Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
TRANSFORMADA DE LAPLACE
 Motivação.
 Definição: expressão algébrica e região de convergência.
 Propriedades da região de convergência.
 Transformada inversa.
 Propriedades da transformada de Laplace.
 Representação de SLITs contínuos usando a transformada de Laplace.
 Propriedades dos SLITs e sua relação com a região de convergência da
função de transferência.
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
s    j
Motivação
SLIT
xt   e st
y t   ht   xt 
yt   ?
ht 
xt   est  yt   H s est

  h  xt   d


  h  e s t  d
xt 

   h  e
 

 s
d  e

 H s 
 T Lht 
st
TL-1
TL
X s 


Y s   H s X s 
produto
X s    xt e dt
DEEC/ IST
yt   ht  xt 
convolução
 st
yt  
1
  j
2 j 
 j
Y s e st ds
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace

xt   X s    xt est dt ; s    j
Definição

Exponencial direita
xt   e u1 t ;   R
t
xt 
  0
1


X s    e u1 t  e dt   e  s  t dt
t
 st


  s  t
0



e
1

lim e  s  t  1
 s    0
 s    t 
 0 para
Res   
0
t
e t u1 t  
DEEC/ IST
1
; Re( s)  
s 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace

xt   X s    xt est dt ; s    j
Definição

Exponencial esquerda
xt   e u1  t ;   R
t

X s     e u1  t  e dt   e  s  t dt
0

t
  s  t

0

e
1

1  lim e  s  t
t  
 s      s   

 0 para
Res   
1
 e u1  t  
t
DEEC/ IST
0
 st

xt 
  0
t
1
; Re( s )  
s 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Definição
e
t
xt 
u1 t  
1
;
s 
Re( s )  
Ims 
  0
1

0
 e t u1  t  
1
; Re( s )  
s 
Ims 
xt 
  0
0
DEEC/ IST
t
t
1
Re s 

Re s 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Mapa polos/zeros
Exemplos
Ims 
Ex. 1
xt   et u1 t   e2t u1 t 

2


X s    e t u1 t   e 2t u1 t  e  st dt



t
Res 

 st





 T L e u1 t 
t
1
s 1
Re(s)  1
DEEC/ IST

1

  e u1 t  e dt   e 2t u1 t  e  st dt
X s  
3 2

 T L e u1 t 


2t
1
s2
zero:
2s  3  0  s   3 2
polos:
s  1s  2  0
s  1  s  2

2s  3
; Res   1
s  1s  2
Re(s)  2
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Tabela
Exemplos
 t   1 ; plano s
e t u 1 t  
Ex. 2
 e t u1  t  
xt   2 t   2e u1 t   4e u1  t 
3t

2t




X s   2 T L t  2 T L e 3t u1 t   4 T L  e 2t u1  t 
X s  
2

2
s3

Mapa polos/zeros
4
s2
Ims 
plano s  Res   3  Res   2
X s   2
DEEC/ IST
s  2s  2
;  3  Res   2
s  3s  2
2
1
; Res   
s 
1
; Res   
s 
 j

3
2
1
j
Res 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Tabela
Exemplos
e t u 1 t  
 e t u 1  t  
Ex. 3
xt   2e3t u1  t   4e2t u1 t 




1
; Res   
s 
1
; Res   
s 

X s   2 T L  e 3t u1  t   4 T L e 2t u1 t 
X s  
2
s3

4
s2
Res   3  Res   2 
xt  não tem transformada de Laplace
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Propriedades da Região de Convergência (RC)
P1
A RC é constituída por faixas do plano s paralelas ao eixo imaginário.
P2
A RC não contém polos.
P3
DEEC/ IST
Se xt  for de duração finita e se existir pelo menos um valor de s para
o qual a transformada de Laplace converge, então a RC é o próprio
plano s, exceptuando eventualmente as rectas Res    ou Res   .
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Propriedades da Região de Convergência (RC)
P4
Se xt  for um sinal direito e se a recta Res    0 pertencer à RC, então
todos os valores de s tais que Res    0 também pertencem à RC.
Im(s)
Re(s)
P5
Se xt  for um sinal esquerdo e se a recta Res    0 pertencer à RC, então
todos os valores de s tais que Res    0 também pertencem à RC.
Im(s)
Re(s)
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Propriedades da Região de Convergência (RC)
P6
Se xt  for um sinal bilateral e se a recta Res    0 pertencer à RC, então
a RC é uma faixa do plano s que contém a recta Res    0 .
Im(s)
Re(s)
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace inversa
X s  
Funções racionais
2s
; Res   1
s  1s  3
1º Expansão em fracções simples de X(s)
2
0
 A  B s  3 A  B 
2s
A
B
X s  



s  1s  3 s  1 s  3
s  1s  3
1
3
X s  

; Res   1
s 1 s  3
DEEC/ IST
 A B  2

3 A  B  0
 A  1

 B3
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace inversa
Funções racionais
2º Identificação da RC associada a cada uma das fracções
X s 

1
s 1

3
s3
; Res   1
Ims 
Res   1  Res   3

3

1
Res 
3º Determinação, por simples inspecção, da
transformada de Laplace inversa de cada um dos termos
xt    et u1 t   3e3t u1 t 
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Propriedades da transformada de Laplace
P1: Linearidade
x1 t   X 1 s 
x2 t   X 2 s 
Se
então
x2 t  
RC  R1  R2
Ims 
RY
1
X 1 s  
; Res   2
s2
1
X 2 s  
; Res   2
s  2s  3
yt   x1 t   x2 t   Y s  
DEEC/ IST
RC  R2
ax1t   bx2 t   aX1s   bX2 s 
Ex.
x1 t  
RC  R1

3 2
R1  R2
Res 
s  3  1  s  2  1 ; Res   3
1
1


s  2 s  2s  3 s  2s  3 s  2s  3 s  3
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Propriedades da transformada de Laplace
P2: Translação no Tempo
xt   X s
Se
xt  t0   e st X s 
então
0
RC  R
RC  R excepto para a possível
inclusão/exclusão de
Ex.
u 1 t  
1
1
; Res   0
s
u1 t  t0   e
 st 0
1
;
s
DEEC/ IST
u1 t  t0 
t0
t0  0 : Res   0
t
1
t0  0 : Res   0,
exceptoRes   
Res   
t0
u1 t  t0 
t
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Propriedades da transformada de Laplace
P3: Translação no Domínio da Transformada
xt   X s
Se
então
e s t xt   X s  s0 
0
RC  R
RC  R  Res0 
Ex.
x1 t   u1 t  
X 1 s  
1
; Res   0
s
x2 t   e s0t u1 t   X 2 s   X 1 s  s0  
DEEC/ IST
1
;
s  s0
Res  s0   0  Res   Res0 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Propriedades da transformada de Laplace
P4: Mudança de Escala
xt   X s
Se
xat  
então
1 s
X 
a a
RC  R
RC  aR
Ex.
x1 t   e 2t u1 t  
x2 t   x1 3t  
 e 6t u 1 3t 
X 1 s  
X 2 s  
1
; Res   2
s2
1 s 1 1
1
s
X1  

; Re   2  Res   6
3 3 3 s  2 s  6
 3
3
 e 6t u 1 t 
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Propriedades da transformada de Laplace
P5: Convolução
x1 t   X 1 s 
x2 t   X 2 s 
Se
então
RC  R1
RC  R2
x1t   x2 t   X1s X 2 s 
RC  R1  R2
Ims 
Ex.
x1 t  
x2 t  
s 1
X 1 s  
; Res   2
s2
1
X 2 s  
; Res   1
s 1
yt   x1 t  x2 t   Y s  
DEEC/ IST
RY

2
R1  R2
1
Res 
s 1 1
1
; Res   2

s  2 s 1 s  2
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Propriedades da transformada de Laplace
P6: Diferenciação no Domínio do Tempo
Se
então
Ex. 1
1
u1 t  
; Res   0
s
d
 t   u1 t   1 ; plano s
dt
DEEC/ IST
xt   X s 
RC  R
dxt 
 sX s 
dt
RC  R
Ex. 2
X s  
s
; Res   2
s2
1
Tabela:
; Res   2  e  2t u1 t 
s2
d
xt   e  2t u1 t   2e  2t u1 t   e  2t t   2e  2t u1 t    t 
dt
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Propriedades da transformada de Laplace
P7: Diferenciação no Domínio da Transformada
Se
então
xt   X s 
dX s 


 tx t 
RC  R
RC  R
ds
Ex.
xt   t e t u1 t   X s   
1
d  1 
; Res   

 
ds  s    s   2
xt   t 2 e t u1 t   X s   
DEEC/ IST
d  1 
2


; Res   
2 
ds  s     s   3
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Propriedades da transformada de Laplace
P8: Integração no Domínio do Tempo
xt   X s 
Se
então

t

x  d 
RC  R
RC  R  Res   0
1
X s 
s
Nota: pela propriedade da convolução

t

x  d  xt   u1 t  
1
X ( s ) ; RC  RX  Res   0
s
Ex.
 t   1 ; planos
DEEC/ IST

u1 t       d
t


1
; Res   0
s
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Exemplos
Sabendo que xt   e3t u1  t , determine a transformada de Laplace de
Ex. 1
yt   t  5 e j 2t xt  5
Translação no tempo
Diferenciação no domínio da transformada
xt   e u1 t 
3t

z t   tx t 

wt   z t  5  t  5xt  5

yt   e j 2t wt   t  5 e j 2t xt  5
DEEC/ IST
Translação no domínio da transformada
1
X s   
; Res   3
s 3

d
1
Z s    X s   
; Res   3
2
ds
s  3

W s   e 5 s Z s   e 5 s
1
;
2
s  3

Res   3 excl. Res   
1
5  s  j 2 
Y s   W s  j 2  e
;
2
s  j 2  3
Res   3 excl. Res   
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Exemplos
Diferenciação no tempo
Ex. 2
Sabendo que Y s   e 3 s
Translação no tempo
X s  
s
; Res   2 , determine o sinal yt  .
s2
1
; Res   2
s2


Z s   sX s  
s
; Res   2
s2

Y s   e 3s Z s   e 3s s
DEEC/ IST
xt   e2t u1 t 
1
; Res   2
s2
z t  
d
xt   2e  2t u1 t   e 2t t 
dt
 2e  2t u1 t    t 

y t   z t  3
 2e 2t 3u1 t  3   t  3
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Propriedades da transformada de Laplace
P9: Teorema do Valor Inicial
Se xt   0 para t  0 e se xt  não contiver impulsos ou singularidades de
ordem superior na origem t  0 , o limite de xt  quando t  0 por
valores positivos é
x0   lim sX s 
s 
P10: Teorema do Valor Final
Se xt   0 para t  0 e se xt  convergir para um valor constante quando
t  , então
lim xt   lim sX s 
t  
DEEC/ IST
s 0
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Exemplo
X s  
TVI:
x0   lim sX s 
s 
TVF: lim xt   lim sX s 
7 s  10
; Res   0
ss  2
t  
s 0
10
7 s  10
7 s  10
s 7
x 0   lim s
 lim
 lim
s   s s  2 
s  s  2
s  
2
1
s
7
 
lim xt   lim s
t 
X s  
DEEC/ IST
s 0
7 s  10
7 s  10
 lim
5
ss  2 s 0 s  2
7 s  10
1
1
5 2
; Res   0  xt   5 u1 t   2e 2t u1 t 
ss  2
s
s2
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Resposta Impulsional
Função de Transferência
ht   H s  , RH
TL
xt 
Ex.
ht 
yt   ht  xt 
xt   u1 t 
SLIT
X s , RX
H s , RH
yt   3u1 t   e2t u1  t 
H s   ?, R H  ?
s 3
2
s 3
Y s 
ss  2

2
H s  
1
s2
X s 
s
RH : Res   2
DEEC/ IST
Y s   H s X s , RY  RH  RX
1
X s   , Re( s )  0
s
3
1
s 3
Y s   
2
, 0  Res   2
s s2
ss  2
Im(s)

2
RY  RH  RX
3
Re(s)
0  Res   2
Re(s)  0
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Resposta Impulsional
Função de Transferência
SLITs em série – propriedade da convolução
xt 
X s , RX
DEEC/ IST
h1 t 
H1 s , R1
h2 t 
yt 
H 2 s , R2
Y s , RY


xt 
X s , RX
h1 t   h2 t 
yt 
H 1 s H 2 s  Y s , RY
RC  R1  R2
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Resposta Impulsional
Função de Transferência
SLITs em paralelo – propriedade da linearidade
xt 
h1 t 
h2 t 
X s , RX
H1 s , R1
H 2 s , R2
DEEC/ IST

yt 


Y s , RY

xt 
X s , RX
h1 t   h2 t 
yt 
H 1 s   H 2 s  Y s , RY
RC  R1  R2
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Função de Transferência
X s 


E s 
H1 s 
Y s 

Z s 
H 2 s 
Z s   H 2 s Y s 
Realimentação
Analisar o SLIT no domínio do tempo
não é simples;
Obter a expressão algébrica da função
de transferência entre a entrada X s 
e a saída Y s  é imediato.
Es   X s   Z s   X s   H 2 s Y s 
Y s   H1 s  Es   H1 s X s   H 2 s Y s 
1  H1 sH 2 sY s  H1 sX s
DEEC/ IST
H s  
Y s 
H1 s 

X s  1 H1 s H 2 s 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Equação Diferencial
xt 
SLIT
yt 
Função de Transferência
M
dk
dk
ak k yt    bk k xt 

dt
dt
k 0
k 0
N
N

M

dk
dk
T L ak k yt   T L bk k xt 
 k 0 dt

 k 0 dt

N
 dk
 M
 dk

ak T L k yt    bk T L k xt 

k 0
 dt
 k 0
 dt

Linearidade
 a s Y s    b s X s 
N
Diferenciação no tempo
k 0
M
bs

Y s 
H s  

X s 
a s
k 0
N
k 0
DEEC/ IST
M
k
k
k
k
k
k
k 0
k
N
M
k
k
 ak s Y s    bk s  X s 
 k 0

 k 0

k
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Equação Diferencial
xt 
yt 
SLIT
Função de Transferência
M
dk
dk
ak k yt    bk k xt 

dt
dt
k 0
k 0
N
M
H s  
k
b
s
k
k 0
N
a s
k 0
E a região de convergência de H s  ?
k
k
A equação diferencial não dá informação sobre a
região de convergência de H s .
É necessário informação adicional, nomeadamente
sobre a estabilidade ou causalidade do SLIT, para
inferir a região de convergência de H s  .
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Equação Diferencial
Ex.
xt 
SLIT
causal
yt 
H s   ?, R H  ?
SLIT causal
3
DEEC/ IST
d
y t   3 y t   xt 
dt
TL
sY s   3Y s   X s 
Ims 

Função de Transferência
Res 
H s  
Y s 
1

; Res   3
X s  s  3
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
SLIT causal: t  0,
Propriedades dos SLITs
1. ht  de duração limitada com Ti  0
ht 
A região de convergência de H s 
é todo o plano s incluindo a recta Res   
Ex. 1
ht    t  t0   H s   e  st
 t  t0 
Ti
Tf
t
Res    ; t0  0
; planos excluindo 
Res    ; t0  0
ht 
 t  t0 
t0  0
t0  0
sistema não causal:
sistema causal:
Res     RH
DEEC/ IST
0
ht   0
t
Res     RH
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
SLIT causal: t  0,
Propriedades dos SLITs
1. ht  de duração limitada com Ti  0
ht 
A região de convergência de H s 
é todo o plano s incluindo a recta Res   



Ex. 2 ht   u1 t  Ti   u1 t  Tf  H s   e
1
Tf
Ti
Tf
sistema não causal: sistema não causal:
Res     RH Res     RH
DEEC/ IST
Ti
 sTi
e
 sT f
Tf
t
1s ; planos excluindo
Res    ; Ti  0 e T f  0

Res    ; Ti  0 e T f  0
Res    ; T  0 e T  0
i
f

ht 
Ti
ht   0
Ti
Tf
t
sistema causal:
Res     RH
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
Propriedades dos SLITs
1. ht  de duração limitada com Ti  0
A região de convergência de H s 
é todo o plano s incluindo a recta Res   
Ex. 3
xt 
y t  
SLIT
Y s 
s
X s 
ht   0
ht 
Ti
t
Tf
d
xt 
dt
sistema não causal
H s  
SLIT causal: t  0,
Ims 
Res 
RH : planos excluindoRes   
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace
SLIT causal: t  0,
Propriedades dos SLITs
2. ht  de duração ilimitada com Ti  0
ht   0
ht 
A região de convergência de H s  é a região
do plano s para a direita de uma recta paralela
ao eixo imaginário, incluindo Res    .
…
t
Ti
Quando H s  é uma função racional e a região de convergência é direita, incluir
Res    na região de convergência é equivalente a nº polos nº zeros.
Ex.
Im(s)
Im(s)


Re(s)
Sistema não causal
DEEC/ IST


Sistema causal
Im(s)
Re(s)

Re(s)
Sistema não causal
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace

Propriedades dos SLITs
SLIT estável:
H s  


ht e dt 
 st


1
s    j

 ht  dt  
t  jt


h
t
e
e dt


  ht  e

t
e
 jt

dt   ht  et dt

Para   0 , i.e., s  j

H  j    ht  dt   quando o SLIT é estável.

 eixo imaginário RH
condição necessária para que o sistema seja estável
Para H s  racional, a condição anterior é também condição suficiente desde que nº polos nº zeros,
i.e.
SLIT estável nº polos nº zerose eixo imaginário RH
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace

Propriedades dos SLITs
SLIT estável:
 ht  dt  

SLIT estável nº polos nº zerose eixo imaginário RH
Ex.
xt 
y t  
SLIT
d
xt 
dt
sistema instável
Ims 
H s  
Y s 
s
X s 
H s  tem 1 zero mas não tem polos
DEEC/ IST
Res 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace

Propriedades dos SLITs
SLIT estável:
 ht  dt  

SLIT estável nº polos nº zerose eixo imaginário RH
Ex.
Im(s)


Sistema estável
DEEC/ IST
Im(s)
Re(s)


Sistema instável
Im(s)
Re(s)

Re(s)
Sistema instável
Isabel Lourtie