Ensino Superior
Cálculo 1
1.6- Aplicabilidade do Limite
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 1 - Limites
Funções e Limites
Taxas de variação,
definição de limite, limites laterais e
técnicas para determinação de limites
Prof. Amintas Paiva Afonso
Velocidade Média
Determinando a velocidade média:
Uma pedra se desprende do topo de um penhasco. Qual a sua
velocidade média durante os primeiros 2s de queda?
Solução:
Experimentos mostram que, ao entrar em queda livre a partir do repouso,
próximo da superfície terrestre, um objeto sólido e denso percorrerá y
metros nos primeiros t segundos, onde:
y = 4,9 t 2
A velocidade média da pedra em qualquer intervalo de tempo é a distância
percorrida y, dividida pelo tempo decorrido t, neste percurso.
Para os primeiros 2s temos: t0= 0 e tf = 2, logo y0 = 0 e yf = 4,9(2)2.
Daí,
y 4,9(2) 2  4,9(0) 2
4

 4,9  9,8m / s
t
20
2
Velocidade Instantânea
Determine a velocidade da pedra no caso
anterior, no instante t = 2 s.
Fazendo a aproximação:
y/ t = [4,9(t +h)2 – 4,9t2]/h,
onde h está próximo de zero, podemos
construir a seguinte tabela:
h (s)
y/ t
1,0
24,5
0,1
0,01
0,001
0,0001
20,09
19,649
19,6049
19,60049
Velocidade Instantânea
Determinando a velocidade instantânea algebricamente:
Neste caso, podemos calcular a velocidade média da pedra ao
longo do percurso t = 2s até um tempo imediatamente posterior
t = 2 + h, com h > 0 bem “pequeno”, ou seja, algebricamente
temos:
y 4,9(2  h) 2  4,9(2) 2 4,9(4  4h  h 2 )  19,6 19,6h  4,9h 2



 19,6  4,9h
t
h
h
h
Assim, fazendo h  0 descobrimos a velocidade instantânea
em t = 2s, isto é, seu valor limite é 19,6 + 4,9(0) = 19,6 m/s.
Taxa instantânea
Graficamente, a taxa de variação instantânea pode ser feita
pelas aproximações dadas na figura abaixo.
Definição de limite:
Seja f(x) definida em um intervalo
aberto em torno de x0, exceto talvez
em x0. Dizemos que f(x) tem limite
L quando x tende a x0 e escrevemos
lim f ( x)  L
x  x0
Se para cada número  > 0 existir
um número correspondente  > 0 tal
que, para todos os valores de x,
0  x  x0    f ( x)  L  
Esta definição está ilustrada,
graficamente, na figura ao lado.
Regras envolvendo limites
Exemplos
1 – Funções polinomiais:
Os limites podem ser obtidos por substituição, se
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, então
lim P( x)  P(c)  an c n  an 1c n 1    a1c  a0
x c
2 – Funções racionais:
Os limites de funções racionais podem ser obtidos por
substituição, desde que o denominador não se anule, ou seja, se
P(x) e Q(x) são polinômios e Q(c)  0, então
P( x)
P (c )
lim

x c Q ( x )
Q (c )
3 – Eliminando algebricamente o fator nulo no denominador:
a) cancelando um fator comum:
x2  x  2
( x  1)(x  2)
x  2 1 2
lim

lim

lim

 3.
2
x 1
x

1
x

1
x x
x( x  1)
x
1
Exemplos
3 – Eliminando algebricamente o fator nulo no denominador:
b) Criando e cancelando um fator comum:
lim
2h 
h
2
lim
2h 
h
2
lim
2h 
h
2
h 0
h 0
h 0
2h 
h
 lim
h 0
 lim
h 0
h

 lim
h 0
2
2h 
2h 

2h2
 lim
h 0 h
2h  2
1
2h 

2


1
20 
2

2
h
2h 
2

2
1
2 2


.
As vezes, não podemos obter o limite diretamente, mas talvez seja possível obtê-lo indiretamente, quando uma função está limitada por duas
funções que tenham o mesmo limite no ponto desejado.
Teorema do confronto:
Suponha que g(x)  f(x)  h(x) para qualquer x em um intervalo aberto,
contendo c, exceto possivelmente em x = c. Suponha também que
lim g ( x )  lim h( x )  L,
x c
x c
então
lim f ( x )  L
x c
Limites Laterais
Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f deve
ser definida em ambos os lados de a e seus valores devem se aproximar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, devemos
estudar os limites laterais, para verificar a existência ou não do limite.
Relação entre limite e limites laterais
Teorema: Uma função f(x) terá limite quando x se aproximar de c, se e
somente se, tiver um limite lateral à esquerda e um limite
lateral à direita e os dois limites laterais forem iguais, ou seja,
lim f ( x)  L  lim f ( x)  L e
x c
x c
lim f ( x)  L
x c
Exemplos:
1 – Mostre que y = sen (1/x) não tem limite quando x tende a 0.
Solução: a medida que x se aproxima de 0, pela esquerda, seu inverso
(1/x)  – . Daí, a função sen (1/x) assume valores que se repetem
ciclicamente entre -1 e 1. Da mesma forma, ao se aproximar de zero, à
direita, o inverso (1/x)  +, o que implica na função sen (1/x) assumir
valores que se repetem ciclicamente entre -1 e 1. Assim, a função não tem
limite nem à esquerda nem à direita de zero e, portanto, não tem limite
quando x tende a zero.
Exemplos:
2 – Mostre que f() = (sen)/ tem limite
igual 1 quando  tende a zero ( em
radianos).
Demonstração: Se mostrarmos que os limites
laterais existem e são iguais a 1, então
usando o teorema anterior obteremos o
resultado requerido.
Começamos com valores positivos para  e
menores que /2. Observando a figura ao
lado, podemos observar que:
Área OAP < área do setor OAP < área do OAT
Podemos expressar essas áreas em termos de  da seguinte maneira:
1
1
1
base altura  (1)(sen )  sen
2
2
2
1
1

Áreado setor OAP  r 2  (1) 2  
2
2
2
1
1
1
Área ΔOAT  base altura  (1)(tg )  tg
2
2
2
senθ

tg
sen
logo,


, agoradividindo tudo por
, vem:
2
2
2
2

1
sen
1

1
 cos . Portanto,
sen
cos

sen
sen
sen
lim 1  lim
 lim cos  1  lim
 1  lim
1
Área ΔOAP 
 0 
 0 

 0 
 0 

 0 
