GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Métodos Geométricos Auxiliares II
Rotações (Resumo)
© antónio de campos, 2009
SEGMENTOS DE RECTA E RECTAS
Transformação de um Segmento de Recta (ou Recta) num
Segmento de Recta Vertical (ou numa Recta Vertical)
Primeiro é necessário
transformar o
segmento de recta
[AB] num segmento de
recta frontal, com
B’’2
e2
alterações nos afastamentos,
mantendo-se as cotas.
A seguir, é necessário
rodar o novo segmento
de recta frontal [A’B’],
até ficar ortogonal ao
Plano Horizontal de
Projecção, para obter o
segmento de recta
vertical.
As alterações serão agora em
relação às cotas, mantendo-se
os afastamentos.
(fν1)
A2
(fν)
(fν2)
x
T’2
A’2
A’’2
O2 ≡ P’2
T2
P2
B’2
B2
(hφ)
(e’2) ≡ Q2
T1
A’1
P1
B1
P’1 B’1
Q1
A1
(e1) ≡ O1
e’1
T’1 ≡ A’’1 ≡ B’’1
Uma recta oblíqua r é paralela ao β1,3, contém o ponto A (2; 3) e a sua
projecção frontal faz um ângulo de 40º (a.e.) com o eixo x. Recorrendo ao
processo das rotações, transforma a recta r numa recta vertical.
Depois de desenhar as
projecções da recta r,
é necessário
transformar a recta r
numa recta frontal,
com alterações nos
afastamentos,
mantendo-se as cotas.
r2
r’2
r’’2
A2
A’2≡ O2
O eixo da rotação será
uma recta vertical
qualquer (e).
Um outro ponto (F) da
recta r é necessário
para definir r2.
(e’2) ≡ Q2
e2
A’’2
F2
x
As alterações serão
agora em relação às
cotas, mantendo-se
os afastamentos.
F’2
F1
r’1
r1
A1
Q1
A’1
(e1) ≡ O1
e’1
A seguir, é
necessário rodar a
nova posição da
recta r, a recta
frontal r’, até ficar
ortogonal ao Plano
Horizontal de
Projecção, para
obter o segmento de
recta vertical.
F’1
A’’1 ≡ (r’’1)
O novo eixo (e’’) será
uma recta de topo
qualquer, para se
rodar A’.
O resultado final é a
recta r’’, que é a recta r
na sua nova posição de
recta vertical, passando
pelo ponto A.
Transformação de uma Recta (ou Segmento de Recta) numa
Recta de Topo (ou num Segmento de Recta de Topo)
Primeiro é necessário
transformar a recta r
numa recta horizontal,
r2
(e2)
com alterações nas cotas,
mantendo-se os afastamentos.
A2
A’2
r’2
A seguir, é
necessário rodar a
recta horizontal r’,
até ficar ortogonal
ao Plano Frontal de
Projecção, para
obter a recta de
topo.
As alterações serão agora
em relação aos
afastamentos, mantendose as cotas.
e’2
x
A1
r1
F2
F’2
F1
F’1
A’1
r’1
A’’2 ≡ (r’’2)
e1
(e’1)
A’’1
r’’1
Transformação de uma Recta (ou Segmento de Recta) numa
Recta Fronto-horizontal(ou num Segmento de Recta Frontohorizontal)
e’2
Primeiro é
necessário
transformar a recta
r numa recta
paralela a um dos
Planos de Projecção,
que neste caso será o o
Plano Horizontal de
Projecção, com alterações
nas cotas, mantendo-se os
afastamentos.
r2
(e2) ≡ O2 ≡ Q2
N2
r’2 ≡ (fυ ) ≡ r’’2
T2
x
T1
Q1
(hφ’)
(hφ)
A seguir, é necessário
rodar a projecção
horizontal da recta r,
até ficar paralela ao eixo
x e ao Plano Frontal de
Projecção.
M2
M’2
r’1
O1 ≡ M’1
Z2 ≡ T’2
N’2
N’1
M1
N1
T’1
r’’1
r1
e1
(e’1) ≡ Z1
PLANOS
Transformação de um Plano num Plano Horizontal
Primeira rotação
será determinada
por um eixo
vertical (e) para
rodar o plano
transformando as
suas rectas
horizontais em
rectas de topo.
As alterações vão ser
realizadas ao nível dos
afastamentos.
e2
fδ
C2 ≡ C’2
P2
A2
B2
M2
x
Segunda rotação
será determinada
por um eixo (e’),
recta de topo, com o
hδ
O2
P’
M’2 2 Q1 ≡ P’1 (f’’δ)
P1 C’’2A’’2 ≡ B’’2
A’2 ≡ B’2
C1≡ (e1) ≡ O1≡ C’1 B’1
A1
ponto P utilizado para a
rotação, resultando num
plano horizontal.
(e’2) ≡ Q2
f’δ
C’’1
M1
B1
M’1
A’1
B’’1
A’’1
h’δ
e’1
Transformação de um Plano num Plano Frontal
Primeiro, há que
realizar a
primeira rotação
determinada por
um eixo de topo
(e) para rodar o
plano
C’’2
transformando
as suas rectas
frontais em
rectas verticais, x
obtendo um plano
(h’’α) C’’1
vertical. As
B’’2
B’2
e’2
C2
f’α
P2
fα
Q2 ≡ A’’2
P’2
C’2
A2 ≡(e2) ≡ O2 ≡A’2
P’1
B’’1
A’’1
P1
O1
C’1
C1
B’1
B1
alterações vão ser
realizadas ao nível das
cotas.
Segunda rotação será
determinada por um eixo (e’),
vertical, com o ponto A
utilizado para a rotação,
resultando num plano frontal.
As alterações agora serão ao nível dos
afastamentos.
A1 ≡A’1
e1
(e’1) ≡ Q1
B2
hα
h’α