UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO
MÉTODOS MATEMÁTICOS
EM BIOLOGIA
CURSOS DE BIOFÍSICA E BIOMEDICINA
2007
Gilberto Weissmueller, Nice Americano da Costa e Paulo Mascarello Bisch
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
INTRODUÇÃO
As grandezas físicas, geralmente, dependem de mais de uma variável
independente.
Exemplos simples:
A área de um retângulo de lados x e y, depende, tanto de x, quanto de y, pois
S  xy
O volume de um paralelepípedo de lados x, y e z
V  xyz
O volume V de um gás ideal depende da temperatura T, do número de moles
n e da pressão P:
V  nR
T
P
FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Definições
Função de duas variáveis. Se a cada par ordenado (x,y) de valores das
variáveis x e y, tomados dentro de um domínio de definição D, corresponde
um valor bem definido da variável z, diz-se que z é uma função de duas
variáveis independentes x e y, definidas no domínio D.
Designa-se essa função como
z  f ( x, y)
Domínio de definição. Chama-se domínio de definição da função z=f(x,y) ao
conjunto de pares (x,y) para os quais a função está definida.
Uma função de duas variáveis pode ser representada analiticamente, na
forma de uma tabela ou ainda graficamente.
z  xy
2
X 0
2
3
1
0
2
3
3
0
18 27
5
0
50 75
y
Os valores da função z são
determinados numa tabela no
cruzamento dos valores de x,
indicados na primeira linha,
com os de y na primeira
coluna.
Os domínios de definição de uma função de duas variáveis constituem partes
do plano xy; delimitadas por algumas curvas, ou podem ser o plano inteiro.
As curvas que delimitam o domínio são chamadas de fronteira.
y
Z=f(x,y)
z
(x2,y2)
(x3,y3)
(x1,y1)
(xi,yi)
y
x
(x,y)
x
fronteira
y
fronteira
y
D
D
x
x
y
z  x  3y
z está definida
para todos os
valores (x,y); D é
todo o plano
x
z está definida para
2  x2  y 2  0
D é a região delimitada
pelo circulo de raio 2
z  2  x2  y 2
y
R=2
x2  y 2  2
x
O domínio de definição D de uma função de duas variáveis pode ser aberto ou
fechado.
Os pontos do domínio que não pertencem à fronteira são chamados de pontos
interiores. Se o domínio de definição só contem pontos interiores ele é dito
aberto; mas se também contem os pontos de fronteira, ele é dito fechado.
Exemplos
z  ln( x  y )
z está definida para:
y
Portanto, para
x
x y 0
x y 0
y  x
D é o semi plano acima da reta y=-x :
aberto
z  2  x2  y 2
y
R=2
x2  y 2  2
D
x
D é a região delimitada
pelo circulo de raio 2:
fechado
A representação geométrica de uma função z=f(x,y) é uma superfície no
espaço tridimensional. Isto é, se um ponto P no espaço é representado
pelas variaveis x, y e z, ou (x,y,z), o lugar geométrico de todos os pontos P
assim definidos é a representação geométrica da função z=f(x,y).
z
z  x2  y 2
Z=f(x,y)
y
x
(x,y)
LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Definição. Diz-se que um valor B é o limite de y=f(x,y), quando o ponto M(x,y) tende ao
ponto M0(x0,y0), se para todo >0 existe um r>0 tal que, para todos os pontos M(x,y)
verificando a inequação MM0<r, a inequação, a seguir, é satisfeita
f ( x, y)  B  
lim
Então, escreve-se
( x , y ) ( x0 , y0 )
f ( x, y )  B
Definição. Diz-se que y=f(x,y) é contínua no ponto M0(x0,y0), se
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
f ( x, y )  f ( x0 , y0 )
Se esta condição não estiver satisfeita, diz-se que (x0,y0) é um ponto de descontinuidade de
f(x,y)
Exemplos
( x  2) 2 y
f ( x, y )  2
x  y2  4x  4
( x  2) 2 y
lim
0
2
2
( x , y ) (2,0) x  y  4 x  4
2 x2 y
f ( x, y)  2
x  y2
É descontínua em (0,0)
ACRÉSCIMOS DE UMA FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Uma função de duas ou mais variáveis sofrerá um acréscimo se variamos, de
cada vez, cada uma das variáveis, mantendo as demais constantes, ou, se
variamos todas as variáveis, ao mesmo tempo. Temos então dois tipos possíveis
de acréscimos: parciais e total. Haverá tantos acréscimos parciais, quantas
forem as variáveis independentes. Mas apenas um acréscimo total
Uma função de duas variáveis, z=f(x,y), terá dois acréscimos parciais (acréscimo
parcial em relação a x e acréscimo parcial em relação a y) e o acréscimo
total.
z  f ( x, y )
 x z  f ( x  x, y )  f ( x, y )
 y z  f ( x, y  y )  f ( x, y )
z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )
Exemplos
Z=f(x,y +y)
z  3xy
 x z  3( x  x) y  3xy  3 yx
Z=f(x+ x,y +y)
 y z  3x( y  y )  3xy  3xy
Z=f(x,y)
z  3( x  x)( y  y )  3xy  3 yx  3xy  3xy
Z=f(x+x,y)
z  2 x2  y
y
y+y
 x z  2( x  x) 2  y  2 x 2  y  2 xx  2  x 
2
 y z  2 x 2  y  y  2 x 2  y  y
(x,y)
x
x+x
(x,y +y)
z  2( x  x) 2  y  y  2 x 2  y  2 xx  2  x   y
2
(x+x,y)
(x+ x,y +y)
Note que, em geral:
z   x z   y z
DERIVADAS PARCIAIS
Definição:
A derivada parcial de uma função
z=f(x,y) é definida como o limite da
relação entre o acréscimo parcial da
função sobre o acréscimo da variável
independente acrescida quando este
tende a zero.
Haverá tantas derivadas parciais de
uma função quantas forem as
variáveis independentes.
Pela definição, fica claro que valem
todas as regras estudadas para a
derivada de uma função de uma
variável.
z x 
x z
z 
f ( x  x, y )  f ( x, y )

lim

lim

x  y x0 x x0
x
z y 
yz
z 
f ( x, y  y )  f ( x, y )

lim

lim

y  x y 0 y y 0
y
Exemplos
z  y 2 sen 2 x
z
 2 ysen 2 x
y
z  e xy
z
 xe xy
y
z
 2 y 2 cos 2 x
x
z
 ye xy
x
z  y 2  e2 x
z
 2y
y
z
 2e 2 x
x
Interpretação das derivadas parciais
z
y

Note que a derivada parcial com relação a x
é a tangente do ângulo que a tangente à
superfície faz com o eixo –x, o ângulo ,
mantido y constante. Similarmente, a
derivada parcial com relação a y é a
tangente do ângulo formado pela tangente à
superfície e o eixo-y, o angulo , mantido x
constante
x
Derivadas Parciais de ordem superior
x
y

As derivadas parciais de ordem superior são
obtidas derivando-se as derivadas parciais
de primeira ordem.
Exemplos
2 z
;
2
x
2 z
;
2
y
2 z
yx
DIFEENCIAL TOTAL
Como vimos o acréscimo total da função é aquele que a função sofre quando variamos
simultaneamente as variáveis independentes. Para uma função de duas variáveis,
temos
z  f ( x  x, y  y)  f ( x, y)
Se a função é contínua e suas derivadas parciais existem, podemos tentar exprimir o
acréscimo total em termos dessas derivadas. Para tanto, somemos à expressão acima
z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  f ( x, y  y )  f ( x, y  y )
ou
z   f ( x  x, y  y )  f ( x, y  y )

f ( x, y  y )  f ( x, y )

Note que no primeiro colchete temos a variação da função ao passar do ponto (x,y+ y)
(x+x,y+ y),mantendo y constante, e no segundo a variação da função ao passa do ponto
(x,y) para (x, y+ y), mantendo x constante. Podemos então aplicar o Teorema de Lagrange
a esses dois termos.
f ( x , y  y )
x
 f ( x  x, y  y)  f ( x, y  y)  
x
onde ( x , y  y) e um ponto entre ( x, y  y) e ( x  x, y  y)
f ( x, y )
y
 f ( x, y  y)  f ( x, y)  
y
onde ( x, y ) e um ponto intermediario entre ( x, y) e ( x, y  y)
Podemos então escrever o acréscimo total como
f ( x , y  y )
f ( x, y )
f 
x 
y
x
y
Note que as derivadas parciais acima não são calculadas no ponto (x,y),
mas respectivamente nos pontos
( x , y  y) e ( x, y )
Lembrando que
f ( x , y  y ) f ( x, y  y )
lim

x  0
x
x
pois x  x
f ( x, y ) f ( x, y)

y 0
y
y
pois y  y
lim
Usando este fato e o teorema de infinitésimos, podemos então
escrever
f ( x , y  y ) f ( x, y  y )

 1
x
x
onde  1infinitesimo
f ( x, y ) f ( x, y)

2
y
y
onde  2 e outro infinitesimo
Substituindo estas expressões na expressão para o acréscimo total, teremos
f 
f ( x, y  y )
f ( x, y )
x   1x 
y   2  y
x
y
No limite , quando x e  y tendem a zero, teremos:
f ( x, y )
f ( x, y )
df 
dx 
dy
x
y
Para o caso de uma função de qualquer número de variáveis
independentes, teremos
z  f ( x, y, w,....t )
f ( x, y, w,....t )
f ( x, y, w,....t )
f ( x, y, w,....t )
f ( x, y, w,....t )
df 
dx 
dy 
dw  .... 
dt
x
y
w
t
A diferencial total de uma função de várias variáveis pode ser usada, por
exemplo, para se calcular o erro cometido numa grandeza que depende
de várias variáveis, em função dos erros cometidos nestas variáveis.
Exemplo: O erro cometido no cálculo de áreas e de volumes
y
Para uma área S=xy, teremos
S
S
df 
dx 
dy
x
y
df  ydx  xdy
y
x
x
Note que o erro cometido é equivalente ao acréscimo das áreas dos dois
retângulos xdy e ydx, como mostrado na figura
Para um volume V=xyz, teremos
V
V
V
dV 
dx 
dy 
dz
x
y
z
df  yzdx  xzdy  xydz
CURVAS DE NÍVEL
Vimos que uma função de duas variáveis z=f(x,y) representa uma superfície no espaço.
A curva que se obtém para um mesmo valor de z, ou cota, desta superfície é chamada
curva de nível. O conjunto dessas curvas obtidas para sucessivos valores de z
corresponde às curvas de nível da superfície. A análise desse conjunto de curvas de uma
superfície no espaço fornece informações sobre a própria superfície, ou seja, sobre sua
topografia. Em outras palavras, as curvas de nível se uma superfície são os lugares
geométricos da superfície que tem a mesma cota, como mostrado na figura abaixo.
As curvas de nível são usadas em mapas para dar informação sobre a
topografia (relevo) da região.
x2 y 2
z  x2 y 2
z 4 x92 y 2
z 4 9
Consideremos a função z=f(x,y) dada por
4
9
A superfície no espaço defina por esta função é um parabolóide elíptico
Exemplo
Para achar suas curvas de nível, temos que
fazer z constante
x2 y 2
c

4
9
x2 y 2

1
4c 9c
Vemos, portanto que as curvas de nível desta superfície são elipses,
que são obtidas tomando-se diversos valores de c.