Movimento oscilatório e Caos
Do mais simples para o mais
complicado ...
MHS

Amortecimento

Não linearidade

Caos
Só na aula que vem ...
Movimento Harmônico Simples

Pêndulo simples
Movimento Harmônico Simples


TT

P
Movimento Harmônico Simples

P

TT
PR

P
Decompondo
FR=0
PR=T
P =-mg sen()
dt2
P  m
d 2s
Mas s=l
F =P
dt 2
P  m l
d 2
Tomando  pequeno  sen() 
P =-mg sen()  -mg
dt 2
P  m l
d 2
dt 2 l
  0
d 2 g
1 equação diferencial ordinária
homogênea de 2a ordem
Solução conhecida
 (t )  0 cos(t   )
Onde 2=g/l
0 e   condições iniciais
Também podemos calcular:
dt
 (t ) 
  0 sen (t   )
d
Como aplicar o Método de Euler?
Temos
1 equação diferencial ordinária
homogênea de 2a ordem
Método de Euler
equações diferenciais de 1a ordem
Como aplicar o Método de Euler?
dt

d
dt
l
 
d
g
2 equações
de 1a ordem
Iterando 
dt
l
 
d
g
dt
t

d  (t  t )   (t )
dt
l
 (t  t )   (t ) 
t   (t ) 
t
d
g (t )
i+t= i – (g/l)it
Iterando 
dt

d
dt
t

d  (t  t )   (t )
dt
 (t  t )   (t )  t   (t )   (t )t
d
i+t= i + it
O programa
Inicializa
0=... e 0=...
Itera
(até n)
i+t= i – (g/l)it
Imprime
Print, write ...
i+t= i + it
l =1m g = 9,8 m/s2
Rodando o programa
0= 0 0=0,2 rad
1.0
(rad)
t= 0,04 s
1.5
0.5
0.0
-0.5
g
  2
 2s
l
-1.0
-1.5
0
2
4
6
t(s)
8
10
Rodando o programa
1.5
(rad)
1.0
0.5
Instável!
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
0
2
4
6
t(s)
8
10
Na aula passada (e na lista...)
=1s t=0.05s  
Hoje
2s t=0.04s  
Diminuindo t
t=0.04s
t=0.01s
1.5
(rad)
Melhora,
mas não
resolve!
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
0
2
4
6
t(s)
8
10
Diminuindo t ainda mais ...
t=0.04s
t=0.01s
1.5
(rad)
1.0
0.5
Por quê?
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
t=0.001s
0
2
4
6
t(s)
8
10
Análise da energia
2
2
T  mv 2  ml 2 2
1
1
U  mgl(1  cos )
E=T+U
Fazendo t=0.04s
10
T
U
E=T+U
Energia
8
6
E(t) aumenta
com o
tempo!
4
2
0
0
2
4
6
t(s)
8
10
t=0.01s
0.6
T
U
E=T+U
0.5
0.4
0.3
0.2
Energia
Energia
t=0.001s
0.2
0.1
0.0
0
2
4
6
8
0.1
10
t(s)
0.0
0
2
4
6
t(s)
8
10
A energia aumenta
com t para qualquer
valor não nulo de t
A taxa de acréscimo
diminui quando t
diminui
Instável!
Não há fonte externa de energia
O Método de Euler não
conserva a energia!

O método de Euler-Cromer
Euler
EulerCromer
i+t= i – (g/l)it
i+t= i + it
i+t= i – (g/l)it
i+t= i + i +t t
O método de Euler-Cromer
EulerCromer
i+t= i – (g/l)it
i+t= i +  i +t t
Única diferença
Fazendo a mudança no programa
1.5
Euler
Euler-Cromer
(rad)
1.0
0= 0
0=0,2 rad
0.5
0.0
-0.5
t= 0,04 s
-1.0
-1.5
0
2
4
6
t(s)
8
10
Mesmo aumentando t
0= 0
0=0,2 rad
0.2
(rad)
0.1
t= 0,1 s
0.0
-0.1
-0.2
0
2
4
6
t(s)
8
10
De novo a energia
t= 0,1 s
0.1
0.2
0.0
0
2
4
6
t(s)
t= 0,001 s
8
10
Energia
Energia
0.2
0.1
0.0
0
2
4
6
t(s)
8
10
Conclusão
O Método de Euler
Decaimento 
Oscilação 
Crescimento 
Euler-Cromer

Referência
Computational
Physics
Nicholas J. Giordano