GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Problemas Métricos
Distância entre um Ponto e um Plano
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES
A distância de um ponto a um plano é medida numa recta ortogonal ao
plano que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta que
tem um extremo no ponto dado e o outro extremo no plano (no ponto de
intersecção da recta com o plano).
p
A
α
d
I
Distância entre um Ponto e um Plano Projectante
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e o plano α.
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal ao plano α, a recta p, passando
por M.
fα
É obtido o ponto I, ponto de
intersecção da recta p com o plano α, a
partir do cruzamento das projecções
horizontais da recta com o plano, tendo
em conta que o plano α é projectante
horizontal.
M2
p2
I2
x
A distância de M a I é a distância do
ponto M ao plano α. O segmento de
recta [MI] é um segmento de recta
horizontal, pelo que a V.G. de MI está
na projecção horizontal de MI, M1I1.
I1
V.G.
p1
M1
hα
São dados um plano de topo θ e um ponto A (-2; 3; 2). O plano θ corta o eixo x
num ponto com 3 cm de abcissa e faz um diedro de 60º (a.d.) com o Plano
Horizontal de Projecção. Determina as projecções e a V.G. da distância entre
o ponto A e o plano θ.
y≡ z
p2
Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao
plano θ, a recta p, passando por A.
fθ
I2
V.G.
A2
É obtido o ponto I, ponto de intersecção da
recta p com o plano θ, a partir do cruzamento
das projecções frontais da recta com o plano,
tendo em conta que o plano θ é projectante
frontal.
x
p1
A distância de A a I é a distância do ponto A
ao plano θ. O segmento de recta [AI] é um
segmento de recta frontal, pelo que a V.G. de
AI está na projecção frontal de AI, A2I2.
I1
hθ
A1
São dados um plano horizontal υ e um ponto A (3; 5). O plano υ tem 2 cm de
cota. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano
υ.
p2
Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao
plano υ, a recta p, passando por A.
A2
V.G.
É obtido o ponto I, ponto de intersecção da
recta p com o plano υ, a partir do cruzamento
das projecções frontais da recta com o plano,
tendo em conta que o plano υ é projectante
frontal.
x
(fυ)
I2
A1 ≡ (p1) ≡ I1
A distância de A a I é a distância do ponto A
ao plano υ. O segmento de recta [AI] é um
segmento de recta vertical, pelo que a V.G. de
AI está na projecção frontal de AI, A2I2.
São dados um plano frontal φ e um ponto T (2; 4). O plano φ tem 5 cm de
afastamento. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto T
e o plano φ.
Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao
plano φ, a recta p, passando por T.
T2 ≡ (p2) ≡ I2
É obtido o ponto I, ponto de intersecção da
recta p com o plano φ, a partir do cruzamento
das projecções horizontais da recta com o
plano, tendo em conta que o plano φ é
projectante horizontal.
x
T1
A distância de T a I é a distância do ponto T
ao plano φ. O segmento de recta [TI] é um
segmento de recta de topo, pelo que a V.G. de
TI está na projecção horizontal de TI, T1I1.
V.G.
I1
(hφ)
p1
Distância entre um Ponto e um Plano Oblíquo
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano α.
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal ao plano α, a recta p, passando
por A.
Ar
fα
É obtido o ponto I, ponto de
intersecção da recta p com o plano α;
utilizando um plano auxiliar θ, (plano
vertical neste caso, plano projectante
horizontal da recta p), e através da
recta de intersecção dos dois planos, a
recta i.
A distância de A a I é a distância do
ponto A ao plano α. O segmento de
recta [AI] é um segmento de recta
oblíquo, pelo que a V.G. de MI tem que
ser obtida pelo processo de
rebatimento.
fθ
V.G.
i2
A2
p2 ≡ e2
F2
I2 ≡ Ir
F1
I H2
x
1
H1
(hφ) ≡ e1
A1
hα
p1 ≡ ≡ i1
hθ
São dados um plano oblíquo γ e um ponto M (0; 4; 5). O plano γ é ortogonal ao
β1,3 e corta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa e o seu traço frontal faz
um ângulo de 40º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da
distância entre o ponto M e o plano γ.
p2
Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao
plano γ, a recta p, passando por M.
y≡ z
M2
fα
i2
É obtido o ponto I, ponto de intersecção da
recta p com o plano γ; utilizando um plano
auxiliar α (plano vertical neste caso, plano
projectante horizontal da recta p), e através
da recta de intersecção dos dois planos, a
recta i.
(fυ) ≡ e2
fγ
F2
I2
H2
x
F1
Mr
I1≡ Ir
V.G.
H1
A distância de M a I é a distância do ponto M
ao plano γ. O segmento de recta [MI] é um
segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de
MI tem que ser obtida pelo processo de
rebatimento.
M1
p1 ≡ hα ≡ i1 ≡ e1
hγ
São dados um plano oblíquo α e um ponto P (0; 5; 4). O plano α corta o eixo x
num ponto com -2 cm de abcissa, o seu traço horizontal faz um ângulo de 30º
(a.d.) com o eixo x e o seu traço frontal faz um ângulo de 50º (a.e.) com o eixo
x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e o plano α.
Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao
plano α, a recta p, passando por P.
Pr
V.G.
y≡ z
fα
H1
É obtido o ponto I, ponto de intersecção da
recta p com o plano α; utilizando um plano
auxiliar α (plano de topo neste caso, plano
projectante frontal da recta p), e através da
recta de intersecção dos dois planos, a recta i.
x
i1
I2 ≡ Ir
P2
F2
H2
F1
(hφ) ≡ e1
A distância de P a I é a distância do ponto P ao
plano α. O segmento de recta [PI] é um
segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de
PI tem que ser obtida pelo processo de
rebatimento.
p2 ≡ fθ ≡ i2 ≡ e2
I1
hθ
P1
p1
hα
Distância entre um Ponto e um Plano de Rampa
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano ρ.
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal ao plano ρ, a recta p (uma recta
de perfil), passando por A.
É obtido o ponto I, ponto de
intersecção da recta p com o plano ρ;
utilizando um plano auxiliar π, (plano de
perfil), e a recta de intersecção dos
dois planos, a recta i. Para se
determinar a recta i e o ponto I é
necessário recorrer ao processo de
rebatimento. ArIr é a V.G. da distância
entre A e I, a distância do ponto A ao
plano ρ.
p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ≡ i1 ≡ i2 ≡ e1 ≡ hπr
fρ
F2
I2 H ≡ F ≡ (e )
2
2
1
x ≡ fπr
Fr
I1
Invertendo o rebatimento do plano π,
obtêm-se as projecções do ponto I e do
segmento de recta [AI].
ir
A2
hρ
Ir
H1 ≡ Hr V.G.
A1
Ar
pr
São dados um plano de rampa ρ e um ponto A (4; 4). O traço horizontal do
plano ρ tem 5 cm de afastamento, e o traço frontal tem 3 cm de cota.
Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano ρ.
p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e2 ≡ f
πr
Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao
plano ρ, a recta p (uma recta de perfil),
passando por A.
fρ
pr
Ar
A2
F2 ≡ Fr
V.G.
I2
É obtido o ponto I, ponto de intersecção da
recta p com o plano ρ; utilizando um plano
auxiliar π, (plano de perfil), e a recta de
intersecção dos dois planos, a recta i. Para
se determinar a recta i e o ponto I é
necessário recorrer ao processo de
rebatimento. ArIr é a V.G. da distância
entre A e I, a distância do ponto A ao plano
ρ.
Invertendo o rebatimento do plano π,
obtêm-se as projecções do ponto I e
do segmento de recta [AI].
Ir
H2 ≡ F1 ≡ (e1)
x ≡ hπr
Hr
I1
A1
hρ
H1
ir