GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano
Métodos Geométricos Auxiliares I
Rotações
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES
A rotação tem como objectivo permitir obter uma representação mais
conviniente de um determinado objecto, para assim poder resolver
problemas e situações que a representação inicial não nos permite.
A rotação consiste em rodar um objecto em torno de um eixo (ou charneira,
recta externa ao plano que contém o objecto), para colocar o objecto numa
nova e mais favorável posição em relação aos planos de projecção, mantendo
os planos no mesmo lugar.
ELEMENTOS BÁSICOS DAS ROTAÇÕES
A – ponto a rodar.
e
e – recta em torno da qual o ponto A roda
(eixo de rotação).
AA’ – arco de circunferência que
corresponde à rotação do ponto A.
A’ – posição final do ponto A, após a sua
rotação.
θ – plano ortogonal a e (eixo de rotação),
no qual existe o arco da rotação de A.
O – centro do arco da rotação do ponto A.
αº - amplitude do arco da rotação do
ponto A.
θ
A’
O
αº
A
EXEMPLO DE ROTAÇÃO
xz
A’2
A2
B2
C2
e
A
C
α
B’2
B’
C’2
B2A
C1
A1
C
x
B1
xy
C1
α
C’
B
C’1
x
A’
A2
C2
B
xz
A1
A’1
B1
θ
B’1
xy
ROTAÇÃO DE UM PONTO
Pretende-se rodar com uma amplitude de 142º o ponto A, situado no 1.º
diedro, em torno da recta vertical e.
xz
e2
e
A’2
A2
(fν)
A’
O
x
A’1
A
A1
xy
O2
(e1) ≡ O1
ν
x
A1
A2
A’2
A’1
ROTAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA
Pretende-se rodar o segmento de recta [AB], com uma amplitude de 45º no
sentido dos ponteiros do relógio, em torno da recta de topo e.
xz
φ1
A’2
φ
A’
Q
B’
A
B’2
A2
O
(e2) ≡ O2 ≡ Q2
B2
B
e
O1
x
x
B’1
(hφ1)
B1
Q1
xy
(hφ)
A1
A’1
e1
ROTAÇÃO DE UMA RECTA
Pretende-se a transformação de uma recta oblíqua r numa recta horizontal,
através de uma rotação.
(e2) ≡ O2
r2
N2
x
M2
M’2
r’2
N’2
(hφ1)
O1≡ M’1
(hφ)
r’1
r1
e1
N’1
N1
M1
ROTAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA PARA OBTER
A SUA VERDADEIRA GRANDEZA
Pretende-se rodar o segmento de recta onlíquo [AB], para obter a V.G.,
através da transformação do segmento de recta [AB] num segmento de
recta frontal.
e2
(fν1)
A2
A’2
(fν)
O2 ≡ P’2
P2
B’2
B2
(fν2)
x
A’1
B1
P’1
B’1
P1
A1
(e1) ≡ O1
São dados os
pontos A (1; 1;
3) e B (-1; 3; 2).
y≡ z
e2
Determina as
projecções do
ponto A, após
uma rotação de
60º, no sentido
dos ponteiros
do relógio, em
torno de uma
recta vertical
que contém o
ponto B.
(fν)
A2
O2 A’2
B2
x
A’1
A1
B1≡ (e1) ≡ O1
São dados os
pontos A (1; 1;
3) e B (-1; 3; 2).
Determina as
projecções do
ponto B, após
uma rotação de
90º, no sentido
contrário dos
ponteiros do
relógio, em
torno de uma
recta de topo
que contém o
ponto A.
y≡ z
B’2
A2 ≡ (e2) ≡ O2
B2
x
A1
O1
(hφ)
e1
B’1
B1
É dado um
segmento de
recta [PQ],
sendo P (-2; 4;
4) e Q (-4; 2; 1).
y≡ z
v2
É dada uma
recta vertical v
que contém o
ponto A (1; 1; 2).
Determina as
projecções do
segmento de
recta [PQ], após
uma rotação de
70º, no sentido
dos ponteiros
do relógio, em
torno da recta
v.
(fν)
P’2
P2
R2
A2
S2
(fν1)
x
Q2
Q’2
A1≡ (v1) ≡ R1 ≡ S1
Q1
P1
P’1
Q’1
É dada uma
recta oblíqua r,
que passa pelo
ponto A (1; 3).
As projecções
da recta r são
paralelas entre
si, e a sua
projecção
frontal faz um
ângulo de 45º
(a.d.) com o eixo
x.
Transforma a
recta r numa
recta
horizontal, com
o recurso a uma
rotação.
r2
(e2)≡ O2 ≡ Q2
P2
r’2
A’2
P’2
x
A’1
Q1
(hφ1)
O1≡ P’1
(hφ)
r’1
e1
r1
A2
P1
A1
É dada uma
recta horizontal
h, com 3 cm de
cota, e faz um
ângulo de 30º
(a.e.) com o
Plano Frontal de
Projecção.
Transforma a
recta h numa
recta de topo,
com o recurso a
uma rotação.
e2
P2
P’2 ≡ (h’2)
h2
O2
x
P1
h1
P’1
h’1
(e1) ≡ O1
É dada uma
recta horizontal
h, com 3 cm de
cota, e faz um
ângulo de 30º
(a.e.) com o
Plano Frontal de
Projecção.
Transforma a
recta h numa
recta frontohorizontal, com
o recurso a uma
rotação.
e2
h2 ≡ h’2
P2
O2 ≡ P’2
P1
P’1
x
h’1
h1
(e1) ≡ O1
É dado um
segmento de
recta [PQ],
sendo P (-2; 4;
4) e Q (-4; 2; 1).
Determina a
V.G. de PQ,
transformando
[PQ] num
segmento de
recta
horizontal, com
o recurso a uma
rotação.
y≡ z
P’2
P2
T’2
Q’2
T2
(e2)≡ O2 ≡ A2 ≡ B2
Q2
x
(hφ2)
V.G.
(hφ)
(hφ1)
B1
Q’1
O1≡ T’1
A1
P’1
e1
P1
T1
Q1
É dado um
segmento de
recta [AB],
situado no 1.º
diedro, com 5 cm
de comprimento,
sendo A (3; 5) o
seu extremo
superior.
A recta suporte
de [AB] é
passante e a sua
projecção frontal
faz um ângulo de
45º (a.e.) com o
eixo x.
Desenha as
projecções do
segmento de
recta [AB], com o
recurso a uma
rotação.
r2
r’2
e2
O2 ≡ A’2
A2
(fν)
B2
(fν1)
B’2
P1 ≡ P2
x
P’2
B1
r’1
A1
A’1
r1
(e1) ≡ O1
P’1
É dado um
segmento de
recta de perfil
[AB], sendo A (4;
1) e B (2; 4).
p1 ≡ p2
Determina a V.G.
de AB,
transformando
[AB] num
segmento de
recta horizontal,
com o recurso a
uma rotação.
p’2
B’2
A’2
(e2) ≡ O2 ≡ Q2
B2
A2
x
(hφ1)
(hφ)
B’1
V.G.
Q1
B1
O1 ≡ A’1
A1
e1
p’1