LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Nice Maria Americano costa Pinto
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 1
INTRODUÇÃO
Um pouco de história
Cálculo Diferencial e Integral; séculos XVI e XVII, Newton e Leibniz.
interesses de cálculos (diferenciação integração)
O Cálculo Diferencial
Grécia Antiga: tangentes a curvas, reta e curvas; sua intersecção
Século XVII, as órbitas dos planetas.
Newton: calcular as órbitas de planetas, considerar a corda de um arco,
Curva da trajetória: limite de pequenas cordas encadeadas umas às outras.
O Cálculo Integral
área subtendida por curva
limite de uma soma áreas de retângulos inseridos sob a curva.
Limite de uma função
Século XIX;
Bolzano (1817), técnica do “epsilon” ,“” e “delta”, “”;
Cauchy (1821),a essência da idéia;
Weierstrass (1850 e 1860), a noção de forma rigorosa.
2
Vizinhança de um ponto
Para um valor arbitrariamente pequeno >0, a vizinhança de a é o conjunto dos x
compreendido pelo intervalo
a   x  a 

0

a
a-
x
a+
  x  a  
xa 
3
Limite de uma variável
Se x-a< valer para todo >0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem um
limite e tal limite vale a. Simbolicamente,
x  a, lim x  a
x1
a-
x2
x3
a
a+
x
Os valores x1, x2 e x3 da variável x, estão na vizinha  de x=a. Isto é, os valores xi
estão no intervalo a- < xi <a+ (i=1,2,3)
4
Exemplos
1. x é a variável de valores
1
1
1
x1  1, x2  1 , x3  1 , ..... xn  1
2
3
n
Essa variável tem um limite que é 1.
 uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular , para provar
que a inequação |x-1 < . O ponto de partida será portanto a expressão x1,
i.e. calcular quanto ela vale;
1
1

xn  1   1    1 
n
n


para
1

n
ou
n
1

x 1  
5
(n=2) x é o conjunto dos termos: x1=1, x2=1,5,
e>1/2=0,5. e=0,51 satisfaz a condição e todos os
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
0,5
1
1,5
1o.term o
1,5
2o.term o
1o.termo
2o.termo
1,5
3o.termo
4o.termo
1o.termo
2
1,5
2o.termo
5o.termo
n
xn
1
1
1o.termo
2
1,5
2o.termo
3
1,333333
3o.termo
termos
3o.term o
na vizinhança |x-1|<0,51
1
1
2
(n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33, x4=1,25, x5=1,2, x6=1,16
>1/6=0,166667. =0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam
0,5
1
termos
2o.term o
1
1o.term o
xn
2
(n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33,
ε>1/3=0,33333. ε=0,51 satisfaz a condição e todos os
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
0,5
n
2
6o.termo
n
xn
1
1
1o.termo
2
1,5
2o.termo
3
1,333333
3o.termo
4
1,25
4o.termo
5
1,2
5o.termo
6
1,166667
termos
6o.termo 6
2. x é a variável de valores
1
1
x1  1  , x2  1  2 ,
2
2
1
n 1
x3  1  3 , ..... xn  1  (1) n
2
2
Essa variável tem um limite que é 1.
 uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular .
1 
1

xn  1  1  ( 1) n n   1  n
2 
2

1
log
1

n log 2  log
 n

log 2

para
1

2n
ou
2n 
1

ou ainda
x 1  
7
(n=2) x é o conjunto dos 2 termos: x1=1, x2=1,25,
>1/22=0,25. =0,26 satisfaz a condição e todos os valores da
variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
0,5
0,75
1
1o.termo
1,25
0,75
1
1
1o.termo
2
1,25
2o.termo
2o.termo
1,25
n
xn
1
1o.termo
2
1,25
2o.termo
3
0,875
3o.termo
1,5
3o.termo
(n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875,
x4=1,0625, x5=96875, x6=1,015625
>1/26=0,015625. =0,26 satisfaz a condição e todos os valores
da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
0,75
1o.termo
2o.termo
1
3o.termo
1,25
4o.termo
termos
1
n
0,5
termos
2o.termo
1
1o.termo
xn
1,5
(n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875,
>1/23=0,015625. =0,26 satisfaz a condição e todos os
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
0,5
n
5o.termo
1,5
6o.termo
xn
termos
1
1
1o.termo
2
1,25
2o.termo
3
0,875
3o.termo
4
1,0625
4o.termo
5
0,96875
5o.termo
6
1,015625
6o.termo
8
3. X é uma variável de valor constante c
Essa variável tem um limite que é c, ainda que pareça estranho.
 uma vizinhança de centro em c, com raio ; devemos calcular .
x c  cc  0 
para 
0
xc 
9
Observações
1. Uma variável x não pode ter dois limites diferentes, a e b.
se
lim x  a
xa 
e
lim x  b
e
x b  
ba
im possível para  
2




a
b
x
(b-a)/2
2. Não se imagine que toda variável tem um limite.
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VARIÁVEL INFINITAMENTE GRANDE
a variável x tende ao infinito, se, p/ cada número positivo M, pode-se Indicar um valor
de x, a partir do qual, todos os valores subseqüentes da variável verificam :
x M
Seja a variável x o { x1, x2, x3, x4, x5....xn}, mostrado na figura abaixo.
x3
x1
x4
x2
x5
x6
Xn-1
x
A partir de x4, todo valor subseqüente da variável é maior que o antecedente;
para M=x4, |xi|>M, p/ i=5,6,7....n
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Limite de uma função
Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos desta
vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou
lim
f ( x)  b
x a
se, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um δ > 0 tal que,
para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ , a desigualdade | f(x) - b | < ε, fica satisfeita. Diz-se
então que b é o limite de f(x).

b


a

12
Exemplos
lim (4x  2)  14
x 3
lim
x2
1
3
x 1 
4
2
lim (3x  1)  7
x 2
lim
x 2
x3  4 x 0
 ?
2
x 4 0
x 5
0
 ?
lim
2
0
x 5 x  5 x
Os “resultados” dos limites das funções 3 e 5 demonstram que o cálculo
do limite não se faz por uma simples substituição direta do valor para o
qual a variável tende. Veremos que existem resultados para tais limites
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Cálculo pela definição
lim (4 x  2)  14
x 3
Se 14 é o lim f(X), quando x  3, temos que ter:
4 x  2  14  
4 x  2  14  4 x  12  x  34  4 x  3
4 x 3    x 3 


4

4
14
(3 x  1)  7
lim
x2
Se 7 é o lim f(X), quando x  2, temos que ter:
3x  1  7  
3 x  6  ( x  2)3  3 x  2
3x2  x2 
 


3
3
15
lim
x 2
1
x 1  3 / 2
4
1
3
x 1  
4
2
1
3
1
1
1
1
x  1   x   ( x  2)  x  2
4
2
4
2
4
4
1
x  2    x  2  4
4
  4
16
x  4x
 2
2
x 4
3
lim
x2
x  4x
2 
2
x 4
3
x ( x  4)
2  x2
2
x 4
2
x2 
 
17
lim
x 5
x 5
1

x 2  5x
5
x5
1


x 2  5x
5
( x  5)
1
1
1



x ( x  5)
5
x
5
t em o sen t aoque
1
1


x
5
1
1
1
 


5
x
5
1
1
5
5
 x 

 x 
1
1
1  5
1  5


5
5
2 5
2 5

 x5 
1  5
1  5
m as1  5  1 e 1  5  1, p o dem o sescrev er
 2 5  x  5  2 5
x - 5  2 5
  2 5
18