MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Matrizes
O número de elementos que constituem a matriz
m X n é m . n.
Assim, a matriz 2 X 3 abaixo possui 2 linhas e
3 colunas e um total de 6 elementos.
1 2 3
M=

 −3 −2 −1
Matrizes – Definições
A teoria das matrizes foi introduzida pelo matemático inglês Arthur Cayley em meados do século XIX.
O desenvolvimento das matrizes teve como
motivação simplificar a notação de transformações
lineares e a resolução de sistemas lineares, e a
preocupação principal era sua forma e a estrutura
algébrica.
No século XX, inúmeras aplicações práticas
surgiram para as matrizes na computação, economia,
biologia, ecologia, geografia, e na própria matemática
entre outras.
As matrizes são frequentemente usadas para
organizar dados, como uma tabela indexada. Por
exemplo, as notas dos alunos de uma escola podem
ser dispostas numa matriz cujas colunas correspondem às matérias e as linhas representam cada um
dos alunos.
Uma matriz de ordem m X n, M = (aij)mxn, é
uma lista de números aij, onde 1 < i < m e 1 < j
< n, dispostos em m linhas e n colunas, na qual o
elemento aij está localizado no cruzamento da i-ésima
linha com a j-ésima coluna.
M = (aij )mxn
 a11 a12  a1n 
a
a22  a2n 
21

=
 


  a
 ij

am1 am 2  amn 
linha i
linha j
Podemos identificar os elementos a11=1, a12=2,
a13= 3, a21= –3, a22= –2 e a23= –1.
Uma matriz constituída por n linhas e n colunas
é uma matriz quadrada de ordem n X n ou simplesmente uma matriz quadrada de ordem n.
Em uma matriz quadrada de ordem n, o conjunto
dos elementos aij tais que:
a)i = j chama-se diagonal principal.
b)i + j = n +1 chama-se diagonal secundária.
a13  a1n 
a23  a2n 

a33  a3n 

   
an 3  ann 
 a11 a12
a
a22
 21
M =  a31 a32


 
an1 an 2
 a11  a1,n − 2
a
 a2,n − 2
 21
M =  a31  a3,n −2



 
an1  an,n − 2

a1,n −1 a1n 
a2,n −1 a2n 

a3,n −1 a3n 


 
an,n −1 ann 
diagonal
principal
diagonal
secundária
A soma dos elementos da diagonal principal de
uma matriz quadrada é chamada traço da matriz.
n
tr(M) = ∑ aii = a11 + a22 + a33 +  + ann
EM_V_MAT_010
Os elementos que possuem o mesmo 1.º índice
encontram-se na mesma linha, e os que possuem o
mesmo 2.º índice encontram-se na mesma coluna.
A lista ordenada (ai1,ai2,...,ain) chama-se i-ésima
linha ou i-ésimo vetor-linha da matriz. A lista ordenada (a1j,a2j,...,amj) chama-se j-ésima coluna ou
j-ésimo vetor-coluna da matriz. Assim, as linhas de
uma matriz m X n são vetores do Rn e as colunas,
vetores do Rm.
i =1
Igualdade de matrizes
Duas matrizes são iguais se, e somente se,
possuem a mesma ordem e todos os elementos correspondentes (elementos com índices iguais, ij, que
ocupam a mesma posição) são iguais.
Sejam A = (aij)mXn e B = (bij)pXq , então
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1
Dadas A e B duas matrizes de mesma ordem, a
diferença das matrizes A – B é definida como A – B
= A + (–B).
Adição e subtração
de matrizes
Sendo A= (aij)mXn e B = (bij)mXn , então D = A – B é
tal que:
D = (dij)mXn onde dij = aij – bij , " i, j, 1 < i < m e
1<j<n
 a11 a12  a1n   b11
a
a22  a2n   b21
−
 21
 


   
 

am1 am 2  amn   bm1
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem m X
n, chama-se soma de A com B a matriz C = A + B, de
ordem m X n, cujos elementos são obtidos somando-se
os elementos correspondentes das matrizes A e B.
a12 − b12  a1n
 a11 − b11
 a −b
a
 a 2n
21
22 − b22
 21





b
amn
a
−
b
a
−

m1
m2
m2
 m1
Sejam A = (a ij) mXn e B = (b ij) mXn, então C = A
+ B é tal que:
C = (cij)mxn onde cij = aij + bij , " i, j, 1 < i < m e
1<j<n
 a11 a12  a1n   b11
a
a22  a2n   b21
+
 21
 


   
 

am1 am 2  amn   bm1
b12  b1n 
b22  b2n 
=


 

bm 2  bmn 
a12 + b12  a1n + b1n 
 a11 + b11
 a +b
a
 a 2n + b2n 
21
22 + b22

 21








b
a
b
a
+
b
a
+

+
m1
m2
m2
mn
mn 
 m1
A adição de duas matrizes só é definida quando
elas possuem a mesma ordem. Nesse caso, diz-se
que elas são conformáveis para adição.
``
Exemplo:
2
1 2 3 
3
4 5 6  +  −3 −2



``
b)Associativa: (A +B) + C = A + (B + C).
c) Elemento neutro: A + 0 = A onde 0 é a matriz
nula da mesma ordem de A e possui todos os
seus elementos nulos.
d)Matriz oposta: A + (–A) = 0, onde –A é uma
matriz da mesma ordem de A e cujos elementos são opostos dos elementos correspondentes de A.
2
2
−2
1
=
−1
2 −2
3 −1 
 1−3
4 − ( −3 ) 5 − ( −2 ) 6 − ( −1 ) 


−2 0 2 
= 
7 7 7


Multiplicação de matriz por
escalar
Seja um número k R, e uma matriz A= (aij)mXn ,
o produto k . A é a matriz B= (bij)mXn obtida multiplicando-se cada elemento de A por k, isto é, bij = k . aij
para todo i e todo j.
 a11 a12  a1n   k ⋅ a11 k ⋅ a12  k ⋅ a1n 
a
a22  a2n   k ⋅ a21 k ⋅ a22  k ⋅ a2n 
21
=

k⋅
 


   


 
 


am1 am 2  amn  k ⋅ am1 k ⋅ am 2  k ⋅ amn 
4 4 4 
1 3 5 


a)Comutativa: A + B = B + A.
− b1n 
− b2n 




− bmn 
Exemplo:
1 2 3   3
4 5 6  -  −3

 
1
1 + 3 2 + 2 3 +1
= 
 =
−1
4 − 3 5 − 2 6 −1
Propriedades da adição
b12  b1n 
b22  b2n 
=


 

bm 2  bmn 
``
Exemplo:
1 2 3
2 ⋅1 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 
2 4 6
2 . 
= 
= 



4 5 6 
2 ⋅ 4 2 ⋅ 5 2 ⋅ 6 
8 10 12 
Propriedades
Sejam A e B matrizes m X n e a, b
a)1 . A = A
R.
b)(–1) . A = –A
c) a . 0mXn = 0mXn
d)0 . A = 0mXn
e)a . (A + B) = a . A + a . B
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EM_V_MAT_010
A=B⇔
Propriedades
f) (a + b) . A = a . A + b . A
g)a . (b . A) = (ab) . A
Multiplicação de matrizes
Sejam duas matrizes A = (aij)mXn e B = (bjk)nXp ,
o produto de A por B, A . B, é a matriz m x p, C = (cik)mXp ,
onde o elemento cik, localizado na i-ésima linha e
k-ésima coluna, é obtido multiplicando-se os elementos da i-ésima linha de A pelos correspondentes
elementos da k-ésima coluna de B e somando os
produtos parciais assim obtidos.
n
cik = ai1b1k + ai 2 b2k + ai 3b3k +  + ain bnk = ∑ aij ⋅ b jk
j=1
Considerando as linhas da matriz A e as colunas
da matriz B como vetores no Rn, cada elemento cik é
obtido pelo produto escalar do i-ésimo vetor linha
de A pelo k-ésimo vetor coluna de B.
O produto de duas matrizes AB somente existe
quando A possui tantas colunas quantas são as linhas de B. Nesse caso, diz-se que as duas matrizes
A e B são conformáveis para a multiplicação.
O produto AB é uma matriz que possui o número
de linhas de A e o número de colunas de B.
a)A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, para duas matrizes quaisquer A e
B é falso que AB = BA necessariamente.
1.º caso: AB existe e BA não existe
m ≠ p ⇒ A mXn × BnXp = ABmXp
/ BA
BnXp × A mXn Þ $
2.º caso: AB e BA existem, mas são de
tipos diferentes
A mXn × BnXm = ABmXm
BnXm × A mXn = BA nXn
3.º caso: AB e BA existem e são do mesmo tipo (A e B são matrizes quadradas de
mesma ordem), mesmo assim em geral
temos AB ≠ BA.
4.º caso: Sejam A e B matrizes quadradas
e de mesma ordem, quando ocorre AB =
BA, diz-se que A e B comutam.
b)Associatividade: (A . B) . C = A . (B . C)
c) Distributividade em relação à adição
A . (B + C) = A . B +A . C
A . (B + C) = A . B +A . C
d)(k . A) . B = A . (k . B) = k . (A . B)
e)Elemento neutro (matriz identidade)
AmXn . In = Im . AmXn = AmXn
AmXn
BnXp
CmXp
cik = ai1b1k + ai 2 b2k + ai 3b3k +  + ain bnk
``
1, se i = j
⇒
In = (d ij )nXn onde δ ij = 
0, se i ≠ j
1
0
In = 


0
0  0
1  0

  

0  1
f) Multiplicação pela matriz nula:
Exemplo:
0 1 2 
1 2 3  

.
4 5 6  2 1 0  =

 1 2 3 


0pXm × A mXn = 0pXn
A mXn × 0nXp = 0mXp
EM_V_MAT_010
1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅1 1 ⋅1 + 2 ⋅1 + 3 ⋅ 2 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 3 
4 ⋅ 0 + 5 ⋅ 2 + 6 ⋅1 4 ⋅1 + 5 ⋅1 + 6 ⋅ 2 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 0 + 6 ⋅ 3  =


7
16

9 11 
21 26 
1) Sendo A . B = 0 não se pode concluir que A = 0
ou B = 0. Veja o seguinte exemplo onde A ≠ 0,
B ≠ 0 e AB = 0.
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3
Matriz nula
É toda matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero.
2)Quando temos A . B = A . C ou (B . A = C . A)
não se pode concluir que B = C, mesmo que
A ≠ 0.
0mXn
Veja o exemplo a seguir, onde tem-se AB =
AC e B ≠ C.
 1 2 0  1 2 3 
 1 1 0  ⋅ 1 1 −1
=
 

 −1 4 0  2 2 2 
 1 2 0  1 2 3 
 1 1 0  ⋅ 1 1 −1
=
 

 −1 4 0  1 1 1 
3 4 1 
2 3 2 


 3 2 −7 
3)(A + B)2 = A2 + AB +BA + B2
n colunas
A matriz nula é o elemento neutro da adição de
matrizes, assim A + 0 = A e 0 + A = A.
Matriz diagonal
É toda matriz quadrada em que os elementos
não pertencentes à diagonal principal são iguais a
zero, ou seja, aij = 0 sempre que i ≠ j.
a11 0  0 
0 a
0 
22 

An = 
 


 


0  ann 
0
Matriz quadrada
A matriz constituída pelo mesmo número de
linhas e colunas é chamada matriz quadrada.
Assim, uma matriz constituída por n linhas e n
colunas é uma matriz quadrada de ordem n X n ou
simplesmente uma matriz quadrada de ordem n.
M = (a ij )nXn
Matriz identidade
É a matriz diagonal, na qual todos os elementos
da diagonal principal são iguais a 1.
 a11 a12  a1n 
a
a22  a2n 
21

=
 


 


a n1 a n 2  a nn 
In = (d ij )nXn
1
0
⇒ Ιn = 


0
0  0
1  0

  

0  1
1, se i = j
é o chamado Delta de Kronecker.
0, se i ≠ j
Matriz linha
onde δ ij = 
É toda matriz de ordem 1 X n, ou seja, que possui
uma única linha.
A matriz identidade é o elemento neutro da
multiplicação de matrizes, assim AmXn . In = In . AmXn
= AmXn.
M = (a ij )1Xn = [a11 a12  a1n ]
Matriz coluna
É toda matriz de ordem m X 1, ou seja, que
possui uma única coluna.
é a11 ù
ú
ê
ê a21 ú
ú
M = (a ij )mX1 = êê
ú
ê  ú
êa ú
ë m1 û
4
é0 0  0ù üï
úï
ê
ê0 0  0ú ïïï
ú ý m linhas
ê
=ê
úï
ê     ú ïï
ê0 0  0ú ïï
û ïþ
ë 

Matriz triangular superior
Chama-se matriz triangular superior a matriz
quadrada que possui todos os elementos abaixo da
diagonal principal nulos.
A é triangular superior ⇒ aij= 0 , se i > j
a11 a12
0 a
22

0
A= 0


 
 0
0
a 13  a1n 
a23  a2n 

a33  a3n 

   
0  ann 
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EM_V_MAT_010
 1 2 0 0 0 0
0 0 0
 1 1 0 . 
 = 0 0 0
0
0
0
 




 −1 4 0  1 4 9 
0 0 0 
Matriz triangular inferior
Chama-se matriz triangular inferior a matriz
quadrada que possui todos os elementos acima da
diagonal principal nulos.
A é simétrica ⇒ A = At
``
1 4 5 
A = 4 2 6  é simétrica.


5 6 3 
A é triangular inferior ⇒ aij= 0 , se i < j
a 22
a 32
0 ... 0 
0 ... 0 
a 33 ... 0 


a n3 ... a nn 
a n2
...
0
...
...
...
a11
a
 21
a 31


a
 n1
Matriz transposta
A matriz transposta de A, At , é a matriz obtida a
partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas
por colunas.
Seja A=(aij)mXn , então At=(bij)nXm , onde bji=aij
para todo i, j.
A matriz transposta de A possui tantas linhas
quantas são as colunas de A e tantas colunas quantas
são as linhas de A.
A=
a b c
a b c
t
A =
a a
b b
c c
A transposta de uma matriz quadrada pode ser
obtida invertendo os elementos em relação à diagonal principal. Os elementos da diagonal principal não
mudam de posição.
Propriedades
a) (At)t = A
b) (A + B)t = At + Bt
c) (A – B)t = At – Bt
d) k
R ⇒ (kA)t = k . At
e) (A . B)t = Bt . At
EM_V_MAT_010
f) (A . B . C)t = Ct . Bt . At
Exemplo:
Se A é quadrada, a matriz A + At é sempre simétrica.
Matriz antissimétrica
Uma matriz quadrada diz-se antissimétrica
quando aij= –aji para todo 1 < i < n, 1 < j < n,
ou seja, quando é igual à oposta de sua matriz
transposta.
A é antissimétrica ⇒ A = –At
Daí resulta que os elementos simétricos em relação à diagonal principal são opostos e os elementos
pertencentes à diagonal principal são nulos.
``
Exemplo:
0 −4 −5 
A = 4 0 −6  é antissimétrica.


5 6
0 
Se A é quadrada, a matriz A – At é sempre antissimétrica.
Matrizes comutativas
Como já visto anteriormente, em geral, AB ≠ BA.
Se A e B são matrizes quadradas e de mesma
ordem, diz-se que A e B comutam, quando ocorre
AB = BA.
A e B comutam ⇒ AB = BA
Matrizes anticomutativas
Se A e B são matrizes quadradas e de mesma
ordem, diz-se que A e B são anticomutativas, quando
ocorre AB = –BA.
A e B são anticomutativas ⇒ AB = –BA
Matriz simétrica
Matriz involutiva
Uma matriz quadrada diz-se simétrica quando
aij= aji para todo 1 < i < n, 1 < j < n, ou seja, quando
é igual à sua matriz transposta.
Daí resulta que os elementos simétricos em
relação à diagonal principal são iguais.
Uma matriz quadrada A diz-se involutiva quando
A2 = I.
A é involutiva ⇒ A2 = I
1
0
A matriz A = 
 é involutiva, pois
0 −1
1
0


A2 = 
 .
 0 1
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5
Matriz nilpotente
Matriz ortogonal
Uma matriz quadrada A é dita nilpotente se
A = 0.
Uma matriz é dita ortogonal quando sua transposta e sua inversa coincidem.
A é nilpotente ⇒ A2 = 0
Uma matriz quadrada é dita nilpotente de ordem p se Ap = 0 e p é o menor inteiro positivo para
o qual isso ocorre.
 A p = 0
A é ortogonal ⇒ At = A-1
Matriz cofatora
ordem, pois A2 ≠ 0 e A3 = 0.
A matriz cofatora de uma matriz quadrada A,
indicada comumente por A’, é outra matriz quadrada cujos elementos são os cofatores dos elementos
correspondentes da matriz A.
No próximo módulo aprenderemos a calcular os
cofatores de uma matriz.
Matriz idempotente
Matriz adjunta
Uma matriz quadrada A é dita idempotente se
A2 = A.
A matriz adjunta de uma matriz quadrada A,
comumente indicado por A, é a transposta da matriz
dos cofatores.
A é nilpotente de ordem p ⇒ 
k
 A ≠ 0, k < p
5 2 6
A matriz A =  5 2 6  é nilpotente de 3.ª
 −2 −1 −3
A é idempotente ⇒ A2 = A
2
−2 −4 
A matriz A =  −1 3 4  é idempotente, pois
 1 −2 −3 
A2 = A.
Matriz singular
Matriz singular é a matriz quadrada cujo determinante é nulo.
A é singular ⇒ det A = 0
Matriz não-singular é a matriz quadrada cujo
determinante é diferente de zero.
A é não-singular ⇒ det A ≠ 0
Matrizes semelhantes
Duas matrizes A e B são ditas semelhantes, se
existir uma matriz não-singular P tal que B = P-1 . A . P
Se A e B são semelhantes, então det A = det B.
1. (UFC) O valor de “a” para que a igualdade matricial
2 1  1 −1  1 0
 1 1  −1 a  = 0 1 seja verdadeira é:


 

Matriz inversível
a) 1
Uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se
existe uma matriz A-1, chamada matriz inversa, tal que
A-1A = AA-1 = In.
Uma matriz A é inversível se, e somente se, ela
é não-singular (det A ≠ 0).
A é inversível ⇒ det A ≠ 0
Assim, uma matriz A não é inversível se, e somente se, ela é singular (det A = 0).
c) 0
Propriedades
b) 2
d) –2
e) –1
``
Solução: B
2 1  1 −1 1
1 1  −1 a  = 0


 
−2 + a  1 0 
=
−1 + a  0 1 
⇒ –2 + a = 0 ⇒ a = 2
–1 + a = –1 + 2 = 1 (confere com o elemento 2,2)
a)(AB)-1 = B-1 A-1
b)(ABC)-1 = C-1 B-1 A-1
6
c) (At)-1 = (A-1)t
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EM_V_MAT_010
2
2. (FGV) A, B e C são matrizes quadradas de ordem 3,
e I é a matriz identidade de mesma ordem. Assinale a
alternativa correta:
Quantas unidades do composto 2 serão necessárias
para fabricar três remédios do tipo 1; dois remédios do
tipo 2 e cinco remédios do tipo 3?
a) 18
a) (A +B)2 = A2 + 2AB + B2
b) 21
b) B . C = C . B
c) (A + B) . (A – B) = A2 – B2
c) 24
d) 27
d) C . I = C
e) 30
e) I . A = I
``
``
Solução: D
Como o produto de matrizes não é comutativo, tem-se
em geral AB ≠ BA.
Solução: B
[3
é1
ê
5 ] ê2
ê0
ë
2
(A + B)2 = A2 + AB +BA + B2
(A + B) . (A – B) = A2 – AB +BA – B2
Assim as alternativas a, b e c estão incorretas.
5. (Covest) Assinale a proposição verdadeira: o produto da
1 2
x y 
matriz 
 pela matriz 
 é comutativo se:
0 1
3. (AFA) Sejam as matrizes A = (aij)3x2 e B = (bij)2x4, com
aij = –2i + j e bij = 2i – j. O elemento c33 da matriz
C = (cij)3x4 = AB é:
0 1
a) x = 1 e y = 0.
b) x = 2 e y = 0.
a) –1
b) 0
c) x = 1 e para todo y
R.
d) x = 5 e para todo y
R.
e) x = 10 e y = 0.
c) 1
``
d) 2
Solução: C
.
x
0

c33 . a31 . b13 + a32 . b23 = (–5) . (–1) + (–4) . (1) = 1
x
0

.
1 2 
x
0 1  = 0



a31 = –2 . 3 + 1 = –5
Se o produto é comutativo, então devemos ter
a32 = –2 . 3 + 2 = –4
y
1 
x
0

b13 = 2 . 1 – 3 = –1
y
x
=
0

1

y +2
1 
1 2 
0 1 


Solução: C
Não é necessário efetuar todo o produto, apenas obter
o elemento c33.
y +2
x
= 0

1 

4. (Unirio) Um laboratório farmacêutico fabrica três tipos de
remédios utilizando diferentes compostos. Considere a
matriz A = (aij) dada a seguir, onde aij representa quantas
unidades do composto j serão utilizadas para fabricar
uma unidade do remédio do tipo i.
é1
ê
A = ê2
ê0
ë
2 4ù
ú
5 3ú
1 4úû
2x + y 
1 
2x + y 
⇔ y +2 = 2x +y ⇔ x = 1, y
1 
b23 = 2 . 2 – 3 = 1
EM_V_MAT_010
21 38 ]
Logo, serão necessárias 21 unidades do composto 2.
Como A . I = I . A = A, a alternativa e está errada e a
única correta é a alternativa d.
``
2 4ù
ú
5 3 ú = [7
1 4 úû
6. (UFRGS) Se a matriz
y + z é:
1 2 y
 x 4 5  for simétrica, então x +


3 z 6


a) 7
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
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7
Solução: C
a) Para quaisquer θ1 e θ2 , demonstre que R θ1 ⋅ R θ2 =
R θ1+θ2 .
A é simétrica ⇔ aij = aji
b) Determine o valor de θ que torna verdadeira a
igualdade R θ3 = −Ι , na qual I é a matriz identidade
2 x 2.
a21 = x e a12 = 2 ⇒ x = 2
a31 = 3 e a13 = y ⇒ y = 3
a32 = z e a23 = 5 ⇒ z = 5
``
⇒ x +y +z = 2 +3 +5 = 10
7.
a) Demonstração:
A é uma matriz quadrada. Verifique que:
1
a) a matriz S = ( A + A t ) é simétrica.
2
1
b) a matriz K = ( A − A t ) é antissimétrica.
2
c) Deduza então que toda matriz quadrada pode ser
expressa como a soma de uma matriz simétrica
com uma matriz antissimétrica.
``
Solução:
cos θ1
Rθ1 ⋅ Rθ2 = 
 sen θ1
− sen θ1 
cos θ1 
cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2
=
 sen θ1 cos θ2 + cos θ1 sen θ2
.
cos θ2
 sen θ
2

− sen θ2 
=
cos θ2 
− sen θ2 cos θ1 − sen θ1 cos θ2 
− sen θ1 sen θ2 + cos θ1 cos θ2 
=
cos( θ1 + θ2 ) − sen( θ1 + θ2 ) 
 sen( θ + θ ) cos( θ + θ )  = Rθ1 +θ2
1
2
1
2


b) 60º
a) Sejam A = (aij) e At = (bij), temos: aij = bij
A matriz C = (cij) = A + At é tal que
cij = aij + bij = aij + aji
A matriz – I representa a transformação do vetor v em –v.
Portanto, trata-se de uma rotação de 180º. Para obtermos
esse resultado, devemos efetuar três rotações sucessivas
de 60º. Logo, θ = 60º.
cji = aji + bji = aji + aij
Rθ3 = −Ι = R180º ⇒ Rθ+θ+θ = R180º ⇒ 3 θ = 180º ⇒
⇒ cij = cji ⇒ C = Ct ⇒ C é simétrica
θ = 60º
⇒ S = ( A + At ) é simétrica
1
2
b)Sejam A = (aij) e At = (bij), temos: aij = bij
x −1
1. (Milton Campos) Sejam as matrizes A = 
e
 2 x 
2 4
B= 
, onde x ∈R. Se A2 = B, então x é igual a:
 −8 2
a) –2
A matriz D = (dij) = A – At é tal que
dij = aij – bij = aij – aji
dij = aji – bji = aji – aij
⇒ dij = –dji ⇒ D = –Dt ⇒ D é antissimétrica
1
⇒ K = ( A − At ) é antissimétrica
2
c) S + K =
d) –1/2
2. (UFSCar) Seja a matriz M = (mij)2x3, tal que mij = j2 – i2.
1
1
( A − At ) + ( A − At ) = A
2
2

x 
8. (UERJ) Para executar a rotação do vetor v =   de
y 
um ângulo θ no sentido anti-horário, um programa
de computador multiplica-o pela matriz de rotação
cos θ − sen θ 


Rθ = 
 . O vetor w = R θ ⋅ v é o resultado
θ
θ
sen
cos


dessa rotação.
b) 2
c) 1/2
Logo, toda matriz quadrada pode ser expressa como a
soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica da forma de S e K.
8
Solução:
a) Escreva M na forma matricial.
b) Sendo Mt a matriz transposta de M, calcule o produto.
3. (FGV-SP) A e B são matrizes e At é a matriz transposta de A.
1
 2 −3
Se A =  1 y  e B = 2 , então a matriz At ⋅B será
1
 x 2 
nula para:
a) x +y = −3
b) x ⋅ y = 2
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EM_V_MAT_010
``
b) Se A n denota o produto de A por A n vezes, determine o valor do número natural k tal que:
c) x = −4
y
d) x ⋅ y 2 = −1
e)
y
x
c)
= −8
A
k2
−A
0
1
 −1 −1


, a opção
8. (UFF) Com relação às matrizes:
correta é:
a) A = I2, sendo I2 a matriz identidade de ordem 2.
 5 −3
2 1
e B=
,
 y 4 
 x −1
A=
24
b) A22, sendo I2 a matriz identidade de ordem 2.
c) A21 = A
sabe-se que:
a) a soma dos elementos de AB é 10;
b) det(A) + det(B) = 18.
d) A21 = A2
e) A22 = A2
5. (FGV-SP) Seja a matriz
da matriz A100 é:
 1 1
A=
 0 1
. A soma dos elementos
a) 102
b) 118
Determine os valores dos números reais x e y.
9. (PUC-Campinas) No conjunto M das matrizes n x m
(com n ≠ m), considere as seguintes afirmações:
I. Se A é uma matriz de M, sempre estará definido o
produto A ⋅ A.
II. Se A é uma matriz de M, a sua transposta não o
será.
c) 150
III. A soma de duas matrizes de M pode não pertencer
a M.
d) 175
e) 300
6. (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar
chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no
domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um
consumiu e como a despesa foi dividida:
S
4
= 0
3
1 4
5 5 3
2 0 e D = 0 3 0
2 1 3
1 5

S refere-se às despesas de sábado e D às de
domingo.
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que
i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo
o número 2 e Cláudio o número 3 ( aij representa o
elemento da linha i, coluna j de cada matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele
próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio
(primeira linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
EM_V_MAT_010
6
+ A = Ι,
d) onde Ι é a matriz identidade.
4. (FGV-SP) Com relação à matriz A =
7.
5k
(UFRJ) Seja
A=
a) Determine
1 1 .
0 1
3
A = A⋅A⋅A
Concluímos que:
a) somente a II é verdadeira.
b) somente I e II são verdadeiras.
c) todas são falsas.
d) somente I é falsa.
e) n.d.a.
10. (UFF) Toda matriz de ordem 2 x 2, que é igual a sua
transposta, possui:
a) pelo menos dois elementos iguais.
b) os elementos da diagonal principal iguais a zero.
c) determinante nulo.
d) linhas proporcionais.
e) todos os elementos iguais a zero.
a
11. (FCC) Seja a matriz A =
b
t
Se A = – A, então:
−1
t
e A sua transposta.
c

a) a = b = 0 e c = –1
b) a = c = 1 e b = –1
c) a = c = 0 e b = –1
d) a = c = 0 e b = 1
e) a = b = 1 e c = –1
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9
t
3
 1 ,
2
12. (Fuvest) Uma matriz real A é ortogonal se A ⋅ A = Ι , onde
Ι indica a matriz identidade e At indica a transposta de
1 
x
A. Se A =  2  é ortogonal, então x2 + y2 é igual a:
 y z


a) 1
4
b)
c)
d)
e)
3
4
2
6
0
−1 1 
2 x

19
e  
 6 
(32)A e B são matrizes quadradas de ordem 2, tais
que A = 5B. Nestas condições pode-se afirmar
que det(A) = 5 det(B), sendo que det(A) e det(B)
designam, respectivamente, os determinantes das
matrizes A e B.
Soma (
1
[3x 5],
)
15. (UFU) Seja A uma matriz de ordem 3 inversível, tal que
2
( A − 2Ι ) = 0 , em que Ι é a matriz identidade de ordem
3. Assim, pode-se afirmar que a matriz inversa A −1 é
igual a:
3
2
3
2
1 1 1
A = 1 2 2
1 4 4
,
13. ( U F S C ) C o n s i d e re a s m a t r i z e s :
0 0 0 
3  , C = (-1)⋅A e determine a soma dos núB = 1 2
 −1 −2 −3
meros associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).
(01) A matriz A é inversível.
a)
Ι−
1
4
A
b) 2A
c) 4 ⋅ Ι − A
d)
1
2
Ι
significa a matriz trans-
16. (UFU) Uma matriz quadrada A é denominada matriz
t
t
ortogonal se AA = A A = Ι onde At denota a transposta
da matriz A e Ι é a matriz identidade de ordem n.
(04) O sistema homogêneo, cuja matriz dos coeficientes
é a matriz A, é determinado.
a) Mostre que os possíveis valores do determinante
de uma matriz ortogonal A são 1 e –1.
(02) ( A ⋅ B )t = B t ⋅ At , onde
posta de A.
A
t
(08)A + C é a matriz nula de ordem 3.
 2 5 é ortogonal.
 1 3
17. (UEL) Sendo A uma matriz m x n e B uma matriz p x q
é correto afirmar que:
b) Verifique se
(16) A ⋅ C = C ⋅ A.
Soma (
)
14. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) corretas(s).
(01) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do
x + 2y = 9
sistema 
3x + 6y = 27
[
t t
(A )
=Ae
t t
(B )
=B
b) Sempre é possível efetuar A +B
c) Se n = p, então A⋅B = B⋅A
d) Sempre é possível efetuar o produto A⋅B.
tal que a ij = i − 3 j é
A = −2 −5 −8 .
(02) A matriz
a)
B =
A = ( a ij )1x 3
e) Se n = p, então
]
t
t
A ⋅B = B ⋅ A
1 1
(04) A soma dos elementos da inversa da matriz   é
0 1
igual a 2.
condições pode-se afirmar que a matriz
é antissimétrica.
0
0
1
0 1
0 0
0 0

(16) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas a seguir, para que PQ – R seja uma matriz nula,
o valor de x deve ser 2.
10
1. (UERJ) Considere as matrizes A e B:
A = ( a ij ) é quadrada de ordem n e
a ij =
 1, se i é par

−1, se i é ímpar
i
B = ( bij ) é de ordem n x p em que bij = j
a) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal
da matriz A.
b) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da
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EM_V_MAT_010
(08)Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se
At = – A, sendo At a transposta da matriz A. Nessas
matriz produto AB é igual a 4094. Calcule o número
de linhas da matriz B.
(( ) Para que a matriz A seja igual à matriz B, é necessário que c seja número negativo.
2. (UFF) Um dispositivo eletrônico, usado em segurança,
modifica a senha escolhida por um usuário, de acordo
com o procedimento descrito abaixo.
(( ) Se b = 0 e c = –1, então o elemento na posição “2.ª
linha, 2.ª coluna” da matriz (A ⋅ B) é log10 2 .
A senha escolhida S1 S2 S3 S4 deve conter quatro
dígitos, representados por S1, S2, S3 e S4. Esses são
então transformados nos dígitos M1, M2, M3 e M4, da
seguinte forma:
(( ) Todos os valores de ϕ para os quais A = B são da
 M1
 M 
2
 S  M 
= P  1 e  3 
 S2   M 4 
S 
= P  3  onde P é a matriz
S4
(( ) Se ϕ = 0 e c = 0, então a matriz A tem inversa, qualquer que seja o valor de b.
π
forma 2 k π ± , onde k é número inteiro.
3
6. (Unirio) Considere a matriz quadrada de ordem dois
definida por:
 0 1
 1 0 .
a ij
Se a senha de um usuário, já modificada, é 0110, isto
é:
M1 = 0, M2 = 1, M3 = 1 e M4 = 0, pode-se afirmar que
a senha escolhida pelo usuário foi:
a) 0011
b) Considere que cada elemento aij da matriz A representa o produto escalar entre os vetores não-nulos


v i e v j . Determine a medida do ângulo formado


entre os vetores v 1 e v 2.
c) 1001
7.
 1
 2
3. (UFRN) Dada a matriz M =  1
 −
que:
2
a)
b)
−
1
2
1 
2

podemos afirmar
d) 50
8. (UFRJ) Considere as matrizes:
 0

−1 
d) M =  −2 2 
−2
1

5. (UFPR) Considere as matrizes A =  b
2
log10
19941994
19941994
Determine C = A2 – B2 – (A + B)(A – B).
cos ϕ
e
c 


10
 , onde a, b, c e ϕ são números
5

reais. Assim, é correto afirmar:
EM_V_MAT_010
19941994
 1 −1
e B =
19941995
 −1 1 

2
2
Seja A = A ⋅ A e B = B ⋅ B.
A=
4. (UFCE) A matriz quadrada M, de ordem n > 1, satisfaz
a equação M 2 = M − Ι , onde Ι é a matriz identidade de
ordem n > 1. Determine, em termos de M e Ι , a matriz
M2003.
log10
a) 9
c) 41
c) M ⋅ X = 0 ⇔ X =  0
3a +2b
B=  1

 2
soma dos elementos da matriz A é:
b) 40
50
2
5
x
1 2
, B = 1 1
z
 

e C = 36 45 , com x, y, z números reais. Se A⋅B = C, a


=M
M⋅
M 
⋅  ⋅
M =M
⋅
50 vezes
1
Det ( M ) =
2
M
1
(Unesp) Considere as matrizes A =  y

4
e) 1100
j
a) Determine a matriz A.
b) 0101
d) 1010
2i − j , se i ≤ j

=
3
i − 2 j , se i >
(( ) Os valores de a e b para os quais A = B são, respectivamente, 2 e –1.
9. (UFF) Em uma plantação, as árvores são classificadas de acordo com seus tamanhos em três classes:
pequena (P), média (M) e grande (G).
Considere inicialmente que havia na plantação p0
árvores da classe P, m0 da classe M e g0 da classe G.
Foram cortadas árvores para venda.
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11
0
0   p0  k 
0, 9
0  ⋅ m 0  +  0 
 
0, 1 0, 95
  g 0   0 
 p1  0, 8
m1 = 0, 2
g   0
 1 
Observando-se que p1 + m1 + g1 = p0 + m 0 + g 0, pode-se
afirmar que k é igual a:
a) 5% de g0
b) 10% de g0
c) 19% de g0
e) 29% de g0
10. (ITA) Dizemos que duas matrizes reais, 2x1, A e B quaisquer são linearmente dependentes se e, somente se,
existem dois números reais x e y não ambos nulos, tais
que xA + yB = 0, onde 0 é a matriz nula 2x1. Se:
 1 
k n − 1 ,
k

B =
−n
+ 1
 , onde k ∈ R* e n ∈ N = {1,
2
2, 3, ...} podemos afirmar que, para cada n ∈ N:
a) A e B são linearmente dependentes, ∀ k ∈ R*.
b) existe um único k ∈ R*, tal que A e B não são linearmente dependentes.
c) existe um único k ∈ R*, tal que A e B são linearmente dependentes.
d) existem apenas dois valores de k ∈ R*, tais que A e
B são linearmente dependentes.
e) não existe valor de k ∈ R*, tal que A e B são linearmente dependentes.
1 6 2
11. (FGV) É dada a matriz A =  −1 4 −3
 0 −1 −2
t 3
a) Se B = A − A , onde At é a matriz transposta de
Ae B
12
y
x
15
=
2
2

3 t
b) Considere a matriz C, tal que C = − A . Encontre
2
o valor do número real p, sendo p o determinante
da matriz C ⋅ A −1, isto é, p = det( C ⋅ A −1) e A–1 a
matriz inversa da matriz A.
12. (ITA) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n, tais
2
t
que AB = A e BA = B. Então ( A + B )  é igual a:
a)
2
(A + B )
b)
t
t
2( A ⋅ B )
c)
t
t
2( A + B )
d)
t
t
A +B
e)
t
t
A ⋅B


13. (UFCE) Se α ∈ 0,
d) 20% de g0
A=
real w, tal que w = |x ⋅ y|.
2
−10 5 x
x
y
3y
x
3x

+ 7y

7 
 , determine o número
2 

+ 7y

 cos α
 sen α
− sen α 
cos α 
5
π
2

e satisfaz a identidade matricial
 3
−
= 2
1

 2
−
−
correto de tg α é igual a:

2 
3

2 
1
, então, o valor
a) 0
b)
c)
3
3
3
2
d) 1
e)
3
14. (ITA) Sejam M e B matrizes quadradas de ordem n, tais
que M – M–1 = B. Sabendo que M t = M −1 , podemos
afirmar que:
a) B2 é a matriz nula.
2
b) B = −2Ι .
c) B é simétrica.
d) B é antissimétrica.
e) n.d.a.
15. (ITA) Sejam A e P matrizes reais quadradas de ordem n,
tais que A é simétrica (isto é, A = At ) e P é ortogonal
(isto é, PP t = Ι = P t P ), P diferente da matriz identidade.
Se B = P t AP então:
a) AB é simétrica.
b) BA é simétrica.
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EM_V_MAT_010
A fim de manter a quantidade total de árvores
que havia na floresta, foram plantadas k mudas
(pertencentes à classe P).
Algum tempo após o replantio, as quantidades
de árvores das classes P, M e G passaram a ser,
respectivamente, p1, m1 e g1, determinadas segundo
a equação matricial:
c) det A = det B.
d) BA = AB.
e) B é ortogonal.
16. (ITA) Seja A uma matriz real quadrada de ordem n e
B = Ι − A , onde Ι denota a matriz identidade de ordem
n. Supondo que A é inversível e idempotente (isto é, A 2
= A) considere as afirmações:
1. B é idempotente
2. AB = BA
3. B é inversível
4. A 2 + B 2 = Ι
5. AB é simétrica
Com respeito a estas afirmações temos:
a) todas são verdadeiras.
0 0 1 1
1 0 0 0
19. Na matriz A = 
, um elemento aij = 1 indica
0 0 0 1
1 1 1 0


que a estação i pode atingir (transmitir) diretamente
a estação j. Na matriz C = A2, o elemento cij indica
o número de maneiras que a estação j pode ser
atingida por meio de uma retransmissão de outra
estação.
b) apenas uma é verdadeira.
O número de maneiras pelas quais a estação 2 pode
ser atingida diretamente ou por uma retransmissão
é:
a) 2
c) apenas duas são verdadeiras.
b) 3
d) apenas três são verdadeiras.
c) 4
e) apenas quatro são verdadeiras.
d) 5
17. (ITA) Sejam A e B matrizes n x n, e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmações:
t
I. AB + BA é simétrica.
II.
t
(A + A + B )
e) 6
20. (ITA) Dizemos que duas matrizes nxn A e B são semelhantes se existe uma matriz nxn inversível P, tal
que B = P −1AP . Se A e B são matrizes semelhantes
quaisquer, então:
é simétrica.
III. ABAt é simétrica.
temos que:
a) apenas I é verdadeira.
a) B é sempre inversível.
b) se A é simétrica, então B também é simétrica.
b) apenas II é verdadeira.
c) B2 é semelhante a A.
c) apenas III é verdadeira.
d) apenas I e III são verdadeiras.
d) se C é semelhante a A, então BC é semelhante a
A2.
e) todas as afirmações são verdadeiras.
e) det (λΙ −B) = det (λΙ −A), onde λ é um real qualquer.
18. (ITA) Se A é uma matriz real, considere as definições:
I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se A for inversível e A −1 = At .
II. Uma matriz quadrada A é diagonal se
todo i, j = 1, 2, ... , n, com i ≠ j.
a ij
= 0, para
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Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que são,
simultaneamente, diagonais e ortogonais.
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13
9. A
10. A
11. D
1. A
12. E
2.
a)
M =
b)
M ⋅M
3. D
0
 −3
t
13. F, V, F, V, V ⇒ soma = 26
3 8
0 5
73
=
 40
14. 1(F) 2(V) 4(F) 8 (F) 16(V) 32(F) = 18
40
34
15. A
16.
4. A
a) Demonstração.
5. A
b) Não.
17. A
6.
a) Cláudio.
b) 2
1 3
a) A =  
0 1
b) k = 2 ou k = 3
3
8. x = 3 e y = 1
14
1.
a) 0, se n é par e −1, se n é ímpar
b) 11
2. C
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7.
3. A
4.
Ι
−M
5. V, F, V, V, V
6.
1

 1 2
a) A = 

 1 1
2 
b) 60º
7.
B
8.
 0 1
 −1 0


9. A
10. D
11.
a) w = 2
b) p =
12. C
−
27
8
13. B
14. D
15. C
16. E (V, V, F, V, V)
17. E
a

18. 0
0
0 0
b 0  , com a, b, c ∈ {−1, 1}
0 c

19. B
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20. E
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15
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16
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