Ensino Superior
Cálculo 3
8. Integrais Duplas
Momentos e Centro de Gravidade
Amintas Paiva Afonso
Momentos de primeira ordem ou
Momentos Estáticos
As integrais pertinentes ao cálculo das coordenadas do
Centróide recebem o nome de Momentos de Primeira Ordem
em relação aos eixos y e x, respectivamente, cuja notação é
expressa por:
mx
my
Cabe ressaltar que tais integrais podem ser entendidas, por
analogia aos momentos dos pesos, como momentos das
áreas em relação aos eixos coordenados, motivo pelo qual
são denominadas Momentos Estáticos.
mx
my
mx
my
mx
my
mx
my
mx
my
mx
my
mx
my
Aplicações
Baricentros e centróides
Superfície de espessura constante
Peso total P, dividida em n elementos , de pesos individuais ΔP
O peso total P da superfície, conforme se sabe, é dado por:
P  P1  P2  ...  Pn
sendo que, no limite:
P   dP
Baricentros e centróides
Para determinar as coordenadas do ponto de aplicação da resultante P,
denominado Baricentro ou Centro de Gravidade da superfície, basta
escrever somatórios de momentos dos pesos em relação aos eixos , ou
sejam:
Px  x P  x P  ...x P
c
1
1
2
2
n
n
Pyc  y1P1  y2P2  ... yn Pn
Levando tais expressões ao limite, tem-se:
P xc   xdP
P yc   ydP
Analogamente às considerações feitas para o Peso P, tem-se:
A   dA
xc
xdA


A
yc
ydA


A
onde as coordenadas , denominadas Centróide ou Centro
Geométrico da superfície A, neste caso particular, coincidem
com as do Baricentro.
Momento e Centro de Gravidade
de Áreas Planas
Exercícios
1) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da
Região limitada no 1º Quadrante por y = x 3 e y = 4x.
Resposta:
Exercícios
2) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da
Região limitada no 1º Quadrante por y 2 = x, x + y = 2
e y = 0.
Resposta:
Momentos de segunda ordem ou
Momentos de Inércia
De modo análogo aos Momentos de Primeira Ordem, cujas
expressões contêm funções x e y, as integrais do tipo abaixo
são denominadas Momentos de Segunda Ordem ou
Momentos Inércia em relação aos eixos x e y respectivamente,
em notação dada por:
I x   y dA
2
I y   x dA
2
FÓRMULA PARA CÁLCULO
DE INTEGRAL DUPLA
Nestas integrais, a exemplo do cálculo de áreas, nota-se
que é um problema de integração dupla. Para calculá-las,
basta ter em conta a definição de integral dupla de uma
função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas,
conforme mostra a figura seguinte:
y  2  x
y  1  x 
x0
x1

A
 2 ( x )

f  x, y dA     f  x, y  dy dx


x0  1 ( x )

x1
Momentos de segunda ordem ou
Momentos de Inércia
Efetuando-se o cálculo do momento de inércia de um retângulo em
relação à sua base, localizada no eixo x, conforme mostra a figura:
y
onde 1  x   0
h
2  x   h
f  x, y   y 2
x
b
Para calcular, basta ter em conta a definição de integral dupla de
uma função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas.
h 2 
bh3
I x     y dy dx 
3
00

3
b
h
De maneira análoga, para o eixo y: I y 
3
b
Cálculo dos Momentos de Inércia
Fazemos o cálculo dos momentos de inércia mediante a
integral:
I  lim
mi 0
2
2
r

m

r
 i i  dm
Para um objeto tridimensional é conveniente utilizar a
densidade do volume:
m dm
  lim

V  0 V
dV
Então:
I    r 2 dV
Teorema dos Eixos Paralelos
O teorema dos eixos paralelos estabelece que o
momento de inércia ao redor de qualquer eixo
que é paralelo e que se encontra a uma distância D
do eixo que passa pelo centro de massa é
I = ICM + MD2
Exemplos de Momento de Inércia
Longa haste fina
com o eixo de
rotação que passa
pelo fim I  13 ML2
Aro ou casca
cilíndrica ICM  MR2
Cilindro sólido
ou disco I CM  12 MR2
Longa Haste fina
com eixo de rotação
que passa pelo
centro. ICM  121 ML2
Placa retangular
Esfera sólida
ICM  121 M a 2  b2 
Esfera oca
I CM  52 MR2
I CM  23 MR2
Cilindro oco
ICM  12 M R12  R22


Cálculo dos Momento de Inércia
Exercício 1
Determinar os momentos de inércia Ix ; Iy e I0 da região
limitada pelas curvas y 2 = 4x; x = 4 e y = 0, no 1º Quadrante.
Resposta: 107,28
Exercício 2
Determinar os momentos de inércia Ix ; Iy e I0 da região limitada
pelas curvas y 2 = 4x; x + y = 3 e y = 0, no 1º Quadrante.
Resposta: 8,97