DEEC/ IST
 2

0
 3 
z n    xn
1
1
 

4
 3 
 2

T11
T12

  3  1
 14T11  12  14T12  18  1   0


 3 
TB2  B1
3
1
T

T   2 12 2
 7T  9
12

 1
 2
z n  1  
 0

1
3
T12 
2
2
2
1



T

T
11
12

 1
3
3
 28
  0
14
 T11  T12  14  
3
3

Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
3
1
T

12
T 2
2
 7T  9
12

Transformação de semelhança
A2
A1
 1

sn  1   4
 1

 1
 2
z n  1  
 0

1
1
8  sn   0 xn 
 
0
A2  T 1 A1T
 1
3
1
 
T12
 2 T12  2
 2
 7T  9  14T  18  0
12
12



3
 1

T

 4 12 4
 7
9
 T12 
2
 2
DEEC/ IST


 14T12  18
T12
 2

0
 3 
z n    xn
1
1
 

4
 3 
TA2  A1T

0  1



1  4
  1
4
1
3
 
T12    T12 
4
2


7
9
1
3
 T12    T12 
2
2 2
2
1  1
3

T

T
12
12

8  2
2
0  7T12  9  14T12  18
9
 2T12  
4


T12

T   1 1 
 2 4 
T12  1
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
T   1 1 
 2 4 
Transformação de semelhança
 1

sn  1   4
 1

1
1 xn 



s
n

8
0
0
sn  Tzn
 1
 2
z n  1  
 0

 s1 n   1
 s2 n    2
 2

0
 3 
z n    xn
1
1
 

4
 3 
1   z1 n 
4  z2 n 
s1 n   z1 n  z2 n
s2 n  2 z1 n  4 z2 n
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Diagonalização
Dada uma matriz da dinâmica A, qual a transformação de coordenadas,
T, que conduz a uma matriz da dinâmica diagonal?
d
st   As t   B1 xt 
dt
d
z t   Dz t   B2 xt 
dt
OU
sn  1  Asn  B1 xn
zn  1  Dzn  B2 xn
Que condição deve satisfazer A para que exista uma transformação de
coordenadas
s(t)= Tz(t)
OU
s(n)=Tz(n)
com T não singular, tal que D=T-1AT seja uma matriz diagonal?
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Diagonalização
A matriz A é diagonalizável sse for de estrutura simples, i.e., se os
vectores próprios de A forem linearmente independentes.
 3  2
A

1
0


Valores próprios:
Vectores próprios: Avi  i vi ; i  1,2
 vi1 
 3  2  vi1 
 1 0  v   i v 

  i2 
 i2 
vi1  i vi2
DEEC/ IST
i 
vi   
1
det I  A  0
  3 2 
det 
   3  2  0

 1  
1  1; 2  2
 1
v1   
 1
  2
v2   
 1
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Diagonalização
 1
  2
v1    ; v2   
 1
 1
1  1; 2  2
SLITs
matriz de transformação
de coordenadas: s(t)=Tz(t)
T  v1
DEEC/ IST
det T  1  0
1 0   1 0 
D  T AT  



0

0

2


2

 3  2
1
d
st   
st     xt 

0
dt
 1
0
yt   2 1st 
 1  2
v2   

1
1


vectores próprios
linearmente
independentes
1
 1 0 
 1
d
zt   
zt     xt 

dt
 0  2
 1
yt   1  3zt 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Diagonalização
A é de estrutura simples sempre que:
 os valores próprios de A são todos distintos
 A é simétrica, i.e., A=AT
 1 1 
T
A

A

1

2


DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Diagonalização
Exemplo
Obter uma nova representação de estado do sistema de modo a ter matriz da dinâmica diagonal
Valores próprios de A:
d
s t   0 1  s t   0 xt 
0  1
1
dt
  0
det I  A  det   1      1  0   1
 0   1
2  1
yt   1 0st 
1  2  A é de estrutura simples
Vectores próprios de A: Avi  i vi
0 1  vi1    vi1    vi2   i vi1 
0  1 vi2  i vi2   vi2  i vi2 
v 
1  0   1   00  v1  0 ; v1 qualquer  v1  10
 
 v1   
 v   v 
2  1   2    2   v2  v2  v2  11
 
 v2   v2 
2
2
1
2
2
1
2
2
  0  0 0 
D 1

 0 2  0  1
T  v1 v2   1 1 
0  1
DEEC/ IST
D
d
z t   T 1 AT z t   T 1 B xt 
dt
yt   CT T zt 
1
2
d
z t   0 0  z t    1  xt 
0  1
 1
dt
yt   1 1 zt 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Diagonalização
Exemplo
Obter uma nova representação de estado do sistema de modo a ter matriz da dinâmica diagonal
Valores próprios de A:
s n  1   0  1 s n    1  xn 
 1 0 
 1
  1
detI  A  det  1   2  1  0   1
 1  
2  1
yn  1 0sn
1  2  A é de estrutura simples
Vectores próprios de A: Avi  i vi
 v   v 
1  1   1    1   v1  v1  v1  11
 
  v1  v1 
 v    v 
2  1   2    2   v2  v2  v2  11
 
  v2   v2 
 0  1 vi1    vi1    vi2   i vi1 
 1 0  vi2  i vi2    vi1  i vi2 
2
1
1
2
2
2
1
1
2
1
2
 0  1
D 1

 0 2  0
T  v1 v2    1
 1
DEEC/ IST
0
 1
1
1
D
zn 1  T AT zn  T B xn
1
yn  CT T zn
1
1
z n  1  1 0  z n   1 xn 
0  1
0
yn  1 1 zn
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Solução da equação de estado
sn 1  Asn  Bxn
Sistema discreto
n  0
s1  As0  Bx0
s2  As1  Bx1  A2 s0  ABx0  Bx1
s3  As2  Bx2  A3s0  A2 Bx0  ABx1  Bx2

n 1
sn   A s0   Ank 1Bxk 
n
k 0
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
n 1
sn   A s0   Ank 1Bxk 
n
Solução da equação de estado
k 0
 1

sn  1   4
 1

1
1

8 sn     xn 
0 
0 
 1

sn    4
 1

n
1
n 1  1





s
0


8
4


k 0
0
 1
1
8
0 
n  k 1
1
0 xk 
 
?
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Cálculo de
SLITs
 1

A 4
 1

An
1



det I  A  det 
4
 1

A é diagonalizável:
1
8  é de estrutura simples?
0 
1
1
1
  





0


8
4
8
  
 1


0

1 0   2
1
D  T AT  


1
0

2

 0

4

Avi  i vi ; i  1,2
 1
 4
 1

DEEC/ IST
1  v 
 vi1 
i1

8 v   i v 
 i2 
0  i2 
vi1  i vi2
i 
vi   
1
1  
2 
1
2
1
4
T  v1 v2 
 1 1

T   2 4
 1 1


Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
 1
 2
D
 0

Cálculo de An
D  T 1 AT
A  TDT 1

0
1

4
 1 1

T   2 4
 1 1


A2  TDT 1TDT 1  TD 2T 1
A3  TD 2T 1TDT 1  TD 3T 1

An  TD nT 1
 2  1 n 1  1 n
     
3 2
3 4
An     n   n
 4 1 41
      
 3 2 34
DEEC/ IST
 1

n
A  2
 1

 1
1  
2
4 
1  0


0
1

4
n
 1
 2
 1

1
4
1
 1  n
 4
0  
n
n
  
1  1  1  1   n  1 1   2 
  3
       A   2 4
n
6 2 64 
 1 1 
1   4


 0
n
n
   3

1 1 21
4 

     
3 2 3 4 
1
1
3
2

3
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
 2  1 n 1  1 n
     
3 2
3 4
n
A    n   n
 4 1 41
      
 3 2 34
Solução da equação de estado
 1

sn    4
 1

n
1
n 1  1

8  s0    4
k 0  1
0 

1
8
0 
n  k 1
n
1 1 11
     
6 2 64
n
n
1 1 21
    
3 2 3 4
n






1
0 xk 
 
 2  1 n 1  1 n
     
3 2 3 4
sn    
 4  1 n 4  1 n
      
 3 2 34
n
1 1 11
     
6 2 64
n
n
1 1 21
    
3 2 3 4
n


 s0



 2  1  n  k 1 1  1  n k 1 
  
 

n 1 
3
2
3
4






n  k 1
n  k 1 x k 

1
41
k 0  4 
  
   

34
 3 2

DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resposta no tempo do sistema
n  0
sn 1  Asn   Bxn 
yn   C T sn   DT xn 
n 1
sn   A s0   Ank 1Bxk 
n
k 0
n 1
yn   C T An s0   C T Ank 1Bxk   DT xn 
k 0
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
yn  1 0 sn  2 xn
Resposta no tempo do sistema
 2  1 n 1  1 n
     
3 2 3 4
sn    
 4  1 n 4  1 n
      
 3 2 34
n
1 1 11
     
6 2 64
n
n
1 1 21
    
3 2 3 4
 2  1 n 1  1 n
y n         
 3  2  3  4 
n

 2  1  n  k 1 1  1  n  k 1 
  
 


n 1 
3
2
3
4




 s0   

n  k 1
n  k 1 xk 


1
41
k 0  4 
  

   

3
2
3
4







n
1 1 11
     
6 2 64
n

 s0

 2  1  n  k 1 1  1  n  k 1 
xk   2 xn 
   
  


2
3 4
k 0  3 

n 1
DEEC/ IST
(n  0)
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
s 0   0 ; x n  u 1 n 
0
Resposta no tempo ao escalão unitário
 2  1 n 1  1 n
yn         
 3  2  3  4 
n
n
n  k 1
n  k 1
n 1 

1 1 11 
2
1
1
1




xk   2 xn ; (n  0)
        s0      
  


6  2  6  4  
3
2
3
4


 
k 0 

 2  1 n 1  1 n
y n         
 3  2  3  4 
1 1 11
     
6 2 64
n
n
 0 n1  2  1  nk 1 1  1  n k 1 
 u1 k   2u1 n 
  
 0      

3 4
   k 0  3  2 

 1n  0
0
n  k 1
n  k 1
n 1
n 1
 2  1  nk 1 1  1  nk 1 
2
1
1
1




  2    
yn       
  
  
2


3
2
3
4
3
2
3
4


 

k 0 
k 0 
k 0  

n 1
2 1
yn    
3 2
DEEC/ IST
n 1 n 1
k
11
 1
    

2
3 4
k 0 
n 1 n 1
k
2 1
1
   2   

3 2
k 0  4 
n 1 n 1
 2  1  1 

3 4
k 0
k
n 1 n 1
4
k
2
k 0
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resposta no tempo ao escalão unitário
2 1
yn    
3 2
n 1 n 1
11
  
3 4
  2
k
k 0
yn  1 0sn  2 xn
n 1 n 1
4
k
 2; n  0
k 0
Soma de um número finito de
termos de uma série geométrica
2 1
yn    
3 2
n 1
1   2 1  1 
  
1   2 3  4 
n
s 0   0 ; x n  u 1 n 
0
n 1
y0  1 0s0  2 x0  2
1  4n
2
1 4
 4  1  n 4  1  n 26
yn            u1 n  1  2 n 
9 
 9  2  9  4 
n
n
4  1  4  1  26
yn          ; n  0
9 2 9 4
9
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resposta impulsional
xn   n
yn  hn
Sistema inicialmente em repouso: s0  0
n 1
yn   C A s0   C T Ank 1Bxk   DT xn 
T
n
k 0
1 ; n  1

0 ; n  0
 CT An1B k 
n 1
hn    C T Ank 1B k   DT  n 
k 0
n 1
hn  C T An1B  k   DT  n 
k 0
hn  CT An1Bu1 n 1  DT  n
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
hn  CT An1Bu1 n 1  DT  n
Resposta impulsional
 1

sn  1   4
 1

Já vimos que
1
1



s
n

8
0 xn 

 
0
 1 1
 4 8 
 1 0


yn  1 0sn  2 xn
 2  1  n1 1  1  n 1
     
3 2
3 4
hn   1 0    n1   n1
 4 1
41
      
34
 3 2
n 1
n 1
1 1
11
     
6 2
64
n 1
n 1
1 1
21
    
3 2
34
n
 2  1 n 1  1 n
     
3 2
3 4
   n   n
 4 1 41
      
 3 2 34
n
1 1 11
     
6 2 64
n
n
1 1 21
    
3 2 3 4
n








 1 u1 n  1  2 n 
 0


 2  1  n1 1  1  n1 
hn          u1 n  1  2 n 
3  4  
 3  2 
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Solução da equação de estado
d
s t   As t   Bx t 
dt
Sistema contínuo
t  0
 3  2
1
d
st   
st     xt 

0
dt
 1
0
st   e s0   e At   Bx d
At
t
0
st   e
 3 2 

t
1
0


0
?
DEEC/ IST
s 0   e
t
 3 2 

 t  
1
0


1
0 x d
 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Cálculo de eAt
SLITs
 3  2
é de estrutura simples
A

 1 0
  1  2
1 0   1 0 
com T  
A é diagonalizável: D  T AT  




 1 1
 0 2   0  2
1
Expansão em série de Taylor de eAt
1 22 1 33
A t  A t 
2!
3!
1
1


 T  I  Dt  D 2t 2  D3t 3   T 1
2!
3!


An  TD nT 1
e At  I  At 
e t 0   1  2

1

2


e 
 1 1   0 e 2t   1 1 
e At  Te Dt T 1
1t

e
0
Dt
e 
2 t 
0
e


1
At
 e t  2e 2t  2e t  2e 2t 
e   t  2 t
t
 2t 
e

e
2
e

e


At
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Solução da equação de estado
st   e
 e t  2e 2t
st    t 2t
 e e
DEEC/ IST
 3 2 

t
1
0


s 0   e
t
0
 e t  2e 2t  2e t  2e 2t 
e   t  2 t
t
 2t 
e

e
2
e

e


At
 3 2 

 t  
1
0


1
0 x d
 
 t  
t  e
 2e t  2e 2t 
 2e 2t   
s0    t   2t    x d
t
 2t 
0
2e  e
e

 e

t  0
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resposta no tempo do sistema
t  0
d
st   Ast   Bxt 
dt
y t   C T st   DT xt 
st   e s0   e At   Bx d
At
t
0
yt   C e s0   C T e At   Bx d  DT xt 
T
At
t
0
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
yt   2 1 st 
Resposta no tempo do sistema
 e t  2e 2t
st    t 2t
 e e

yt    e  3e
t
 2t
 t  
t  e
 2e t  2e 2t 
 2e 2t   
s0    t   2t    x d
t
 2t 
0
2e  e
e

 e

t
 2e  3e
 2t
s0    e 
t
0
 t  

 3e2t   x d
t  0
s 0   0 ; xt  u 1 t 
0

yt     e
t
0
DEEC/ IST
t  
 3e
 2t  
 d
t  0
3
1

yt    e t  e 2t   u1 t 
2
2

Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
Resposta impulsional
xt    t 
yt   ht 
Sistema inicialmente em repouso: s0  0
yt   C e s0   C T e At   Bx d  DT xt 
T
t
At
0
 C T e At B  
1 ; t  0

0 ; t  0
ht    C T e At   B  d  DT  t 
t
0
ht   C e B    d  DT  t 
T
At
t
0
ht   CT e At Bu1 t   DT  t 
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
SLITs
ht   CT e At Bu1 t   DT  t 
Resposta impulsional
 3  2
1
d


st   
s
t

xt 



0
dt
 1
0
yt   2 1 st 
 et  2e2t
ht   2 1  t 2t
 e e
Já vimos que
e
 3 2  t
 1 0 
 et  2e2t  2et  2e2t 
  t  2 t
t
 2t 
e

e
2
e

e


 2et  2e2t  1
 et  2e2t 




u
t

2
1
 et  e2t  u1 t 
2et  e2t  0 1


ht    et  3e2t u1 t 
DEEC/ IST
Isabel Lourtie