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FRENTE B 3 BIMESTRE
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a
2 ANO PROF. Nádia
Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz
m por n ( indica-se m x n) toda tabela M formada por números
reais distribuídos em m linhas e n colunas.
 a11

A 
a
 m1
a1n 



amn 
Se o número de linhas(m) for igual ao número de
colunas (n), dizemos que esta matriz é de ordem n
ou chamamos matriz n x n ( n por n).
Se o número de linhas for m e o número de colunas for
n, dizemos que esta matriz é de ordem m x n (lê-se: m
por n) ou simplesmente
m x n.
Usamos letras maiúsculas para denotar matrizes e
quando quisermos especificar a ordem de uma matriz
A (o número de linhas e colunas) escreveremos A m x n.
Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a
linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está.
Os elementos da matriz A são indicados por
em que:
mn
i  1,2,3,...,m e j  1,2,3,...,n
a ij
Consideramos uma matriz com m linhas e n colunas que
denotamos por A m x n :
2.1-Matriz retangular
mn
0 2 6
C

1 3 4 2 x 3
2.2-Matriz coluna
É aquela que possui uma única coluna (n=1).
 7 
 
3
D  
 0
 
 8
2.3-Matriz linha
É aquela que possui uma única linha (m = 1)
R   0 1 3 9 6
2.4-Matriz quadrada
É aquela cujo número de linhas
é igual ao número de colunas
(m=n).
 1
A  
 3
12 

4
2.4.1-Diagonais de uma matriz quadrada
Numa matriz quadrada , os elementos
em
que i = j , constituem a diagonal principal.
Numa matriz quadrada , os elementos
em que a soma dos índices igual a n+1,
constituem a diagonal secundária.
D
 1
 3

 4

 5
7
3
1 1
1
9
3
2
8 

3 
0

 3
Diagonal
secundária
Diagonal
principal
2.5-Matriz Nula
É aquela em que ai j = 0, para todo i e j.
0

T  0
0

0
0
0
0
0

0


0; N 
0

0

0
0

0
0

0
2.6-Matriz Diagonal
É uma matriz quadrada (m = n) onde os
elementos que não estão na diagonal principal
são nulos, isto é, ai j = 0, para i  j
 7 0 0


X   0 4 0
 0 0 9


2.7-Matriz Identidade
ou Unidade ( In )
Matriz Identidade ou Unidade de ordem n é toda
matriz diagonal em que os elementos da
diagonal principal são iguais a 1.
 1 0 0


D   0 1 0
0 0 1


2.8-Matriz Escalar
É a matriz diagonal que tem os
elementos ai j iguais para i = j.
 3 0 0


Z   0 3 0
 0 0 3


2.9-Matriz Transposta
Dada uma matriz A  (aij )mxn , chama  se transposta
t
de A a matriz A  (a' ji )nxm tal que(a' ji )  (aij ), para todo
i e j.
1
3
A 
7

5
2 
1 
4

9
7 5
 1 3
A 


2
1

4
9


t
2.9.1.Propriedades da
Matriz Transposta
( A 


A
A 
t
t
B )t
t

At
  A
t
 A
( AB )  B
t
t
t
. A

Bt
2.10-Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada é simétrica se, e somente se
ela é igual a sua transposta, ou seja se, e somente
se A=At
 1

A  1
 5

1
0
2
5
1 1 5 
 t 

2  A  1 0 2 



2
5 2 2 
2.12-Matriz Inversa
Seja uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos
que A é matriz inversível se existir B tal que :
AB  BA  In
Se A não é inversível,dizemos que A é uma matriz
singular.
2.11-Matriz Anti- Simétrica
Uma matriz quadrada é anti- simétrica
se, e somente se, At = - A
 0

A   1
 5

1
0
2
5

2 A
0 
t
0

 1
5

1
0
2
5

2 
0 
2.12-Matriz Oposta
Dada a matriz A   aij mxn chama  se oposta de A
e indica  se   A  a matriz A  tal que A  A   0
 11
A
 20
0

1 
e
 11 0 
A  

 20 1 
3-Igualdade entre matrizes
Duas matrizes A   aij mxn e B  bij mxn são iguais quando aij   bij 
para todo i i  1,2,3,...m e j  j  1,2,3,...n .
Duas matrizes são iguais se elas têm o
mesmo número de linhas e colunas e
todos os elementos estão dispostos na
mesma posição são iguais.
3-Igualdade entre matrizes:
exemplos
Exemplos :
1
 
7
3 


4 
1
 
7
3 
 1
 

4 
 17
1
7

3 
4 


14 

3
4-Adição e subtração
de matrizes
Dadas duas matrizes A   aij mxn e B  Bij mxn
chama  se soma A  B a matriz C   c ij mxn
tal que  c ij mxn   aij   bij  , para todo i e j.
Dadas duas matrizes A   aij mxn e B  bij mxn
chama  se diferença A  B a matriz soma
de A com a oposta de B.
4-Adição e subtração
de matrizes- exemplos
2 3 8
5
A 
 ; B
 4 1  6 
0
7
A B  
4
 5
B C  
 1
7
4
4
3
 16
0
9 
0 9 8 
; C  

1 
1 4 6 
1 

 5
 17 

5 
5-Produto de um escalar por
uma matriz.
Dado um número K e uma matriz A  aij mxn , chama  se
produto K.A a matriz B  bij mxn tal que bij  k.aij para todo
i e todo j.
 11
A
 20
0

1 
e
 33 0 
3.A  

 60 3 
6-Produto de matrizes.
Dadas duas matrizes A   aij mxn
e B  b jk nxp
chama  se produto A B
a matriz C   c ik mxp
tal que
n
 c   a . b  a . b  a b  ...  a . b   a .b
ik
i1
1k
i2
2k
i3
3k
in
nk
j i
ij
jk
REFERÊNCIA.
IEZZI , G. e HAZZAN, S. Fundamentos da
Matemática Elementar.v. 4.Ed.Atual.6ed.