Vivemos tomando decisões baseadas em
informações incompletas...
Peço uma sopa?
As outras opções são tão
CARAS, e eu não sei quem
está pagando... Será que os
estatísticos são pão-duros?
Nunca saí com um antes...
apesar de já ter conhecido um
contador bastante generoso...
Vanessa Fortes
Peço uma sopa?
Das 36 vezes em que a pedi,
em 27 ela estava muito boa...
Mas será que segunda é o dia
de folga do chef? E o que
acontecerá se todas as moléculas
de ar do salão de repente voarem
para o teto?
Aula 5
1
Muitos de nós vivemos confortavelmente
com um certo nível de incerteza...
Por favor,
o senhor poderia
me trazer uma
sopa?
Vanessa Fortes
Argh! Você
poderia
me trazer uma
CALCULADORA?
Aula 5
2
O que distingue os estatísticos é a sua habilidade
em quantificar a incerteza. Isto lhes permite fazer
afirmações com certeza absoluta sobre o seu nível
de incerteza!
Boa pedida! Eu estou 95%
confiante de que a sopa de hoje
à noite tem uma probabilidade
entre 73% e 77% de ser
realmente deliciosa!
Vanessa Fortes
Aula 5
3
O QUE É PROBABILIDADE?
• A teoria da probabilidade estuda os fenômenos
aleatórios.
• Utilizada inicialmente para o estudo de jogos de
azar!
• O jogo de dados moderno popularizou-se na Idade
Média, com a apresentação de um quebra-cabeças
matemático de um libertino da época, o Cavaleiro
De Mere
Vanessa Fortes
Aula 5
4
PROBABILIDADE
• Experimento Aleatório
–
–
São fenômenos que, mesmo repetido várias vezes sob
condições
semelhantes,
apresentam
resultados
imprevisíveis.
O resultado final depende do acaso.
• “É provável que o meu time ganhe a partida hoje"
pode resultar
–
–
–
•
que ele ganhe
que ele perca
que ele empate
Este resultado final pode ter três possibilidades.
Vanessa Fortes
Aula 5
5
PROBABILIDADE
•
Espaço Amostral
– Conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis
de um experimento aleatório.
•
No experimento aleatório "lançamento de uma moeda"
temos o espaço amostral {cara, coroa}.
•
No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos
o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
•
No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de
uma moeda" temos o espaço amostral : {(ca,ca) , (co,co) ,
(ca,co) , (co,ca)}
Vanessa Fortes
Aula 5
6
PROBABILIDADE
•
Eventos
–
•
Qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento
aleatório.
Se considerarmos S como espaço amostral e E como
evento
–
Assim, qualquer que seja E, se E está contido em S, então E é um
evento de S.
–
Se E = S , E é chamado de evento certo.
–
Se E c S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento
elementar.
–
Se E = Ø , E é chamado de evento impossível.
Vanessa Fortes
Aula 5
7
PROBABILIDADE
•
Probabilidade de um evento A = número real P(A)
–
•
número de casos favoráveis de A / número total de casos
Exemplos:
–
No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara
em um evento A ?
S = { ca, co } = 2
–
A = {ca} = 1
P(A) = 1/2 = 0,5 = 50%
No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um
número par em um evento A ?
S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 2,4,6 } = 3
Vanessa Fortes
Aula 5
P(A) = 3/6 = 0,5 = 50%
8
PROBABILIDADE
–
No lançamento de um dado qual a probabilidade de
obter um número menor ou igual a 6 em um evento A ?
S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 1,2,3,4,5,6 } = 6
P(A) = 6/6 = 1,0 = 100%
Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%.
–
No lançamento de um dado qual a probabilidade de
obter um número maior que 6 em um evento A ?
S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6
A={ }=0
P(A) = 0/6 = 0 = 0%
Obs: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou 0%
Vanessa Fortes
Aula 5
9
PROBABILIDADE
• Eventos Complementares
–
Um evento pode ocorrer ou não
–
p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso)
–
q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso)
–
para um mesmo evento existe sempre a relação: p + q
=1
–
Exemplo: A probabilidade de tirar o nº 4 no lançamento
de um dado é p = 1/6, logo, a probabilidade de não tirar
o nº 4 no lançamento de um dado: q = 1 - p ou q = 1 1/6 = 5/6.
Vanessa Fortes
Aula 5
10
PROBABILIDADE
• Eventos Independentes
–
Quando a ocorrência de um deles não afeta de modo
algum a probabilidade do outro.
–
O conhecimento de que um dos eventos ocorreu não
altera de nenhum modo a estimativa da probabilidade do
outro evento.
Vanessa Fortes
Aula 5
11
PROBABILIDADE
•
Exemplo
–
Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles
independe do resultado obtido no outro.
–
Então
qual
seria
a
probabilidade
de
obtermos,
simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no
segundo dado?
•
P1 é a probabilidade de realização do primeiro evento
•
P2 a probabilidade de realização do segundo evento
•
a probabilidade dos eventos se realizem simultaneamente é dada
pela fórmula: P (1  2) = P(1 e 2) = P(1) x P(2)
•
P1 = P(4 dado1) = 1/6
•
P total = P (4 dado1) x P (3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/36
Vanessa Fortes
P2 = P(3 dado2) = 1/6
Aula 5
12
PROBABILIDADE
• Eventos Mutuamente Exclusivos
–
Quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s).
–
Se dois eventos são mutuamente exclusivos , a probabilidade de que
um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que
cada um deles se realize: P(1 U 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2)
–
Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se
tirar o nº 3 ou o nº 4 ?
–
Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: P = 1/6 + 1/6 =
2/6 = 1/3
Vanessa Fortes
Aula 5
13
PROBABILIDADE
•
Probabilidade Condicional
–
Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer,
depois de A ter acontecido é definida por : P (B/A), ou seja, é
chamada probabilidade condicional de B.
–
Os eventos são dependentes e definidos pela fórmula:
P (A e B ) = P (A) x P(B/A)
–
Exemplo: Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver
reposição. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS?
•
P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52
x 12/51 = 0,0588 = 5,88 %
•
P(Copas1) = 13/52
•
P(Copas2/Copas1) = 12/51
Vanessa Fortes
Aula 5
14
PROBABILIDADE
–
No exemplo anterior se a 1ª carta retirada voltasse ao
baralho o experimento seria do tipo com reposição e
seria um evento independente. O resultado seria:
–
P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0,625 = 6,25
%
• Variável aleatória
–
Regra que atribui um valor numérico a cada possível
resultado de um experimento.
–
Funções de probabilidades: f(X) = p(X= xi)
Vanessa Fortes
Aula 5
15
DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS
Atributos
*Distribuição Binomial
*Distribuição Poisson
Variáveis
*Distribuição Normal
Distribuição “t” student
Vanessa Fortes
Aula 5
16
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
• Exemplo – Distribuição de Probabilidade
–
Ao lançarmos um dado, a variável aleatória X, definida
por "pontos de um dado", pode tomar os valores
1,2,3,4,5 e 6.
–
Então resulta a seguinte distribuição de probabilidade:
Vanessa Fortes
Aula 5
17
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
•
•
•
•
•
Distribuição Binomial
Fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos,
sucesso e insucesso.
Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se
queira (n vezes), nas mesmas condições.
As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o
resultado de uma não deve afetar os resultados das
sucessivas.
P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes
em n provas.
 n k
P( X  k )    p (1  p) nk
k 
Vanessa Fortes
Aula 5
onde
n
n!
  
 k  k!(n  k )!
18
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
•
Exemplo:
–
Uma moeda é
independentes.
–
Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas
5 provas.
–
n=5
–
P(x=3) = 5/16
x=3
lançada
vezes
seguidas
p = 1/2 q = 1 - (1/2) = 1/2
 n k
P( X  k )    p (1  p) nk
k 
Vanessa Fortes
5
Aula 5
onde
n
n!
  
 k  k!(n  k )!
19
e
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
•
•
•
•
•
•
Distribuição de Poisson
– Distribuição
de
probabilidades
aplicada
para
acontecimentos raros, entretanto o seu maior uso prático
é como aproximação para a distribuição binomial.
A P(x) é calculada pela fórmula abaixo:
Onde:
é a média da distribuição (n . p)
representa a constante de valor igual a 2,718
x ! é o fatorial de x (0 ! = 1 e qualquer número elevado a
zero é igual a 1)
Vanessa Fortes
Aula 5
20
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
•
Quando um acontecimento segue a distribuição binomial
–
um “p” (sucesso) muito pequeno de tal modo que é
necessário um “n” muito grande para que o sucesso ocorra
–
Pode-se simplificar os cálculos usando a distribuição de
Poisson como aproximação para a distribuição binomial.
•
Para que os resultados aproximados pela distribuição de
Poisson sejam satisfatórios
–
Deve-se fazer a substituição da distribuição binomial pela de
Poisson
–
quando “n” for maior ou igual a 50 e “p” menor ou igual a 0,1
ou “p” maior ou igual a 0,9 ( “p” próximo de 0 ou próximo de
1)
Vanessa Fortes
Aula 5
21
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)
•
É a distribuição mais comumente utilizada na análise
de dados.
•
A soma de um grande número de observações
independentes de qualquer distribuição tem uma
distribuição normal.
•
É a distribuição que representa o comportamento de
uma infinidade de “coisas” do universo.
•
Sua curva possui forma de sino e existe uma
concentração muito grande de itens em torno de uma
média e à medida que avançamos para os extremos
essa concentração diminui.
Vanessa Fortes
Aula 5
22
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)
• Propriedades
–
1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e
qualquer valor real.
–
2ª - A representação gráfica da distribuição normal
é uma curva em forma de sino, simétrica em torno
da média, que recebe o nome de curva normal ou
de Gauss.
–
3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das
abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde
à probabilidade de a variável aleatória X assumir
qualquer valor real.
Vanessa Fortes
Aula 5
23
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)
• Propriedades
–
4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo
das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente
do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.
–
5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a
probabilidade de ocorrer valor maior que a média é
igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que
a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais
a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa
50% de probabilidade.
Vanessa Fortes
Aula 5
24
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)
•
Por que a distribuição normal é importante?
–
–
–
68% de todas as observações caem dentro de um intervalo de 1
desvio padrão da média
um intervalo de 2 desvios padrões inclui 95% dos valores
99% das observações caem dentro de um intervalo de 3 desvios
padrões da média
Média
1 DP
1 DP
34% 34%
3 DP
2 DP
2 DP
3 DP
68,3%
95,5%
99,7%
Vanessa Fortes
Aula 5
25
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)
• A equação da curva é dada por:
y
1
 2 
e
x
1

2 







2







   x  
– A área total sob a curva representa uma
probabilidade total que é igual a 1
Vanessa Fortes
Aula 5
26
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)
• Distribuição Normal (Gauss)
– Os dois parâmetros (média e desvio padrão)
apresentam variações.
– Para utilizar apenas uma tabela de área é
realizada uma transformação, onde a equação
se torna mais simples:
x 
Z

Vanessa Fortes
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27
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)
• Cálculo da porcentagem fora da especificação
– É possível realizar este cálculo quando julgamos que o
processo varia conforme a distribuição normal
– Pode-se determinar a porcentagem de defeituosos a partir
das especificações fornecidas e dos parâmetros (média e
desvio padrão)
– Zab = Porcentagem abaixo
– Zac = Porcentagem acima
LIE  X
Zab 

Vanessa Fortes
Aula 5
X  LSE
Zac 

28
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)
• Índice de Capacidade do Processo (Cp)
– É possível realizar este cálculo também pela
capacidade do processo
• Especificações bilaterais (LSE e LIE)
LSE  LIE
Cp 
6
• Especificações unilaterais (LSE ou LIE)
X  LIE
LSE  X
Cp 
Cp 
3
3
Vanessa Fortes
Aula 5
29
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)
• Índice de Capacidade do Processo (Cp)
– A avaliação é feita da seguinte forma:
• 1,33  Cp
bastante satisfatório
• 1,00  Cp  1,33
adequado
• Cp  1,00
inadequado
Vanessa Fortes
Aula 5
30
Análise da Capabilidade / Capacidade
Cp = Tolerancia = LSC - LIC
6
6
Resume o potencial do processo para
atingir os limites de especificação
Vanessa Fortes
Aula 5
31