Lista de Exercícios – 06
Introdução
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais
aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
Química
Inglês
Literatura
Espanhol
A
8
7
9
8
B
6
6
7
6
C
4
8
5
9
Exemplo:
Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas
colocados entre parênteses ou colchetes:
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as
colunas, da esquerda para direita:
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes
m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.
Exemplos:
2 1
2
3 −1
é uma matriz do tipo 2 x 3
é uma matriz do tipo 2 x 2
√2
30 −3 17
De forma geral uma matriz de ordem m x n é qualquer conjunto de m . n elementos dispostos em m linhas e
n colunas.
Representação
=
⋮
⋮
⋯
⋯
⋱
⋯
⋮
Cada elemento de uma matriz é localizado por dois índices: aij . O primeiro indica a linha, e o segundo, a
coluna.
A matriz A pode ser representada abreviadamente por uma sentença matemática que indica a lei de formação
para seus elementos. A = (aij)mxn | lei de formação.
Ex.: Seja A = (aij)2x3 | aij = i . j
=
=
1 2 3
2 4 6
Exercícios:
1) Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j.
Denominações especiais
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Por exemplo:
Matriz linha: matriz do tipo 1xn, uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[2 7 -3], do tipo 1x3.
1
Matriz coluna: matriz do tipo mx1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, = 2 , do tipo 3 x
−1
Matriz quadrada: matriz do tipo nxn, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a
2 7
matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz =
é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.
4 1
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos
elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.
Veja:
Observe a matriz a seguir:
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)
Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0 m x n.
0 0 0
Por exemplo: 0
=
.
0 0 0
Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que NÃO estão na diagonal principal são
nulos. Por exemplo:
=
2
0
0
1
3
0
= 0 7
0
0
0
0
−2
Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os
demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:
1 0 0
1 0
=
= 0 1 0
0
1
0
0
1
Assim, formalizando, para uma matriz identidade
=
,
=
1,se =
.
0,se ≠
Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou
as colunas por linhas. Por exemplo:
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At.
Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,
3 5 6
= 5 2 4 é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre aij = aij.
6
4
8
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a
mesma posição são iguais:
A = B  aij = bij, para todo 1 ≤ i ≤ m e todo 1 ≤ j ≤ n
2 0
2
Se = , =
a A = B, então c = 0 e b = 3.
−1
−1 3
Exercícios:
2) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e At sua transposta, determine A, tal que A = 2 . At.
3) 04. Se uma matriz quadrada A é tal que At = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é
anti-simétrica e:
4+
=
+2
2 −8
Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente:
a) -4, -2 e 4
b) 4, 2 e -4
c) 4, -2 e -4
d) 2, -4 e 2
e) 2, 2 e 4
Operações envolvendo matrizes
Adição
Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn , chamamos de soma dessas matrizes a matriz C = (cij)mxn ,
tal que cij = aij + bij , para todo 1 ≤ i ≤ m e todo 1 ≤ j ≤ n: A + B = C
Exemplos:
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Propriedades
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0
Subtração
Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com
a matriz oposta de B: A - B = A + ( - B)
Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n
obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij: B = x A
Observe o seguinte exemplo:
Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes
propriedades:
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA
d) elemento neutro : xA = A, para x = 1, ou seja, A=A
Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra NÃO é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos.
Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é
obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos
da j-ésima coluna B.
1 2
−1 3
Vamos multiplicar a matriz = e =
para entender como se obtém cada cij:
3 4
4 2
 1ª linha e 1ª coluna

1ª linha e 2ª coluna

2ª linha e 1ª coluna

2ª linha e 2ª coluna
Assim,
Observe que:
.
Portanto, A.B ≠ B.A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.
Vejamos outro exemplo com as matrizes
:
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número
de linhas de B:
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
 Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5
 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto
 Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
Propriedades
Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )
b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C
c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n
Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale
também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica,
necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n .
Exercícios:
4) Determine os valores de x, y e z na igualdade a seguir, envolvendo matrizes reais 2×2:
5) Seja A=[aij] a matriz 2 x 2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = - 1 se i > j. Calcule A2 .
6) Considere a matriz A = [aij], de ordem 4x4, cujos elementos são mostrado a seguir. aij = 1, se i  j e aij = 0,
se i = j
É correto afirmar que:
a) Na matriz A, o elemento a23 é igual ao elemento a32.
b) Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos.
c) Se a matriz B é [1 -1 1 -1], então o produto B.A é a matriz – B.
7) Os números reais x, y e z que satisfazem a equação matricial mostradas a seguir, são tais que sua soma é
igual a
8)
9) Considere as matrizes A, B e C na figura adiante:
A adição da transposta de A com o produto de B por C é:
a) impossível de se efetuar, pois não existe o produto de B por C.
b) impossível de se efetuar, pois as matrizes são todas de tipos diferentes.
c) impossível de se efetuar, pois não existe a soma da transposta de A com o produto de B por C.
d) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 2x3.
e) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 3x2.
10) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no
domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o
número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio
(primeira linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
Referências:
http://www.somatematica.com.br
Respostas:
1)
Se a matrix é 2x2 então os valores de i e j variam de 1 a 2. Calculando os valores, temos:
A11 = 3 x 1 – 1 = 2
A12 = 3 x 1 – 2 = 1
2 1
A21 = 3 x 2 – 1 = 5
5 4
A22 = 3 x 2 – 2 = 4
2)
=
e 2AT =
2
2
2
2
Temos as equações: a = 2a; b = 2c; c = 2b e d = 2d.
Nessas condições só existe solução se: a = b = c = d = 0. Logo A é a matriz nula.
3) b)
4) x = 2, y = 2, z = 4
5)
0 2
−2 0
6) a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
7) x = 4, y = -1, z = -2. Logo, x + y + z = 1
8) b)
9) d)
10)
a) Cláudio
b) Cláudio ficou devendo 2 chopes a Antônio.
Profº Leandro Colombi Resendo