Introdução à Álgebra Linear
Profa. Ana Maria Luz
Aula 4: Matrizes e Operações
Matriciais
Definição 1 (Matriz): Chamamos de Matriz a todo conjunto de
“valores”, dispostos em linhas e colunas. Representamos
matrizes com letras maiúsculas do nosso alfabeto.
Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por
aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse
elemento.
 a11

a
A   21


 am1
a12
a13
a22
a23
am 2
am3
a1n 

a2 n 


amn mn
Exemplo: uma matriz genérica 3x2 teria a forma:
 a11
A  a21
 a31
a12 
a22 
a32 
Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de
importância especial e é prática comum denotá-los por letras
minúsculas em negrito em vez de letras maiúsculas. Assim um
vetor linha 1xn arbitrário a e um vetor coluna mx1 arbitrário b
podem ser escritos como
 b1 
b 
a  [a1 a2  an ] , b   2 

 
bm 
Tipos de Matrizes
Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual ao de
colunas.
Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela
coluna e vice-versa da matriz original.
1 3  5


A  0  2 4 
2 3
6 
0 2
1


T
A   3  2 3
 5 4 6
Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da
diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais
a zero.
diagonal principal
Matriz Nula: Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus
elementos são iguais a zero.
0 0 0
0

0 0 0
Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
 4 0 0


 5 2 0
 3 1 6


Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
 2 0 0


 0 5 0
 0 0 3


Matriz escalar: Uma matriz escalar é uma matriz diagonal onde
todos os elementos da diagonal são iguais ao escalar k. Uma
matriz escalar de grande importância para a estatística é Σ=σ2⋅I,
sendo σ2 a variância.
Matriz Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal
principal são iguais.
1
A 
2
0

2
7
4
0

4
3

A A
T
Matrizes simétricas são fundamentais para a Estatística pois, por
exemplo, a matriz de covariâncias, matriz de correlações e matriz dos
coeficientes do sistema de equações normais são simétricas.
Matriz Anti-Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal
principal são simétricos com o sinal trocado.
 0
A   5
 2

5
0
1
2 

1
0

A   AT
Traço de uma matriz
Se A é uma matriz quadrada então o traço de A, denotado por
tr(A), é definido pela soma das entradas na diagonal principal
de A. O traço de A não é definido se A não é uma matriz
quadrada.
Exemplo:
 1 3  5
A  0  2 4 ,
2 3
6 
tr ( A)  1  (2)  6  5
Operações sobre Matrizes
Igualdade de matrizes: Dadas duas matrizes A e B do mesmo
tamanho (ou seja, de mesma ordem), dizemos que A = B se
somente se os seus elementos são respectivamente iguais.
Simbolicamente, sendo A e B matrizes mx n, temos:
A = B <=> aij=bij
Operações sobre Matrizes
Adição e Subtração: Para adicionarmos ou subtrairmos
duas matrizes A e B basta que elas sejam de mesma ordem.
Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo
número de colunas.
Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos
elementos cij= aij + bij
Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos
elementos cij= aij - bij
Exemplo:
2 5 1 
 1 6 0
A 
B


3  2 4
 1 3 2
3 11 1
A B  

2 1 2
Operações sobre Matrizes
Multiplicação de matrizes:Dada duas matrizes A (m x n) e
B (n x p), chama-se produto da matriz A pela matriz B
que se indica C = A . B a matriz m x p definida por
Cij=ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj
Observações:
• O produto de duas matrizes existe se e somente se o
número de colunas da matriz A for igual ao número de
linhas da matriz B.
• Se as matrizes A e B são m x n e n x p respectivamente,
então o produto C = A . B existe e é uma matriz m x p,
Operações sobre Matrizes
Exemplo (Multiplicação):
 2 3
3


A  1 0  e B  
2

4 5
2.3  3.2

C  A.B  1.3  0.2
4.3  5.2
1
4
2.1  3.4 12 14



1.1  0.4    3 1 
4.1  5.4 22 24
Propriedades
1   A  B   C  A  B  C 
2 A B  B  A
3 A M  A
4  A  A'  0
aqui M representa a matriz nula (0) e A’=(-A)
Propriedades
1  a.b. A  a.b . A
2  a. A  B   a. A  a.B
3  a  b . A  a. A  b. A
4  1. A  A
Onde 1 é matriz identidade de mesma ordem de A, a e b são
escalares (o produto de uma matriz A por um escalar b
é a matriz bA obtida pela multiplicação de cada entrada
da matriz A por b).
Propriedades
1  A.(B.C )  ( A.B).C
2  A.(B  C )  A.B  A.C
3  ( A  B).C  A.C  B.C
4  k ( A.B)  A.(k .B)  k .( A.B)
Em geral A.B≠B.A
Propriedades
  A
1 A
t t
2  A  B  A  B
t
t
3  k . A  k . A
t
t
4   A.B   B . A
t
t
t
t
Matrizes em blocos (particionadas)
Uma matriz pode ser subdividida em blocos ou particionada em
matrizes menores inserindo cortes horizontais e verticais entre
linhas e colunas. Por exemplo, as seguintes são três partições
possíveis de uma matriz 3X4 arbitrária.
Multiplicação matricial por colunas e linhas
A partição de matrizes em blocos tem muitas utilidades, uma das
quais sendo encontrar uma linha ou coluna específica de um
produto matricial A.B sem calcular todo o produto.
j-ésimo vetor coluna de A.B=A.[j-ésimo vetor coluna de B]
i-ésimo vetor linha de A.B=[i-ésimo vetor linha de A].B
Exemplo: Sejam
1 2 4 
A
,

 2 6 0
4 1
B  0  1
 2 7 
Multiplicação matricial por colunas e linhas
O segundo vetor coluna de A.B pode ser obtido calculando
1
1 2 4    1.1  2.(1)  4.7   27 
2 6 0. 1  2.1  6.(1)  0.7    4

7  
  
 
Segunda
coluna de A.B
Segunda coluna
de B
Produtos matriciais como combinações lineares
Sejam
Dizemos que o produto Ax de uma matriz A por um vetor
coluna x é uma combinação linear dos vetores colunas de A
com coeficientes provenientes do vetor x
Forma matricial de um sistema linear
Considere o sistema linear com m equações e n incógnitas:
Podemos substituir m equações deste sistema por uma única
equação matricial:
Forma matricial de um sistema linear
A matriz mx1 à esquerda desta equação pode ser escrita como um
produto:
Matriz de coeficientes
Matriz-coluna
Matriz-coluna de
de incógnitas
constantes
Denotando estas matrizes por A, x e b, respectivamente, o
sistema original de m equações e n incógnitas foi substituído
pela única equação matricial:
Ax = b