GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Perpendicularidade entre Planos
© antónio de campos, 2009
Perpendicularidade entre Planos
Um plano é perpendicular a outro plano, se contiver uma recta perpendicular
ao outro plano.
Planos Perpendiculares - Geral
Pretendem-se os traços de um plano δ, perpendicular ao plano α e
passando pelo ponto P.
F2
fα
p2
fδ
P2
x
H2
F1
Uma recta p que
pertence ao plano
δ é perpendicular
ao plano α.
P1
hα
hδ
p1
H1
Qualquer outro
plano que
contenha a recta
p é perpendicular
ao plano α.
Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com 2 cm de abcissa e
fazem com o eixo x, ângulos de 30º (a.d.) e 45 (a.e.), respectivamente o traço
frontal e o traço horizontal. Desenha as projecções de um plano de rampa ρ,
perpendicular ao plano α e passando pelo ponto M (-2; 2; 1).
y≡ z
fρ
fα
F2
p2
M2
F1
x
hρ
hα
H2
M1
H1
p1
Um plano de topo δ faz um diedro de 40º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção
e corta o eixo x num ponto com –3 cm de abcissa. Determina os traços de um plano
θ, em que o seu traço horizontal faz um ângulo de 70º (a.d.) com o eixo x, passa pelo
ponto T (2; 3; 2) e é perpendicular com o plano δ.
fδ
y≡ z
fθ
p2
T2
x
H2
p1
H1
T1
hθ
hδ
Uma recta frontal auxiliar p,
que pertence ao plano θ vai
permitir determinar os
traços do plano.
É dado um plano horizontal ν, com 4 cm de cota. Determina os traços de um plano
perpendicular ao plano ν e contendo o ponto P (3; 2). Que outras soluções são
possíveis?
v2
fα
fν
P2
x
hα
P1 ≡ ( v1)
Nesta solução, uma recta
vertical auxiliar v foi
utilizada.
Qualquer plano vertical que
passe pelo ponto P será
perpendicular ao plano v.
Ainda seria possível como
solução, um plano frontal ou
um plano de perfil.
Planos Perpendiculares aos Planos Bissectores
A mesma regra geral é aplicada: de que um plano é perpendicular a outro
plano, se contiver uma recta perpendicular ao outro plano. Com os
bissectores é necessário ter em conta as características das rectas
contidas nos bissectores.
Os planos bissectores são planos de rampa (passante), e portanto contém
rectas fronto-horizontais, rectas oblíquas (passantes) e rectas de perfil
(passantes).
No caso de rectas fronto-hrizontais, será sempre um plano de perfil que
será perpendicular à recta. Assim os planos de perfil serão sempre
perpendiculares aos bissectores.
Planos Perpendiculares ao Bissector β1,3
Pretendem-se os traços de um plano α, perpendicular ao bissector β1,3;
utilizando uma recta oblíqua (passante) r, pertencente ao bissector.
fα
r2
Uma recta r
pertence ao
bissector β1,3, por
ser passante (passa
pelo eixo x) e ser
simétrica.
O plano α acaba por ser
uma plano simétrico.
x
r1
hα
Caso a recta do
bissector β1,3 fosse uma
recta de perfil
(passante), o plano
perpendicular a essa
recta seria um plano de
rampa, com os seus
traços simétricos em
relação ao eixo x.
Planos Perpendiculares ao Bissector β2,4
Pretendem-se os traços de um plano δ, perpendicular ao bissector β2,4;
utilizando uma recta oblíqua (passante) s, pertencente ao bissector.
fδ ≡ hδ
s1 ≡ s2
x
Uma recta s
pertence ao
bissector β2,4, por
ter as suas
projecções
coincidentes.
O plano δ acaba por ser
uma plano oblíquo com os
seus traços coincidentes
entre si, e concorrentes
com o eixo x.
Caso a recta do
bissector β2,4 fosse uma
recta de perfil
(passante), o plano
perpendicular a essa
recta seria um plano de
rampa, com os seus
traços coincidentes
entre si.
Uma recta frontal f faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de
Projecção, e tem 3 cm de afastamento. Determina os traços do plano α,
perpendicular ao β1,3, e que contém a recta f.
f2
fα
H2
x
f1
H1
hα
O traço frontal do plano é
paralelo à projecção frontal
da recta, porque o plano α
contém a recta f.
Pelo facto do plano α ser
perpendicular ao β1,3 têm os
seus traços simétricos, fα é
simétrico com hα em relação
ao eixo x.
Uma recta frontal f faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de
Projecção, e tem 3 cm de afastamento. Determina os traços do plano α,
perpendicular ao β2,4, e que contém a recta f.
f2
fα ≡ hα
H2
x
f1
H1
O traço frontal do plano é
paralelo à projecção frontal
da recta, porque o plano α
contém a recta f.
Pelo facto do plano α ser
perpendicular ao β2,4 têm os
seus traços coincidentes, fα é
coincidente com hα.
Um plano α é perpendicular ao β2,4, e o traço frontal do plano faz um ângulo de 60º
(a.d.) com o eixo x. Determina as projecções do ponto A (3; 4), contido no plano.
f2
fα ≡ hα
A2
H2
x
f1
H1
A1
Para o ponto ertencer a um
plano tem que pertencer a
uma recta do plano.
Uma recta frontal do plano
com 3 cm de afastamento
será utilizada.