GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Paralelismo entre Rectas e Planos
© antónio de campos, 2009
O paralelismo entre uma recta e um plano é
semelhante ao paralelismo entre rectas.
Uma recta é paralela a um plano se não estiver
contida nesse plano e for paralela a uma recta
desse plano.
Recta paralela a um plano
O seguinte plano oblíquo α é paralelo a uma recta r, que passa pelo ponto P. A
projecção horizontal da recta r faz 30º (a.e.) com o eixo x.
A projecção horizontal da recta, r1, passa por P1, e faz com o eixo x o ângulo
pretendido. Depois, uma recta s que pertence ao plano α, estabelece o
paralelismo na projecção horizontal.
A projecção frontal da recta r, r2, terá que ser paralela à projecção frontal
da recta s, s2. A recta r é paralela ao plano α, pois não está contida no plano
α e é paralela a uma recta do plano α, a recta s.
Um plano de rampa, ρ, tem os traços horizontal e frontal com 4 cm de afastamento
e 3 cm de cota, respectivamente. É dado um ponto P (5; 2). Determina as projecções
de uma recta r, passando pelo ponto P, sabendo que a recta r é paralela ao plano ρ e
que a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45º (a.d.).
r2
s2
fρ
F2
P2
H2
x
r1
H1
hρ
P1
s1
F1
Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com 2 cm de abcissa e
fazem, com o eixo x, ângulos de 30º (a.d.) e 45º (a.d.), respectivamente o traço
frontal e o traço horizontal. Desenha as projecções de uma recta horizontal (de
nível) h, paralela ao plano α e passando pelo ponto P, sabendo que as coordenadas do
ponto P são (1; 4; 3)
y≡ z
fα
h1
h2
P2
x
P1
hα
Plano paralelo a uma recta
Quando é conhecido os dados de uma recta oblíqua r, e um ponto P exterior à recta
r, pretendem-se os traços de um plano α, paralelo à recta r e contendo o ponto P. O
traço frontal do plano α faz, com o eixo x, um ângulo de 45º (a.d.).
Para que o plano α seja paralelo è recta r, tem que conter uma recta paralela (recta
s) à recta r, aonde o ponto P se situa.
Qualquer plano que contenha a recta s será necessariamente paralelo à recta r.
Assim, o traço frontal (F) e traço horizontal (H) da recta s, vêm auxiliar a definição
da condição paralela entre o plano α e a recta r. O traço frontal do plano α, fα
contém F e faz com o eixo x um ângulo de 45º (a.d.). O traço horizontal do plano α,
hα contém H e é concorrente com fα no eixo x.
Uma recta r é definida pelos pontos A (-2; 1; 3) e B (-5; 4; 1). É dado um ponto C
com as seguintes coordenadas (1; 2; 2). Determina os traços de um plano α, oblíquo,
contendo o ponto C e paralelo à recta r, sabendo que fα faz, com o eixo x, um ângulo
de 60º (a.d.).
r2
s2
s1
y≡ z
fα
F2
A2
C2
B2
H2
x
F1
hα
A1
C1
r1
B1
H1
A mesma recta r é definida pelos mesmos pontos A (-2; 1; 3) e B (-5; 4; 1). É dado o
mesmo um ponto C com as mesmas coordenadas (1; 2; 2). Determina os traços de um
plano de rampa ρ, paralelo à recta r e contendo o ponto C.
r2
s2
y≡ z
s1
fρ
F2
C2
A2
B2
H2
F1
x
A1
C1
r1
hρ
B1
H1
Rectas paralelas aos planos bissectores
Para que uma recta seja paralela ao β1,3 terá que ser paralela a uma recta do
bissector. Como o bissector é um plano passante (de rampa), rectas frontohorizontais e rectas passantes (oblíquoas ou de perfil) estão contidas no bissector
β1,3. Logo, uma recta não contida no bissector, mas que seja fronto-horizontal ou
passantes (oblíqua ou de perfil) é paralela ao bissector β1,3.
Pretende-se as projecções de
uma recta s oblíqua passante
pelo ponto M, que seja paralela
ao bissector β1,3.
A recta b e uma recta oblíqua
passante.
As projecções da recta s são paralelas à recta b, possibilitando ser paralela ao
bissector β1,3.
Para que uma recta seja paralela ao β2,4 terá que ser paralela a uma recta do
bissector. Como o bissector é um plano passante (de rampa), rectas frontohorizontais e rectas passantes (oblíquoas ou de perfil) estão contidas no bissector
β2,4. Logo, uma recta não contida no bissector, mas seja fronto-horizontal ou
passantes (oblíquoa ou de perfil) é paralela ao bissector β2,4.
É dado um ponto P, não contido no
β2,4. Pretendem-se as projecções
de uma recta r, oblíqua, passando
pelo ponto P e paralela ao β2,4.
A recta r terá de ser paralela a
uma recta do β2,4, a recta a.
As projecções das rectas r e a são paralelas entre si, portanto as rectas r e s são
paralelas, e a recta r é paralela ao β2,4, via a sua recta a.
Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua,
a, é paralela ao β1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção
horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto
de intersecção da recta a com o plano ρ.
fα
a2
fρ
F2
I2
P2
a1 ≡ hα ≡ i1
H2
F1
x
i2
I1
hρ
P1
H1
A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β1,3.
Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de
intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um
plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a
recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o
ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.
Duas rectas h e r, são concorrentes no ponto P (3; 2). A recta h é horizontal (ou de
nível) e faz com o Plano Frontal de Projecção xz um ângulo de 45º (a.d.). A recta r é
paralela ao β2,4 e a sua projecção horizontal é perpendicular à projecção horizontal
de h. Determina os traços do plano definido pelas suas rectas.
F2
fα
F’2
h2
x
r2
P2
F’1
hα
H2
F1
h1
r1
P1
Porque a recta r é paralela ao β2,4,
as suas projecções são paralelas
entre si.
A seguir vêm os traços das duas
rectas (os traços frontais F e F’, e
horizontal h) para definir os
traços do plano α (hα é
concorrente com fα no eixo x.
H1
O hα é paralelo a h (rectas
horizontais de um plano são
paralelas entre si) e contém H (o
traço horizontal da recta r).
Com rectas de perfil, é
necessário a utilização de
rectas auxiliares, para
desenhar as projecções
paralelas da recta p em
relação ao β1,3. A recta p’ é
uma recta de perfil do β1,3.
Um ponto M não contido no
β1,3. Pretendem-se as
projecções de uma recta p, de
perfil, paralela ao β1,3 e
passando pelo ponto M.
Rebatendo o plano α, para ver
os traços paralelos da recta p,
de perfil, com o β2,4.
Um ponto A não contido no
β2,4. Pretendem-se as
projecções de uma recta p, de
perfil, paralela ao β2,4 e
passando pelo ponto A.
Rebatimento do plano de perfil
π, juntamente com a recta de
perfil p; utilizando uma recta i,
de intersecção do plano π com
o β2,4 e um ponto B da recta p,
para obter a relação de
paralelismo entre a recta de
perfil p e o β2,4 .
Uma recta h, horizontal (de nível), com 2 cm de cota, faz com o Plano Frontal de
Projecção, um ângulo de 45º (a.e.). Uma recta de perfil p é paralela ao β1,3 e
concorrente com a recta h num ponto com 4 cm de afastamento. Determina os
traços do plano θ definido pelas duas rectas.
p’1 ≡ p’2
Para se conseguir ver a situação de
paralelismo, recorre-se a uma recta de
perfil p’, contido no β1,3.
Localiza-se dois pontos auxiliares da recta p’
e do β1,3, A e B. Depois vêm as rectas r e s,
paralelas entre si, obtendo um segundo
ponto da recta p, o ponto S.
p1 ≡ p2
s2
B2
S2
h2
r2
Nota que os traços de θ ficam coincidentes.
F2
F’1
A1
A partir desse raciocínio, o exercício
resultou na determinação dos traços de um
plano definido por duas rectas horizontais
paralelas – fθ fica definido por F e F’ (os
traços frontais das rectas h e h’) e hθ é
concorrente com fθ no eixo X e paralelo a h
e h’ (rectas horizontais de um plano são
paralelas entre si).
h’2
F1
x
B1
F’2
R2
A2
Para determinar os traços do plano θ,
recorre-se a uma outra recta horizontal (de
nível), h’, paralela a h e concorrente com a
recta p em S.
fθ ≡ hθ
r1
s1
R1
h1
h’1
S1
Uma outra forma de resolver o
problema seria através do
rebatimento do plano de perfil
que contém a recta p, o que nos
permitiria obter em
rebatimento, e de forma
simultânea, a recta p, paralela
ao β1 ,3, e os traços de p nos
planos de projecção.