Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
11ª aula
Rectas no plano, no
espaço e em
n

Planos no espaço e em
n

Em geometria euclidiana:
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou
1 ponto e a direcção da recta
Em geometria euclidiana:
2 pontos definem uma recta
ou
1 ponto e a direcção da recta
ou seja: 1 ponto + 1 vector
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(4,6)
(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?
É preciso encontrar uma condição a que obedeçam
os pontos da recta e só esses.
(ku1,ku2)
u
(u1,u2)
(ku1,ku2)
u
u
u
(u1,u2)
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) +  (7, 4)
Como encontrar a tal condição?
P=A+u
(x, y) = (-3, 2) +  (7, 4)
 x  3  7

 y  2  4
equação
vectorial
equações
paramétricas
 x  3  7

 y  2  4
 x  3  7

 y  2  4
x3

  7

x3
 y  2  4
7

 x  3  7

 y  2  4
x3

  7

x3
 y  2  4
7

 4 x  7 y  26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
 4 x  7 y  26
Como encontrar a tal condição?
• Comecemos com a recta do exemplo:
A = (-3, 2)
ponto
u = (7, 4)
vector
P = (x, y)
ponto geral da recta
 4 x  7 y  26
Equação
Cartesiana
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
 4 x  7 y  26
 4  (3)  7  2  26
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
 4 x  7 y  26
 4  (3)  7  2  26
 4 7  7 4  0
Observemos:
A = (-3, 2)
u = (7, 4)
ponto
vector
 4 x  7 y  26
 4  (3)  7  2  26
 4 7  7 4  0
(4,7)  (7,4)  0
Equação geral da recta no plano:
ax  by  c
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)
 x  a1  u1

 y  a2  u 2
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)
 x  a1  u1

 y  a2  u 2
x  a1

  u
1

x  a1
 y  a2 
u2

u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)
 x  a1  u1

 y  a2  u 2
u2
y  a2  x  a1 
u1
x  a1

  u
1

x  a1
 y  a2 
u2

u1
Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)
u2
y  a2  x  a1 
u1

u2
u2 
y
x   a2  a1 
u1
u1 

Em geral:
A = (a1, a2)
ponto
u = (u1, u2)
vector
(x, y) = (a1, a2) +  (u1, u2)
u2
y  a2  x  a1 
u1

u2
u2 
y
x   a2  a1 
u1
u1 

Equação reduzida
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h
Equação reduzida:
Diz-se que temos uma equação reduzida
da recta no plano se tivermos uma
equação do tipo:
y=mx+h

u2
u2 
y
x   a2  a1 
u1
u1 

u2
m
u1

u2 
h   a2  a1 
u1 

u2

u1
u2
tg 
u1
u2

u1
Declive da recta:
• A
u2
tg 
chama-se declive da recta
u1
u2
m
u1

u2 
h   a2  a1 
u1 

Declive da recta:
• A
u2
tg 
chama-se declive da recta
u1
u2
m
u1

u2 
h   a2  a1 
u1 

y=mx+h
m
declive
h
ordenada na origem
Declive da recta:
• A
u2
tg 
chama-se declive da recta
u1
• Rectas paralelas têm o mesmo declive
Rectas ortogonais:
A recta L definida por { A +  u } é ortogonal à
recta L’ definida por { B +  v } se os vectores
u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0
y = 2x + 2
1
9
y  x
2
2
Rectas ortogonais:
Supor que:
L definida por { A +  u } tem equação
reduzida y = m x + h
L’ definida por { B +  v } tem equação
reduzida y = m’ x + h’
Se as rectas são ortogonais qual a relação
entre m e m’?
Recta L:
u2
m
u1

u2 
h   a2  a1 
u1 

Recta L’:
v2
m' 
v1

v2 
h'   b2  b1 
v1 

Recta L:
u2
m
u1

u2 
h   a2  a1 
u1 

Recta L’:
v2
m' 
v1

v2 
h'   b2  b1 
v1 

u  v  0  u1v1  u2v 2  0
Recta L:
u2
m
u1

u2 
h   a2  a1 
u1 

Recta L’:
v2
m' 
v1

v2 
h'   b2  b1 
v1 

u  v  0  u1v1  u2v 2  0 
u1
v2
 
u2
v1
Recta L:
u2
m
u1

u2 
h   a2  a1 
u1 

Recta L’:
v2
m' 
v1

v2 
h'   b2  b1 
v1 

u  v  0  u1v1  u2v 2  0 
u1
v2
1

 m
u2
v1
m'
Ângulo de duas rectas:
O ângulo de duas rectas é igual
ao ângulo entre os vectores que
definem as rectas
Posição relativa de duas rectas:
Duas rectas no plano podem ser:
• Paralelas
• Coincidentes
• Concorrentes:
– Perpendiculares
– Oblíquas
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta r : ax  by  c  0
recta s : a' x  b' y  c'  0
Posição relativa de duas rectas:
Como reconhecer cada caso?
recta r : ax  by  c  0
recta s : a' x  b' y  c'  0
ax  by  c  0

a' x  b' y  c'  0
ax  by  c  0

a' x  b' y  c'  0
1º caso: sistema possível e determinado: as
rectas são concorrentes
2º caso: sistema impossível: as rectas são
paralelas
3º caso: sistema indeterminado: as rectas são
coincidentes
Distância de um ponto a uma recta
Distância de um ponto a uma recta
Exemplo
Equação da recta:
3x  4 y  12
Equação geral da família de rectas perpendiculares à
recta:
4x  3 y  h
Equação da recta perpendicular à recta dada que
passa no ponto A = (5, 1):
h = 45 - 31 = 17
4 x  3 y  17
3x  4 y  12

4 x  3 y  17
 104
 x  25  4.16

3
 y    0.12
25

3x  4 y  12

4 x  3 y  17
 104
 x  25  4.16

3
 y    0.12
25

3x  4 y  12

4 x  3 y  17
 104
 x  25  4.16

3
 y    0.12
25

d ( A, B) 
5  4.16 2  1  0.12 2
d ( A, B)  1.4
Outra forma de calcular a distância:
•
•
•
•
Encontrar um vector n normal à recta
Considerar um ponto P sobre a recta
Considerar o vector AP
Fazer a projecção de AP sobre n.
Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de
equação ax + by + c = 0
d
ax1  by1  c
a b
2
2
Rectas em 3
Para definir uma recta são necessários:
• 2 pontos
ou
• 1 ponto e 1vector
L’ = {P + u}
P+u
P
L = {0 + u}
u
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
 x  p1  u1

 y  p2  u 2
 z  p  u
3
3

Equações de rectas no espaço:
L = {P + u}
com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)
 x  p1  u1

 y  p2  u 2
 z  p  u
3
3


x  p1
 
u1

x  p1

u2
 y  p2 
u1

 z  p  x  p1 u
3
3

u1

Planos em 3
Para definir um plano são necessários:
• 3 pontos não colineares
ou
• 1 ponto e 2 vectores linearmente
independentes
• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano
Planos em 3
Um plano M é um conjunto de pontos da
forma:
M  P  u  v :  ,   
em que P é um ponto e u e v são vectores
linearmente independentes.
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e
v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e
v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e
v = (1,0,4)
(x, y, z) = (1,2,-3) + (1,2,1) + (1,0,4)
x  1    

 y  2  2
 z  3    4 

x  1    

 y  2  2
 z  3    4 

1 1

x 1


0

2
y

2

2
x

2


0 3 z  3  x  1 
1 1 x  1 


2
0
y

2


1 4 z  3 
1 1
x 1 


0  2 y  2 x 
0 3 z  x  4
1 1
x 1 


0

2
y

2
x


0 3 z  x  4
1 1 x  1 


y
0 1  2  x 
0 3 z  x  4 




1
1


x 1
0 1

y
 x


2


y
0 0 z  x  4  3  3 x 


2
y
z  4x  3  4  0
2
y
 4 x  3  z  4
2
 8x  3 y  2 z  8
8x  3 y  2 z  8
Exemplo (outra forma de calcular)
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e
v = (1,0,4)
Exemplo
Encontrar uma condição que defina o plano M
sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e
v = (1,0,4)
1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao
plano
e1
n " det " 1
 1
e2
2
0
e3 
1 
4 
2 1 
1 1
1 2
n  det 
e1  det 
e2  det 
e3



0 4
1 4
1 0
n  8e1  3e2  2e3  8,3,2
n   X  P  0
n   X  P  0
8,3,2 x 1, y  2, z  3  0
n   X  P  0
8,3,2 x 1, y  2, z  3  0
8x  3 y  2 z  8  6  6  0
n   X  P  0
8,3,2 x 1, y  2, z  3  0
8x  3 y  2 z  8  6  6  0
8x  3 y  2 z  8
Distância de um ponto a um plano:
M  P  u  v :  ,   
Q ponto que não pertence ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M  P  u  v :  ,   
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
Distância de um ponto a um plano:
M  P  u  v :  ,   
Q ponto que não pertence ao plano
n vector ortogonal ao plano
d (Q, M ) 
P  Q n
n
Distância de um ponto a um plano:
M  P  u  v :  ,   
Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao plano
n = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação
ax + by + cz + d = 0
d (Q, M ) 
P  Q n
n

ax0  by0  cz0  d
a b c
2
2
2
n
P
Q
n
P
Q
n
P
Q
Ângulo entre dois planos:
O ângulo entre dois planos é igual ao
ângulo entre os vectores ortogonais
aos planos
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
Posição relativa de dois planos:
• A intersecção de dois planos não paralelos é
uma recta
• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia
ou são coincidentes
• Planos paralelos têm o mesmo vector
ortogonal.
• Dois planos paralelos são coincidentes se um
ponto de um dos planos pertencer ao outro.
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é
n = (a, b, c)
Planos paralelos:
• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são
paralelos o vector normal é
n = (a, b, c)
• A distância entre os dois planos paralelos é
dada por
d  d'
n
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
Ângulos entre rectas e planos:
• Define-se o ângulo entre uma recta e um
plano através do ângulo entre um vector com
a direcção da recta e um vector normal ao
plano.
• Qual a relação entre estes ângulos?