MATRIZES
Conceitos e Operações
As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase
todos os ramos da ciência e da engenharia.
Várias operações realizadas por computadores são através de
matrizes.
Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas.
Nome
Peso(kg)
Idade(anos)
Altura(m)
Ricardo
70
23
1,70
José
60
42
1,60
João
55
21
1,65
Pedro
50
18
1,72
66
30
1,68
Augusto
O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é
denominado matriz e cada número é chamado elemento
da matriz.
7
2
0
1
,
7
3

0

0
6
4
0
1
,
6
2




5
2
5
1
,
6
1
5

 ou
5
1
0
1
,
7
8

2


6
3
6
1
,
6
0

8
70
23
1
,
70




60
42
1
,
60




55
21
1
,
65


50
18
1
,
72




66
30
1
,
68


Conceito
Uma matriz Amxn pode ser entendida como um conjunto
de mxn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas
e n colunas.
• As Matrizes são representadas por letras maiúsculas e
devem ser escritas com parênteses ou colchetes à
esquerda e à direita.
• Seus elementos são indicados usando a mesma letra,
porém minúscula, com a linha e coluna usados como
índice (nesta ordem). Assim, o elemento na 2ª linha e
da 3ª coluna da matriz A será a23.
• Assim, na matriz abaixo, de 2 linhas e 3 colunas, temos:
Exemplos:
2 3 1 
A

7
6
8


matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)
B  4 1 3
matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)
0,4
C  3 
 
5 
matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)
Representação Algébrica
 a 11
a
 21
 

a m1
a 12
a 22

...



a
m 2
a 1n 
a 2 n 
com
 

a mn 
m en 
*
Pode-se abreviadamente representar a matriz acima
por A = (aij)n x m
aij = i  linha
j  coluna
Exemplos:
1. Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i
– j.
2 1 
A  5 4
8 7
2. Escreva os elementos da matriz A = (aij) de
ordem 3, definida por
i

j




1
,
se
i

j
.
a


ij
0
,
se
i

j

0
A   1
 1
1
0
1
1
 1
0 
Tipos de Matrizes
Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual
ao de colunas.
Matriz Transposta: É a matriz que se obtém trocando
ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz dada.
Se B = (bij)mxn é transposta de A = (aij)mxn, então bij = aij.
1 3  5


A  0  2 4 
2 3
6 
0 2
1


T
A   3  2 3
 5 4 6
Propriedades da Transposta:
A B A  B
t
A 
t t
t
A
K .A
 K . At (K real)
t
 A  B
t
 A.B
t
 A B
t
 B .A
t
t
t
( no produto de A.B, inverte a ordem)
Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos
da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos
iguais a zero.
Ex:
matriz identidade matriz identidade
de 2ª ordem
de 3ª ordem
 1 0
A

0
1


 1 0 0


B   0 1 0
0 0 1


diagonal principal
Matriz Nula: é a matriz que tem todos os elementos iguais a zero.
0 0 0


0 0 0
0 0 0


Matriz Linha:

A  1 3 5
Matriz Coluna:
 2
 
1 
B 
0
 
5
 
2

Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
 4 0 0


 5 2 0
 3 1 6


 4 5 3


0 2 1
 0 0 6


Matriz Triangular
Inferior
Matriz Triangular
Superior
Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da
diagonal principal são iguais a zero.
 2 0 0


 0 5 0
 0 0 3


Igualdade de Matrizes
•
Devem ter a mesma ordem: mesmo número de
linhas e o mesmo número de colunas.
•
Os elementos
correspondentes.
devem
ser
iguais
aos
seus
A matriz A2x2 é igual a matriz B se, somente se, a
matriz B tiver também a ordem 2x2 e os elementos a11 =
b11, a21 = b21, a12 = b12 e a22 = b22.
Adição e subtração de Matrizes
A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e
B = (bij)mxn de mesma ordem é uma matriz
C = (aij)mxn tal que C = aij+ bij.
A subtração de matrizes é dada pela
sentença:
A – B = A + (– B )
Propriedades da adição de Matrizes
a) A + B = B + A (COMUTATIVA)
b) (A + B) + C = A + (B + C) (ASSOCIATIVA)
c) A + 0 = 0 + A = A (ELEMENTO NEUTRO)
d) A + (-A) = (-A) + A = 0 (ELEMENTO OPOSTO
Produto de uma matriz por um escalar
Para multiplicar um número real por uma matriz basta multiplicar esse
número por cada elemento da matriz.
Formalmente:
k. A  B; bij  k.aij ,  i, j.
Exemplo:
20   2 6
0 
  1 3 0   2   1 2  3
  
  

2  
 4 x  6   2  4 2  x 2   6  8 2 x  12
Observação:
5
 5  2 1
1  5  2
   2 X   
  X   2
2 X  

2 10 6 
10 6  2
5

 1

3
Exemplos:
1 2 0

1)Considere as matrizes A 
e
 2 1 3


3  1  2
B
.

1 3 1 
Calcular:
a)A - 3B
1
b) A + B
2
Exemplo:
Dadas as matrizes
3
2

1


e 
A


0

5
4


4

2
0


, determine X tal que
B




3
1
1


.0
2
X

A

B

 1/ 2  2 1/ 2 
X 

  3 / 2 3  5 / 2
Multiplicação de Matrizes
Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de 1998 (França), o grupo
do Brasil era formado também pela escócia, Marrocos e Noruega.
Os resultados estão registrados abaixo em uma matriz A, de
ordem 4 x 3.
Então:
País
Vitória
Empate
Derrota
Brasil
2
0
1
Escócia
0
1
2
Marrocos
1
1
1
Noruega
1
2
0
2 0 1

0 1 2


A



111


1
2
0


A pontuação pode ser descrita pela matriz B, de ordem 3 x 1
Número de Pontos
Então:
3
B   1 
 0 
Vitória
3
Empate
1
Derrota
0
Terminada a 1ª fase a pontuação é obtida com o total de pontos
feitos por cada país. Essa pontuação pode ser registrada numa matriz
que é representada por AB (produto de A por ).
Veja como é obtida a classificação:
Brasil
:
2

3

0

1

1

0

6
Escócia
:
0

3

1

1

2

0

1
Marro
cos
:
1

3

1

1

1

0

4
Noruega
:
1

3

2

1

0

0

5
AB


 



6 
1 
4 

5 
Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de
matrizes.
Observe a relação que existe entre as ordens das matrizes:
A

B

AB
4
x
3
3
x
1
4
x
1
Observe que definimos o produto AB de duas matrizes quando
o número de colunas de A for igual ao de linhas de B; além
disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas
de A e o número de colunas de B.
A

B

AB
m

n
n

p
m

p
Exemplo:
1
2
1

e


A



2
3

2


2
x
3
Calcular: a) AB
b) BA
23




B


14




2

1


3
x
2
Resp. a)
 2 10 


  3 20  2 x 2
Observações:
- Propriedade Comutativa A.B = B.A, não é válida na multiplicação
de matrizes.
- Se ocorrer AB = BA, dizemos que as matrizes se comutam.
Se A e B são matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), não
podemos garantir que uma delas (A ou B) seja nula.
Exemplo:
11

 e


A



1
1
 
1
1




B




1

1


1
1
1
1
1

1
1

1
0
0















.


A.B = 








1
1

1

1
1

1
1

1
0
0


 



EXERCÍCIOS
Idéia básica:
Linha vezes coluna!!!
1. Efetue as multiplicações:
7
 
 1 2 3
1  7  2  8  3  9 
 50 
(1)

   8   
  

 4 5 6  2 3  9 
 4  7  5  8  6  9  21 122 21
 31
(2)
(3)
 2 1    1 4   2   1  1 5 2  4  1 2   3 10

  
  
  

 0 3   5 2   0   1  3  5 0  4  3  2  15 6 
5 1 4 2 3  5  4  11 5  2  11 5  3  1 2  21 11 17
2 3  1 1 2  2  4  3 1 2  2  3 1 2  3  3  2  11 7 12

 
 
 
