GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Problemas Métricos
Distância Resumo
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES - Distâncias
Os problemas métricos são situações que envolvem a determinação de
alguma grandeza mensurável (distância ou ângulo). Por norma, trata-se da
determinação da verdadeira grandeza.
Para resolver estes problemas métricos é necessário a utilização dos
métodos geométricos auxiliares, em particular o rebatimento e a mudança
de diedro de projecção.
Quando se refere à distância, entende-se que se trata da menor distância
entre dois elementos.
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS - via rebatimento do
Segmento de Recta para um Plano Horizontal
A distância entre o ponto A e o ponto B é obtida com o rebatimento do segmento de
recta oblíquo [AB], via uma recta e (uma recta do plano) como charneira, rebatendo o
plano projectante horizontal do segmento de recta para um plano horizontal que passa
por um dos pontos. Esta é talvez a mais fácil das variações do processo de rebatimento.
Seria igualmente possível o rebatimento para um plano frontal.
xz
fα
A2
O2
(fυ) ≡ e2
A
(fυ) ≡ e2
B2
O ≡ Or
Ar
x ≡ e2
A2
α
A 1 ≡ O1
B ≡ Br
V.G.
B1
x
e
O2
B2
A 1 ≡ O1 ≡ Or
υ
h α ≡ e1
xy
Ar V.G.
B1 ≡ Br
e1
GENERALIDADES – Distância entre em Ponto e uma Recta
A distância de um ponto a uma recta é medida numa perpendicular à recta
que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta
perpendicular à recta dada.
p
r
I
d
A
Nas diferentes
situações, haverá a
necessidade de recorrer
a um ou outro elemento
auxiliar (ponto, recta ou
plano) para resolver o
exercício.
DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA RECTA
ENTRE UM PONTO E UMA RECTA - geral
1 - Conduzir um plano ortogonal à recta dada, passando pelo ponto dado;
2 - Determinar o ponto de intersecção da recta dada com o plano;
3 - A distância entre o ponto de intersecção e o ponto dado é a distância entre o ponto dado e a
recta dada.
ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta frontal ou horizontal
Existe um processo mais simples que passa pela utilização do teorema das três perpendiculares,
para medir este tipo de distância, que começa com a condução de uma recta perpendicular à recta
dada, passando pelo ponto dado.
ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta oblíqua
Existe um processo alternativo que começa com o rebatimento do plano formado pelo ponto dado e
a recta dada para um plano auxiliar (frontal ou horizontal) que contém o ponto dado.
ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta de perfil
Existe um processo alternativo que utiliza o método de mudança do diedro de projecção, que
permite transformar a recta de perfil em recta frontal ou horizontal.
Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal - via Método
Geral
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta
frontal f.
Primeiro, é
conduzido um plano
ortogonal à recta
dada, passando por
P, o plano α.
É obtido o ponto I, ponto
de intersecção do plano α
com a recta f. A
distância entre P e I é a
distância do ponto P à
recta f.
Para obter a V.G., é
utilizado o rebatimento
do plano projectante
frontal de [PI] (o plano
α) para o plano frontal φ,
que contém o ponto I,
sendo a charneira a recta
de intersecção entre os
planos α e φ.
f α ≡ e2
f2
Pr
P2
V.G.
I2 ≡ Ir
x
f1 ≡ (hφ) ≡ e1
I1
P1
hα
Para medir a distância
entre um ponto e uma
recta horizontal, o
processo é semelhante,
com a diferença entre a
recta frontal e
horizontal.
Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal - via Teorema
das Três Perpendiculares
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta
frontal f.
Para o caso de rectas frontais ou
horizontais, é possível este processo
mais simples.
Primeiro, é conduzido uma recta
perpendicular à recta dada, passando
por P.
É obtido o ponto I, ponto
de intersecção da recta
p com a recta f. A
distância entre P e I é a
distância do ponto P à
recta f.
Para obter a V.G., é
utilizado a rotação do
segmento de recta [PI]
para o plano frontal φ,
que contém o ponto I,
sendo a charneira a recta
frontal, perpendicular à
recta f e passando pelo
ponto I.
p2 ≡ e2
f2
Pr
P2
V.G.
I2 ≡ Ir
x
f1 ≡ (hφ) ≡ e1
I1
P1
p1
Para medir a distância
entre um ponto e uma
recta horizontal, o
processo é semelhante,
com a diferença entre a
recta frontal e
horizontal.
Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua - via Método
Geral
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta
oblíqua r.
fθ
r2
Primeiro, é conduzido um plano
ortogonal à recta dada, passando por
P, utilizando uma recta frontal do
plano que passa por P e é ortogonal à
recta r.
Ir
i2
fα
V.G.
F2
f2
P2 ≡ Pr
I2
e2
É obtido o ponto I, ponto de
intersecção do plano α com a recta r. A
distância entre P e I é a distância do
ponto P à recta r. É utilizado um plano
auxiliar projectante θ, que contém a
recta r.
Para obter a V.G., é utilizado o
rebatimento do plano projectante
frontal de [PI] (o plano α) para o plano
frontal φ, que contém o ponto I, sendo
a charneira a recta de intersecção
entre os planos α e φ.
H2 H’2
x
f1 ≡ (hφ) ≡ e1
r1 ≡
hθ
F1
I1
H1
H’1
≡ i1
hα
P1
Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua - via
Rebatimento do Plano Formado pelo Ponto e a Recta
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta
oblíqua r.
Br1
É rebatido o plano formado pelo
ponto P e a recta r para o plano
frontal φ que contém o ponto P.
B é um qualquer ponto da recta r
para auxiliar o processo de
rebatimento da recta r, e
rebatido pelo processo do
triângulo de rebatimento.
r2
e2
A é o ponto de intersecção do
plano φ com a recta r.
Ir
B2
rr
A2 ≡ Ar
Br
P2 ≡ Pr
I2
x
Ir é obtido via uma perpendicular
entre o ponto Pr e a recta rr.
Para obter as projecções do
ponto I, é necessário inverter o
rebatimento do ponto I.
V.G.
I1
A1
(hφ) ≡ e1
r1
B1
P1
Distância entre um Ponto e uma Recta de Perfil - via
Rebatimento
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta de
perfil p.
p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e ≡ f
2
πr
Pelo ponto A é conduzido um plano
perpendicular à recta p, um plano de
rampa ρ, definido pela recta frontohorizontal g, que passa pelo ponto A.
O plano de perfil π é o plano que
contém p.
A recta i é a recta de intersecção dos
planos ρ e π, é perpendicular a p e
contém A’. A’ é o ponto de intersecção
de π com a recta g, que contém A.
Ir1
V.G.
ir
N2 e’2
I2
g2
A2 ≡ A
A’2
r
(e1)
x ≡ hπr
O plano π é rebatido para o Plano
Frontal de Projecção, com fπ como
charneira.
g1 ≡ (hφ) ≡ e’1
A V.G. de AI é obtida rebatendo o
plano projectante frontal de [AI] para
o plano frontal φ que contém o ponto
A.
pr
M2
A1
N1
I1
A’1
M1
Ir
Nr
A’r
Mr
Distância entre um Ponto e uma Recta de Perfil - via
Mudança de Diedro de Projecção
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta de
perfil p.
p1 ≡ p2
x’
M2
A mudança de diedro de projecção
permite transformar a recta de perfil
em recta frontal ou horizontal,
consoante a opção, que neste caso
será frontal.
N2
(fυ) ≡ e2
x
N1
I4
V.G.
2
1
A1 ≡ Ar
M4
M1
p4
A4
I1
r 1 ≡ e1
r4
Ir
Depois é seguido um processo
invertido de mudança de diedros de
projecção para obter I1, I2, r1 e r2.
Os pontos I e A são rebatidos para
obter a V.G.
I2
A2
N4
I4 é obtido via uma recta (r)
perpendicular entre o ponto A4 e a
recta p4.
r2
4
1
GENERALIDADES - Distância entre em Ponto e um Plano
A distância de um ponto a um plano é medida numa recta ortogonal ao
plano que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta que
tem um extremo no ponto dado e o outro extremo no plano (no ponto de
intersecção da recta com o plano).
p
A
α
d
I
DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UM PLANO
ENTRE UM PONTO E UM PLANO - geral
1 - Conduzir uma recta ortogonal ao plano dado, passando pelo ponto dado;
2 - Determinar o ponto de intersecção da recta ortogonal com o plano dado;
3 - A distância entre o ponto de intersecção e o ponto dado é a distância entre o ponto dado e o
plano dado.
ENTRE UM PONTO E UM PLANO – plano projectante
Processo sem necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de
projecção, porque a distância está em V.G., devido ao factor projectante.
ENTRE UM PONTO E UM PLANO – plano não projectante
Processo com necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de
projecção, porque a distância não está em V.G., devido ao factor não projectante.
Distância entre um Ponto e um Plano Projectante
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e o plano α.
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal ao plano α, a recta p, passando
por M.
fα
É obtido o ponto I, ponto de
intersecção da recta p com o plano α, a
partir do cruzamento das projecções
horizontais da recta com o plano, tendo
em conta que o plano α é projectante
horizontal.
M2
p2
I2
x
A distância de M a I é a distância do
ponto M ao plano α. O segmento de
recta [MI] é um segmento de recta
horizontal, pelo que a V.G. de MI está
na projecção horizontal de MI, M1I1.
I1
V.G.
p1
M1
hα
Distância entre um Ponto e um Plano Oblíquo
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano α.
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal ao plano α, a recta p, passando
por A.
Ar
fα
É obtido o ponto I, ponto de
intersecção da recta p com o plano α;
utilizando um plano auxiliar θ, (plano
vertical neste caso, plano projectante
horizontal da recta p), e através da
recta de intersecção dos dois planos, a
recta i.
A distância de A a I é a distância do
ponto A ao plano α. O segmento de
recta [AI] é um segmento de recta
oblíquo, pelo que a V.G. de MI tem que
ser obtida pelo processo de
rebatimento.
fθ
V.G.
i2
A2
p2 ≡ e2
F2
I2 ≡ Ir
F1
I H2
x
1
H1
(hφ) ≡ e1
A1
hα
p1 ≡ ≡ i1
hθ
GENERALIDADES - Distância entre dois Planos
A distância entre dois planos é medida numa recta ortogonal aos dois
planos, para planos paralelos entre si. A distância entre dois planos é a
distância entre quaisquer dois pontos dos planos (um ponto de cada plano)
contidos numa mesma recta ortogonal aos planos.
α
A
δ
d
p
B
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS PARALELOS
ENTRE DOIS PLANOS - geral
1 - Conduzir uma recta ortogonal aos dois planos dados;
2 - Determinar os pontos de intersecção da recta ortogonal com os planos dados;
3 - A distância entre os pontos de intersecção é a distância entre os planos dados.
ENTRE DOIS PLANOS – planos projectantes
Processo sem necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de
projecção, porque a distância está em V.G., devido ao factor projectante.
ENTRE DOIS PLANOS – planos não projectante
Processo com necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de
projecção, porque a distância não está em V.G., devido ao factor não projectante.
ENTRE DOIS PLANOS – planos de rampa
Existe um processo alternativo que utiliza o método de mudança do diedro de projecção.
Distância entre Dois Planos Projectantes
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal aos dois planos, a recta p.
fα
p2
Depois, são determinados os pontos de
intersecção da recta p com os planos.
Como os planos são projectantes
frontais, as intersecções são
determinadas nos cruzamentos da
projecção frontal da recta com os
traços frontais dos planos.
A distância de A a B é a distância entre
os dois planos. O segmento de recta
[AB] é um segmento de recta frontal,
pelo que a V.G. de AB está na
projecção frontal de AB, A2B2.
A2
fδ
V.G.
B2
x
p1
B1
A1
hα
hδ
Distância entre Dois Planos Oblíquos
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal aos dois planos, a recta p.
fγ
fα
p2
Depois, são determinados os pontos de
intersecção da recta p com os planos.
Como nem a recta nem os planos são
projectantes, as intersecções são
determinadas pelos cruzamentos dos
traços dos planos com as projecções da
recta, através do plano auxiliar γ, que é
projectante horizontal e contém a
recta p.
A distância de A a B é a distância entre
os dois planos. O segmento de recta
[AB] é um segmento de recta oblíquo,
pelo que a V.G. de AB tem que ser
obtida pelo processo de rebatimento.
fθ
i’2
F2
B2
i2
(fυ) ≡ e2
A2
x
H2
H’2
H’1
p1 ≡ hγ ≡ i1 ≡ i’ ≡ e1
1
hα
B1
H1
A1≡ Ar
V.G.
Br
hθ
F1
Distância entre Dois Planos de Rampa via Rebatimento
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal aos dois planos, a recta p.
Depois, são determinados os pontos
de intersecção da recta p com os
planos. Como nem a recta nem os
planos são projectantes, as
intersecções são determinadas pelos
cruzamentos dos traços dos planos
com as projecções da recta, através
do plano auxiliar π, que é plano de
perfil e contém a recta p.
Para se determinar os pontos A e B é
necessário recorrer ao processo de
rebatimento.
ArBr é a V.G. da distância entre os dois
planos.
Invertendo o rebatimento do plano π,
obtêm-se as projecções dos pontos A e
B, e do segmento de recta [AB].
p1 ≡ p2≡ fπ ≡ hπ≡ i1 ≡ i2 ≡ i’1 ≡ i’2 ≡ e1 ≡ hπr
fσ
F’2
fρ
F2
B2
A2
H2≡ F1 ≡ F’1 ≡ (e2)
x ≡ fπr
A1
B1
hρ
hσ
Ar
ir
i’r
H1 ≡ Hr
Fr
F’r
V.G.
Br
pr
Distância entre Dois Planos de Rampa via Mudança de
Diedro de Projecção
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
2
4
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal aos dois planos, a recta p.
p1 ≡ p2
São determinados os pontos de
intersecção da recta p com os planos,
depois de transformar os dois planos
em planos projectantes via a mudança
de diedro de projecção. Um ponto
auxiliar P, que pertence a hρ, vai
permitir determinar h4ρ, que passa por
P4 e é concorrente com fρ no eixo x’.
fρ
A4 V.G.
P4
B4
B2
A2
P2
Invertendo a mudança de diedro de
projecção, obtêm-se as projecções dos
pontos A e B, e do segmento de recta
[AB].
A1
hρ
P1
B1
hσ
x’
A4B4 é a V.G. da distância entre os dois
planos, pois os dois planos são
projectantes horizontais, no novo
diedro de projecção.
h4ρ
x
h4σ
p4
fσ
2
1