Matrizes
a b 
1. (Ufpe 2013) Seja 
 a inversa da matriz
 c d
 3 1

 . Indique a  b  c  d .
11 4 
2. (Espm 2013) A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de apartamentos é
5 
4 x

dada pela matriz  1 3
y  , onde cada elemento aij representa a quantidade de
 6 y x  1
moradores do apartamento j do andar i.
Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas a mais que no 2º e que os apartamentos de
número 3 comportam 12 pessoas ao todo. O valor de n é:
a) 30
b) 31
c) 32
d) 33
e) 34
 3 1
3. (Fgv 2013) Sabendo que a inversa de uma matriz A é A 1  
 , e que a matriz X é
 5 2 
solução da equação matricial X  A  B, em que B  8 3 , podemos afirmar que a soma dos
elementos da matriz X é
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
4. (Fgv 2013) Um determinado produto deve ser distribuído a partir de 3 fábricas para 4 lojas
consumidoras. Seja C  (c ij )34 a matriz do custo unitário de transporte da fábrica i para a loja
j, com c ij  (2i  3j)2 . Seja B  (bij )34 a matriz que representa a quantidade de produtos
transportados da fábrica i para a loja j, em milhares de unidades, com bij  i  j.
a) Determine as matrizes C  (c ij )34 e Bt sendo que Bt é a transposta da matriz B  (bij )34 .
1
1
b) Sendo D   
e E  1 0 013 , determine as matrizes X  (xij )31 e Y  (yij )13 tais
1
 
1 41
que X  B  D e Y  E  (C  Bt ) . Em seguida, determine o significado econômico de xij e de
y ij .
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5. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com  π 2  α  π 2 e 0  β  π. Se o sistema
de equações, dado em notação matricial,
3 6   tg α   0 
,
 6 8  cos β   


  2 3 
for satisfeito, então α  β é igual a
π
3
π
b) 
6
c) 0
π
d)
6
π
e)
3
a) 
 x2 
0 3 
x
e
,
X

Y


 . Se x e y
8 0 
y
 y 2 


 
0 
são as soluções não nulas da equação A  Y  B  X    , então x  y é igual a
0 
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
3 0 
6. (Insper 2013) Considere as matrizes A  
, B 
0 1
7. (Udesc 2012) Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes quadradas de ordem 3 de tal forma que:
• aij = i + j
• bij = j e os elementos de cada coluna, de cima para baixo, formam uma progressão
geométrica de razão 2.
Analise as proposições abaixo:
(
(
(
(
) A = AT
) Os elementos de cada uma das linhas da matriz B estão em progressão aritmética.
) Os elementos de cada uma das linhas e de cada uma das colunas da matriz AB estão em
progressão aritmética.
) Existe a matriz inversa da matriz C = A − B .
O número de proposição(ões) verdadeira(s) é:
a) 0
b) 3
c) 1
d) 2
e) 4
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2a  1
 a
8. (Fuvest 2012) Considere a matriz A  
 em que a é um número real. Sabendo
a  1 a  1 
que A admite
2a  1
inversa A 1 cuja primeira coluna é 
 , a soma dos elementos da diagonal principal de
 1 
A 1 é igual a
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
9. (Uftm 2012) Considere as matrizes
A   aij 
B   bij 
22
, tal que aij  i2  j2 , e
, tal que bij  i  j .
2
22
Determine:
a) pela lei de formação, a matriz C resultante da soma das matrizes A e B.
b) a matriz M de ordem 2 que é solução da equação matricial A  M  B  0, em que 0 representa a matriz
nula de ordem 2.
10. (Fgvrj 2012) Seja X a matriz que satisfaz a equação matricial X.A = B, em que:
2 1
A
 e B  8 5 .
5 3 
Ao multiplicar os elementos da matriz X , obteremos o número:
a) - 1
b) - 2
c) 1
d) 2
e) 0
9 x
3 x
a
0
b
1 
11. (Udesc 2012) Considere as matrizes A  
, B  
 e
 4 16 y 1
 1 42y 1 21 
13
6 
27
C
 . A soma dos quadrados das constantes x, y, a, b e c que satisfazem
22y 1  10 c 
 b
a equação matricial A  6B  C é:
a) 26
b) 4
c) 41
d) 34
e) 16
12. (G1 - ifal 2012) Sejam as matrizes A3x2, B2x3 e C3x3. É verdade que:
a) A + Bt é uma matriz 2x3.
b) A . B é uma matriz 3x3.
c) A . B é uma matriz 2x2.
d) B . C é uma matriz 3x3.
e) C . A é uma matriz 3x3.
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 2 3
4 0
13. (Uern 2012) Sejam as matrizes M  
, N 

 e P  M  N  N  M. O menor
 1 0
 1 5
elemento da matriz P é
a) – 7.
b) – 1.
c) – 5.
d) 2.
14. (Ufg 2012) Uma metalúrgica produz parafusos para móveis de madeira em três tipos,
denominados soft, escareado e sextavado, que são vendidos em caixas grandes, com 2000
parafusos e pequenas, com 900, cada caixa contendo parafusos dos três tipos. A tabela 1, a
seguir, fornece a quantidade de parafusos de cada tipo contida em cada caixa, grande ou
pequena. A tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada tipo produzida em cada mês do
primeiro trimestre de um ano.
TABELA 1
Parafusos/caixa
Soft
Escareado
Sextavado
TABELA 2
Caixas/mês
Pequena
Grande
Pequena
200
400
300
JAN
1500
1200
Associando as matrizes
200 500 
A   400 800 
e
300 700 
FEV
2200
1500
Grande
500
800
700
MAR
1300
1800
1500 2200 1300 
B

1200 1500 1800 
às tabelas 1 e 2, respectivamente, o produto AxB fornece
a) o número de caixas fabricadas no trimestre.
b) a produção do trimestre de um tipo de parafuso, em cada coluna.
c) a produção mensal de cada tipo de parafuso.
d) a produção total de parafusos por caixa.
e) a produção média de parafusos por caixa.
15. (Enem 2012) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa
tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que
poderia calcular as medias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as
provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.
Matemática
Português
Geografia
História
1º bimestre
5,9
6,6
8,6
6,2
2º bimestre
6,2
7,1
6,8
5,6
3º bimestre
4,5
6,5
7,8
5,9
4º bimestre
5,5
8,4
9,0
7,7
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por
 1
2
 
1
 1
1
2
 1 1 1 1
 1 1 1 1
a) 
b) 
c)  
d)  


1
2 2 2 2
4 4 4 4
 1
 
2
1
 1
 
2
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1
4
 
1
4
e)  
1
4
1
 
4
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16. (Fgv 2012)
1 2 5
A  0 1 4 
0 0 3 
a) 67
b) 68
c) 69
d) 70
e) 71
a 
A matriz b  é a solução da equação matricial AX  M em que:
 c 
 28 
e M  15  . Então a2  b2  c 2 vale:
 9 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para
colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade
entre Engenharia e Matemática.
17. (Pucrs 2012) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos de Engenharia, o professor pediu
que os alunos resolvessem a seguinte questão:
1 2
2
Se A  
 , então A é igual a
3
4


1 3
a) 

2 4 
1
b) 
9
7
c) 
15
5
d) 
11
4
16 
10 
22
11
25 
5 5
e) 

25 25 
 a b
18. (Uftm 2011) É dada a matriz A  
 , onde a e b são números reais. Se
 b a 
 0 1  a   2 

 .      , então o determinante de A é igual a
 3 5   b   22 
a)
b)
c)
d)
e)
3b  4a.
2b²  a².
b²  5.
5a  2.
5a.
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19. (Ufsm 2011)
O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada de um determinado ecossistema.
As setas indicam a espécie de que a outra espécie se alimenta.
Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta de outra e zero, quando ocorre o contrário,
tem-se a seguinte tabela:
Urso
Esquilo
Inseto
Planta
Urso
0
0
0
0
Esquilo
1
0
0
0
Inseto
1
1
0
0
Planta
1
1
1
0
A matriz A  (aij )4x4 , associada à tabela, possui a seguinte lei de formação:
0, se i  j
1, se i  j
b) aij  
0, se i  j
1, se i  j
d) aij  
a) aij  
c) aij  
0, se i  j
1, se i  j
0, se i  j
1, se i  j
0, se i  j
1, se i  j
e) aij  
20. (G1 - ifsc 2011) Sobre as propriedades da matriz transposta, considere as sentenças
abaixo:
I.  A  B   A t  Bt
t
II.  kA   kA t
t
III.  AB   A tB t
t
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas a sentença II é verdadeira.
b) Apenas a sentença III é verdadeira.
c) Apenas as sentenças I e II são verdadeiras.
d) Apenas as sentenças II e III são verdadeiras.
e) Apenas as sentenças I e III são verdadeiras.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
a b
 3 1
Se a matriz 
 é a inversa de 
 , então:
 c d
11 4 
3a  11b  1

a b   3 1   1 0 
a  4b  0




c
d
11
4
0
1

 
 

3c  11d  0
c  4 d  1

a  4

b  1

.
c  11
d  3

Portanto,
| a |  | b |  | c |  | d |  | 4 |  | 1|  | 11|  | 3 |  19.
Resposta da questão 2:
[C]
Sabendo que os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas ao todo, temos:
5  y  x  1  12  x  y  6.
Portanto, o valor de n é dado por:
4  1 6  x  3  y  12  26  6  32.
Resposta da questão 3:
[A]
Sabendo que A  A 1  I, com I sendo a matriz identidade de ordem 2, temos
X  A  B  X  A  A 1  B  A 1
 X  I  B  A 1
 3 1
 X  8 3   

 5 2 
 X   24  15 8  6 
 X   9 2  .
Por conseguinte, a soma pedida é igual a 9  (2)  7.
Resposta da questão 4:
a) Temos
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(2  3)2

C  (4  3)2

(6  3)2
(2  6)2
(2  9)2
(4  6)2
(4  9)2
(6  6)2
(6  9)2
(2  12)2 

(4  12)2 

(6  12)2 
 1 16 49 100 


  1 4 25 64 
9 0 9 36 


e
1 1 1  2 1  3 1  4 


B  2  1 2  2 2  3 2  4 
3  1 3  2 3  3 3  4 


2 3 4 5 


 3 4 5 6  .
4 5 6 7 


Daí,
2

3
Bt  
4

 5
3 4

4 5
.
5 6

6 7 
b) A matriz X é tal que
1
2 3 4 5  
1
X  3 4 5 6   

 1
 4 5 6 7   
1
2  3  4  5
 3  4  5  6 


 4  5  6  7 
14 
 18  .
 
 22
Cada x ij indica o número total, em milhares de unidades, de produtos transportados da
fábrica i para todas as quatro lojas.
A matriz Y é dada por
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2 3

 1 16 49 100   


 3 4
Y   1 0 0    1 4 25 64    
4 5

9 0 9 36   



 5 6

2

3
 1 16 49 100   
4

 5
4

5
6

7 
3 4

4 5
5 6

6 7 
 746 912 1078  .
y11 indica o custo total com transporte, da fábrica 1, para as quatro lojas; e y1k , com 2  k  3,
indica o custo total que a fábrica 1 teria para transportar a produção das fábricas 2 e 3 para
as quatro lojas.
Resposta da questão 5:
[B]
Efetuando o produto matricial, vem
3 6   tg    0
 6 8  cos    


  2

3 tg   6 cos   0

3
6 tg   8 cos   2 3
 3 tg   6 cos   0

 3 tg   4 cos   3
 2cos   3
 cos  

3
2

rad.
6
Desse modo,
3 tg   6 cos

 0  tg    3
6

    rad
3
e, portanto,
  
 

   rad.
3 6
6
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Resposta da questão 6:
[C]
Sabendo que x  0 e y  0, vem
0 
3 0  x 2  0 3   x  0
AY BX     
   2  
    
0 
0 1  y  8 0   y  0
3x 2  3y  0 
  

 y 2  8x  0 
3x 2  3y  0 
 

 y 2  8x  0 
3x 2  3y  0

2
 y  8x  0
 y   x 2

3
 x(x  8)  0
 x  2

.
 y  4
Portanto, x  y  (2)  (4)  8.
Resposta da questão 7:
[B]
 2 3 4
1 2 3 




Temos que A   3 4 5  e B   2 4 6  .
 4 8 12 
4 5 6




Como A é simétrica, segue que A  At .
Os elementos da primeira linha da matriz B estão em progressão aritmética de razão 1; os da
segunda linha estão em progressão aritmética de razão 2 e os da terceira linha estão em
progressão aritmética de razão 4.
 24 48 72 


Calculando a matriz AB, obtemos AB   31 62 93  . Logo, os elementos de cada uma das
 38 76 114 


linhas e de cada uma das colunas dessa matriz estão em progressão aritmética.
 1 1 1


O determinante da matriz C  A  B   1 0 1  é dado por det C  3  3  6  0. Portanto,
 0 3 6 


C não admite inversa.
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Resposta da questão 8:
[A]
A.A-1 = I2
2a  1 2a  1 x   1 0 
 a




y   0 1
a  1 a  1   1
 a.(2a  1)  (2a  1)  1
Temos o sistema 
(a  1).(2a  1)  1(a  1)  0
2 5 
1  3 5 
Resolvendo o sistema temos a = 2, A  
 eA 

 1 3
 1 2 
Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal é 3 + 2 = 5.
Resposta da questão 9:
a) A lei de formação da matriz C é tal que
cij  aij  bij
 i2  j2  (i  j)2
 2  [(i  j)2  i  j].
Portanto,
c 
c
C   11 12 
 c 21 c 22 
 2  [(1  1)2  1 1] 2  [(1  2)2  1 2] 


 2  [(2  1)2  2  1] 2  [(2  2)2  2  2] 


 6 14 

.
 14 24 
2 5
b) Pela lei de lei formação da matriz A, obtemos A  
 . Daí, o determinante de A é
5 8
det A  2  8  5  5  9.
Assim, podemos obter a inversa de A, que é dada por
 8
 9
8

5
1


A 1 




2  5
9  5

 9
5
9
.
2
 
9
4 9 
Portanto, como B  
 , segue que
 9 16 
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A  M  B  0  A  M  B
 A 1  A  M   A 1  B
 M   A 1  B
5
 8
 9
9  4 9 
 M  


 5  2   9 16 


 9
9
13
8

 
 9
9
M
.
2
13
 
 

 9
9 
Resposta da questão 10:
[B]
Logo,  2a  b a  3b    8 5 
Resolvendo o sistema, temos:
2a  5b  8

 a  3b  5
a  1 e
b2
X   1 2 
Portanto, o produto dos elementos de X é 2   1  2 .
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Resposta da questão 11:
[A]
6  3x
Como 6B  
 6
9 x
a

y
 4 16
9 x  6  3 x


2
6
 , vem
6  42y 1 3 
0  6  3 x

1  6
6b
6  27

6  42y 1 3   b
13
6b
6  27

16 y  6  42y 1 4   b
a  6b
2y 1
2
6 

 10 c 
6 
.
22y 1  10 c 
13
Igualando os termos correspondentes, segue que
b  2, c  4 e a  6b  13  a  1.
Além disso,
9 x  6  3 x  27  (3 x )2  2  3  3 x  27
 (3 x  3)2  36
 3 x  6  3
x2
e
16 y  6  42y 1  22y 1  10  (22y )2  22y  20
2
1
81

  22y   
2
4

9
1
 22y   
2 2
 y  1.
Portanto, a soma pedida é
x2  y2  a2  b2  c2  22  12  12  (2)2  (4)2  26.
Resposta da questão 12:
[B]
[A] Falsa, pois A + BT é uma matriz 3x2.
[B] Verdadeira, pois A.B é 3x3, pois a matriz produto A.B tem número de linhas de A e número
de colunas de B.
[C] Falsa, pois A.B é uma matriz 3x3.
[D] Falsa, pois B.C é uma matriz 2x3.
[E] Falsa, pois C.A é uma matriz 3x2.
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Resposta da questão 13:
[A]
A matriz P é tal que
 2 3 4 0 4 0  2 3
P




 1 0   1 5   1 5   1 0 
 8  3 0  15  8  0 12  0 



 4  0 0  0   2  5 3  0 
 11 15   8 12 



  4 0   3 3 
 19 27 

.
3 
 7
Portanto, o menor elemento da matriz P é 7.
Resposta da questão 14:
[C]
Se cada linha da matriz A representa o tipo de parafuso e cada coluna da matriz B o mês de
produção, o produto das matrizes nos revelará a produção mensal de cada tipo de parafusos.
Resposta da questão 15:
[E]
A média de cada matéria é a soma das notas dividido por 4, e a única matriz que possibilita
esta condição é a da alternativa [E].
 5,9 6,2 4,5

 6,6 7,1 6,5
 8,6 6,8 7,8

 6,2 5,6 6,9
1
4
5,5   1 
  
8,4   4 
. =
9,0   1 

7,7   4 
1
 
4
 5,9  6,2  4,5  5,5 


4


 6,6  7,1  6,5  8,4 


4


 8,6  6,8  7,8  9 


4


 6,2  5,6  5,9  7,7 
4


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Resposta da questão 16:
[A]
 1 2 5  a   28 
0 1 4   b   15  .

    
0 0 3  c   9 
a  2b  5c  28

Temos então o sistema 
b  4c  15

3c = 9

Logo, a = 7, b = 3 e c = 3.
Portanto, a2 + b2 + c2 = 72 + 32 + 32 = 67.
Resposta da questão 17:
[C]
Como A 2  A  A, segue que
1 2 1
A2  

3 4  3
 1 1  2  3

3  1  4  3
 7 10 

.
15 22 
2
4 
1 2  2  4 
3  2  4  4 
Resposta da questão 18:
[E]
Fazendo o produto de matrizes, temos:
 b  2

 b2 ea=4
 3a  5b   22 
Considerando a  4 e b  2 , calculamos o determinante de A:
det  A   a2  b2  42  22  20  5.a
Resposta da questão 19:
[C]
0

0
0, se i  j
A expressão aij  
representa a matriz 
0
1, se i  j

0
1 1 1

0 1 1
, que representa a tabela
0 0 1

0 0 0
dada.
Resposta da questão 20:
[C]
I. (V) - Propriedade das matrizes;
II. (V) - Propriedade das matrizes;
III. (F) - A propriedade correta é  AB   B t A t .
t
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