8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Parte 5
8.1–INTRODUÇÃO – PVI’s
8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES
8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO
8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR
hoje
8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDOs
8.6-PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
8. EDO’s
8.4.1. INTRODUÇÃO
 Dizemos que fórmulas deduzidas por
interpolação de f x, y( x)  em x n, e em
pontos anteriores, são chamadas de
fórmulas tipo abertas.
 Dizemos que fórmulas deduzidas por
interpolação de f x, y( x)  em x n , que
utilizam xn1 , são chamadas de
fórmulas tipo fechadas.
8. EDO’s
8.4.1. INTRODUÇÃO
A fórmula de Adams-Bashforth implícita
h
y n1  y n  9 f n1  19 f n  5 f n1  f n2 
24
geralmente é uma equação não-linear
em y1 . Para resolvê-la devemos empregar,
por exemplo, o Método de aproximações
sucessivas de Newton, em cada passo.
Solução: Método Previsor-Corretor de
Adams-Moulton
8. EDO’s
8.4.2. Método de Adams-Moulton
Passos do Método de Adams-Moulton
i) Através de um método explícito (Euler,
Adams-Bashforth Explícito..) obter uma
primeira aproximação para y n1, denotada
por yn01 .
(0)
0
ii) Calculamos f n1  f xn1 , yn1 .

1
(0)
iii) A partir de f n1 calculamos yn1 através
de um Método Implícito.
(1)
1
iv) Voltando em (ii), calculamos f n1  f xn1 , yn1
v) Repete-se o processo até que duas
aproximações sucessivas sejam tais que:



y nk1  y nk11 / y nk1  

8. EDO’s
8.4.2. Método de Adams-Moulton
 Comentário: Quantas iterações são
necessárias para atingir a convergência na
precisão desejada?
 Resposta 1: A experiência mostra que se
o par de fórmulas previsor-corretor forem
da mesma ordem, e se h for escolhido
convenientemente, então serão
necessárias poucas iterações para atingir
a convergência desejada!
8. EDO’s
8.4.2. Método de Adams-Moulton
Teorema da convergência
“Se f(x,y) e df/dy são contínuas no
intervalo [a,b], as iterações do método
corretor irão convergir, desde que h
seja escolhido de tal forma que, para
0 
y

y

y
x=xn e todo y com
n 1
n 1  y n 1
tenhamos: h f / y  2 “.
Ps: A demonstração deste teorema é baseada na condição
de convergência do Método de Newton, a qual ocorre
se y   1 onde y   f ( x, y) . Condição do MPF.
8. EDO’s
8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton
EXEMPLO 1: Seja o PVI: y   2 y  1 com y(0)  1
2
Considere   10
com f ( x, y)  2 y  1
Como
2
f / y  2  h 
1,
2
logo a convergência é garantida para h  0.2 .
Sabendo que a solução é


y( x)  1 / 2 e 2 x  1
8. EDO’s
8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton
Vamos implementar o Método de AdamsMoulton utilizando a fórmula de Euler
para o passo 1 e 2, chamada por esta
razão de fórmula aberta PREVISOR, e a
fórmula de Euler Aprimorada para os
passos 3 e 4, chamada por esta razão de
fórmula aberta CORRETOR.
8. EDO’s
8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton
0 
Passos 1 e 2: Calculando y1  y(0.2) pelo
método de Euler (explícito)
y1(0)  y0  h f x0 , y0   1  0.2(2  1)  0.8
1 2 
y
Passos 3 e 4: Calculando 1 , y1 ,... pelo
método de Euler Aprimorado (implícito)

y1(1)


h
 y 0  f x0 , y 0   f x1 , y1( k )
2
h
0.2
 2  1  1   2  0.8  1  0.84
 y 0  f x0 , y 0   f x1 , y1( 0)  1 
2
2
y1( k 1)
Como

y1(1)  y1( 0)
y1(1)


 0.05   continuamos com o procedimento!
8. EDO’s
8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton
Passos 3 e 4: Continuando, do método de
Euler Aprimorado (implícito).
( 0)
(1)
y

0
.
8
y
Sendo 1
e 1  0.84



y1( 2)  y1(1)
 0.0096   
h
f x0 , y 0   f x1 , y1(1) 
2
0.2
 2  1  1   2  0.84  1  0.8320
1
2
y1( 2)  y 0 
Como
y1( 2)
y1  y1( 2)  0.8320
8. EDO’s
8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton
 Continuando, calculemos y 2  y(0.4) .
•
Do método de Euler


y 2(0)  y1  h f x1 , y1  0.8320  0.2 2  0.8320  1  0.6992
•
Do método de Euler Aprimorado



h
f x1 , y1   f x 2 , y 2( 0) 
2
0.2
 2  0.8320  1   2  0.6992  1  0.7258
 0.8320 
2
y 2(1)  y1 
Como
y 2(1)  y 2( 0)
y 2(1)
 0.0366   continuamos com o procedimento!
8. EDO’s
8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton
Continuando:
y 2( 2)



h
 y1  f x1 , y1   f x 2 , y 2(1) 
2
0.2
 2  0.8320  1   2  0.7258  1  0.7264
 0.8320 
2
Como
y 2(1)  y 2(0)
y 2(1)
 0.0008   
y 2  y 2( 2)  0.7264
Analogamente:
y3  y3( 2)  0.6503 , y 4  y 4( 2)  0.5998 , y5  y5( 2)  0.5662 ,
8. EDO’s
8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton
 EXEMPLO 2: Seja o PVI: y    y
com
4
Considere   10
com f ( x, y)   y 2
2
y(1)  1
2
1

,
Como f / y  2 y  h 
 2y
y
1
.
logo a convergência é garantida quando h 
y
Tomamos h  0.1 e sabendo que a solução é
y ( x)  1 / x , consideremos os seguintes dados
iniciais:
8. EDO’s
8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton
Como
y ( x)  1 / x , f ( x, y)   y 2 e
y 0  y (1)  1 
h  0 .1
f 0  1
1
y1  y (1.1) 
 0.9090909  f 1  0.8264462
1.1
1
y 2  y (1.2) 
 0.8333333  f 2  0.6944443
1.2
1
y 3  y (1.3) 
 0.7692307  f 3  0.5917158
1.3
Considere como uma tabela de medidas experimentais.
Dados iniciais que devem ser levados em conta!
8. EDO’s
8.4.3. Aplicação do Método de AdamsMoulton
 Vamos implementar o Método de AdamsMoulton utilizando a fórmula de AdamsBashforth Explícita para o passo 1,
chamada por esta razão de fórmula aberta
PREVISOR, e a fórmula de AdamsBashforth Implícita para os passos 3 e 4,
chamada por esta razão de fórmula aberta
CORRETOR.
 Este par previsor-corretor é uma fórmula
de Adams-Moulton de 4ª ordem.
8. EDO’s
8.4.3. Aplicação do Método de AdamsMoulton
0 
y
Passos 1 e 2: Calculando 4 pelo método
de Adams-Bashforth explícito de ordem 4,
h
55 f n  59 f n1  37 f n2  9 f n3 
y n 1  y n 
24
0.1
( 0)
55 f 3  59 f 2  37 f1  9 f 0   0.7144362
y 4  y3 
24

f 4( 0)
f
( x 4 , y 4( 0) )
 

( 0) 2
y4
 0.510419
8. EDO’s
8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton
Passos 3 e 4: Calculando
1
2 
y 4 , y 4 ,... pelo método
de Adams-Bashforth implícito de ordem 4,
h
9 f n1  19 f n  5 f n 1  f n2 
24
0. 1
 y3 
9 f 4( 0)  19 f 3  5 f 2  f 1  0.7142698
24
y n 1  y n 
y 4(1)

 

y 4( 2 )
0 .1
 y3 
9 f 4(1)  19 f 3  5 f 2  f 1  0.7142787
24
( x 4 , y 4(1) )

y 4( 2 )  y 4(1)
y 4( 2 )

2
f 4(1)
Como:
 f

y 4(1)
 0.5101814

 1.3  10 5    y 4  y 4( 2)  0.7142787
8. EDO’s
8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton
1 2 
y
Passos 3 e 4: Continuando, calculando 5 , y5 ,...
pelo método de Adams-Bashforth implícito
de ordem 4, após duas iterações, o critério
de erro foi atingido e
y5( 2)


0.1
 y4 
9 f 5(1)  19 f 4  5 f 3  f 2  0.6666568
24
Note que os valores obtidos para y(x) são
menores que 1 e portanto o critério de
convergência foi satisfeito.
8. EDO’s
8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton
Comentário 1: Note que nos exemplos
considerados também poderíamos ter
implementado o Método de AdamsMoulton utilizando o Método de Euler
como previsor e o Método de Simpson
1/3 como corretor.
Fórmula de Simpson 1/3:
h
y n1  y n1   f ( xn1 , y n1 )  4 f ( xn , y n )  f ( xn1 , y n1 )
3