Matemática para Economia III Aula 4: Matrizes e Operações Matriciais Definição 1 (Matriz): Chamamos de Matriz a todo conjunto de “valores”, dispostos em linhas e colunas. Representamos matrizes com letras maiúsculas do nosso alfabeto. Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento. a11 a 21 A a m1 a12 a13 a 22 a 23 am 2 am3 a1 n a2n a mn m n Exemplo: uma matriz genérica 3x2 teria a forma: a 11 A a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los por letras minúsculas em negrito em vez de letras maiúsculas. Assim um vetor linha 1xn arbitrário a e um vetor coluna mx1 arbitrário b podem ser escritos como b 1 b2 a [ a1 a 2 a n ] , b bm Tipos de Matrizes Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas. Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela coluna e vice-versa da matriz original. 1 A 0 2 3 2 3 5 4 6 1 T A 3 5 0 2 4 2 3 6 Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero. diagonal principal Matriz Nula: Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus elementos são iguais a zero. 0 0 0 0 0 0 0 Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. 4 5 3 0 2 1 0 0 6 Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero. 2 0 0 0 5 0 0 0 3 Matriz escalar: Uma matriz escalar é uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal são iguais ao escalar k. Matriz Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais. 2 0 1 T A A A 2 7 4 0 4 3 Matriz Anti-Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos com o sinal trocado. A 0 5 2 5 0 1 2 1 0 A A T Traço de uma matriz Se A é uma matriz quadrada então o traço de A, denotado por tr(A), é definido pela soma das entradas na diagonal principal de A. O traço de A não é definido se A não é uma matriz quadrada. Exemplo: 1 A 0 2 3 2 3 5 4 , 6 tr ( A ) 1 ( 2 ) 6 5 Operações sobre Matrizes Igualdade de matrizes: Dadas duas matrizes A e B do mesmo tamanho (ou seja, de mesma ordem), dizemos que A = B se somente se os seus elementos são respectivamente iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes mx n, temos: A = B <=> aij=bij Operações sobre Matrizes Adição e Subtração: Para adicionarmos ou subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam de mesma ordem. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij + bij Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij - bij Exemplo: 2 A 3 5 2 1 4 1 B 1 6 3 0 2 3 A B 2 11 1 1 2 Operações sobre Matrizes Multiplicação de matrizes:Dada duas matrizes A (m x n) e B (n x p), chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m x p definida por Cij=ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj Observações: • O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. • Se as matrizes A e B são m x n e n x p respectivamente, então o produto C = A . B existe e é uma matriz m x p, Operações sobre Matrizes Exemplo (Multiplicação): 2 A 1 4 3 3 0 eB 2 5 2 .3 3 .2 C A.B 1 .3 0 .2 4 . 3 5 . 2 1 4 2 . 1 3 . 4 12 1 .1 0 .4 3 4 . 1 5 . 4 22 14 1 24 Propriedades 1 A B C A B C 2 AB B A 3 A M A 4 A A' 0 aqui M representa a matriz nula (0) e A’=(-A) Propriedades 1 a .b . A a .b . A 2 a . A B a . A a . B 3 a b . A a . A b . A 4 1.A A Onde 1 é matriz identidade de mesma ordem de A, a e b são escalares (o produto de uma matriz A por um escalar b é a matriz bA obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz A por b). Propriedades 1 A .( B .C ) ( A . B ). C 2 A .( B C ) A . B A .C 3 ( A B ). C A .C B .C 4 k ( A . B ) A .( k . B ) k .( A . B ) Em geral A.B≠B.A Propriedades 1 A t t A 2 A B A B t t 3 k . A k . A t t 4 A.B B . A t t t t Matrizes em blocos (particionadas) Uma matriz pode ser subdividida em blocos ou particionada em matrizes menores inserindo cortes horizontais e verticais entre linhas e colunas. Por exemplo, as seguintes são três partições possíveis de uma matriz 3X4 arbitrária. Multiplicação matricial por colunas e linhas A partição de matrizes em blocos tem muitas utilidades, uma das quais sendo encontrar uma linha ou coluna específica de um produto matricial A.B sem calcular todo o produto. j-ésimo vetor coluna de A.B=A.[j-ésimo vetor coluna de B] i-ésimo vetor linha de A.B=[i-ésimo vetor linha de A].B Exemplo: Sejam 1 A 2 2 6 4 1 4 , B 0 1 0 2 7 Multiplicação matricial por colunas e linhas O segundo vetor coluna de A.B pode ser obtido calculando 1 2 2 6 1 4 1 . 1 2 .( 1) 4 . 7 27 . 1 0 2 . 1 6 .( 1) 0 . 7 4 7 Segunda coluna de A.B Segunda coluna de B Produtos matriciais como combinações lineares Sejam Dizemos que o produto Ax de uma matriz A por um vetor coluna x é uma combinação linear dos vetores colunas de A com coeficientes provenientes do vetor x Forma matricial de um sistema linear Considere o sistema linear com m equações e n incógnitas: Podemos substituir m equações deste sistema por uma única equação matricial: Forma matricial de um sistema linear A matriz mx1 à esquerda desta equação pode ser escrita como um produto: Matriz de coeficientes Matriz-coluna Matriz-coluna de de incógnitas constantes Denotando estas matrizes por A, x e b, respectivamente, o sistema original de m equações e n incógnitas foi substituído pela única equação matricial: Ax = b